高中文科導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)與題型歸納

高中文科導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)與題型歸納導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)一、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)f'(x)是一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，即當(dāng)自變量x在該點(diǎn)發(fā)生微小變化時(shí)，函數(shù)值y發(fā)生的相應(yīng)變化量與自變量變化量之比的極限。可以用極限的形式表示為f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx趨近于0。二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x,y)處的切線的斜率?？梢岳脤?dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步：首先求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x,y)處的切線的斜率；然后在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y-y=f'(x)(x-x)。三、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及運(yùn)算法則(1)八個(gè)基本求導(dǎo)公式：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0，冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)的指數(shù)乘以該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即(C)'=0，(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)；三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx；指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(ex)'=ex，(ax)'=axlna，(lnx)'=1/x，(logax)'=1/(xlna)；(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：(u±v)'=u'±v'，(cu)'=cu'，(uv)'=u'v+uv'，(u/v)'=(u'v-uv')/v^2(v≠0)；(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)u=θ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=f(u)在點(diǎn)u=θ(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)f[θ(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且y'=(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)=f'(u)u'。四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f'(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；若f'(x)<0，則f(x)為減函數(shù)。(2)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：①分析y=f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x)；③解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為區(qū)間；解不等式f'(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為區(qū)間。例如：求函數(shù)y=x+1/x的減區(qū)間。2.可導(dǎo)函數(shù)的極值(1)極值的概念：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x附近有定義，若對(duì)x附近所有的點(diǎn)都有f(x)<f(x)（或f(x)>f(x)），則稱f(x)為函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲?，稱x為極大（?。┲迭c(diǎn)。(2)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：①求導(dǎo)數(shù)f'(x)；②求方程f'(x)=0的根；③檢驗(yàn)f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)(先增后減)，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)為正(先減后增)，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極小值。3.函數(shù)的最大值與最小值：可以通過(guò)求函數(shù)的極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)確定函數(shù)的最大值和最小值。1.設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有導(dǎo)數(shù)，則在閉區(qū)間$[a,b]$上必有最大值與最小值，但在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)未必有最大值與最小值。2.求函數(shù)$y=f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上的最大值與最小值可分兩步進(jìn)行：①求函數(shù)$y=f(x)$在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)的值；②將函數(shù)$y=f(x)$的各值與$f(a)$、$f(b)$比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。3.若函數(shù)$y=f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞增，則$f(a)$為函數(shù)的最小值，$f(b)$為函數(shù)的最大值；若函數(shù)$y=f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞減，則$f(a)$為函數(shù)的最大值，$f(b)$為函數(shù)的最小值。4.求過(guò)函數(shù)上一點(diǎn)的切線的斜率或方程：例題1：分析函數(shù)$y=x-3x^2$（單調(diào)性，極值，最值，圖象）。例題2：函數(shù)$y=x-3ax$在$(-\infty,-1)$上為增函數(shù)，在$(-1,1)$上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)$a$。例題3：求證方程$x\logx=1$在區(qū)間$(2,3)$內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。一．求值1.函數(shù)$f(x)=\frac{3x+2}{3x^2+2x+1}$，則$f'(x)$的值在$x=-1$處為$\frac{3}{32}$。2.函數(shù)$f(x)=ax+3x+2$，$f'(-1)=4$，則$a=1$。3.已知函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)為$f'(x)$，且滿足$f(x)=3x+2x^2f'(2)$，則$f'(5)=28$。二．切線1.(1)曲線$y=x^3+x+1$在點(diǎn)$(1,3)$處的切線方程為$y=4x+(-1)$；(2)已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，過(guò)點(diǎn)$P(2,-6)$作曲線$y=f(x)$的切線的方程為$y=-6x-18$。2.(1)曲線$f(x)=x$在點(diǎn)$A$處的切線的斜率為$3$，則該曲線在$A$點(diǎn)處的切線方程為$y=3x-2$；(2)過(guò)曲線$f(x)=x-x^2$上點(diǎn)$P$處的切線平行于直線$3x-y=0$，則點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(\frac{3}{2},-\frac{3}{4})$；(3)若直線$y=x$是曲線$y=x-3x^2+ax$的切線，則$a=-2$。3.垂直于直線$2x-6y+1=0$，且與曲線$y=x+3x-5$相切的直線的方程是$y=x-4$。4.已知直線$y=kx+1$與曲線$y=x+ax+b$切于點(diǎn)$(1,3)$，則$b=-5$。三．單調(diào)性21.(1)設(shè)$f(x)=x(2-x)$，則$f(x)$的單調(diào)增區(qū)間是$(0,1)$。1.函數(shù)的單調(diào)性和減函數(shù)的區(qū)間(1)函數(shù)$f(x)=x-ax+1$在$(0,2)$內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。(2)設(shè)$a>0$，函數(shù)$f(x)=x-ax$在$[1,+\infty)$上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。(3)函數(shù)$y=ax-x$在$(-\infty,+\infty)$上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。2.極值(1)函數(shù)$y=1+3x-x^2$的極大值和極小值分別是多少？(2)函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+3x-9$，已知$f(x)$在$x=-3$處取得極值，求$a$的值。(3)函數(shù)$f(x)=x-ax-bx+a$，在$x=1$時(shí)有極值$10$，求$a$和$b$的值。3.最值(1)函數(shù)$y=2x-3x^2-12x+5$在$[0,3]$上的最大值和最小值分別是多少？(2)函數(shù)$f(x)=x-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,1]$上的最大值是多少？(3)函數(shù)$y=x+\frac{3}{x}$在$(0,+\infty)$上的最小值是多少？(4)函數(shù)$f(x)=12x-x^3$在區(qū)間$[-3,3]$上的最小值是多少？4.綜合設(shè)函數(shù)$f(x)$在定義域內(nèi)可導(dǎo)，$y=f(x)$的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)$y=f'(x)$可能是什么？（需要在圖上標(biāo)出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)）5.設(shè)f(x)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，y=f'(x)的圖像如下圖所示，則y=f(x)的圖像最有可能是（A）。1.已知函數(shù)f(x)=x+ax^2+bx+c，曲線y=f(x)上點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為y=3x+1。（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x=-2處有極值，求f(x)的表達(dá)式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)y=f(x)在[-3,1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。解：（Ⅰ）由題意可得f'(1)=3，即1+2a+b=3，即2a+b=2。又因?yàn)榍芯€方程為y=3x+1，所以f'(1)=3，即1+2a+b=3，即2a+b=2。由于函數(shù)f(x)在x=-2處有極值，所以f'(-2)=0，即-2+2a-b=0，即2a-b=2。解得a=1，b=0，c=-1，即f(x)=x+x^2-1。（Ⅱ）由題意可知，函數(shù)在[-2,1]上單調(diào)遞增，所以最大值為f(1)=1+1-1=1。（Ⅲ）由題意可得2a+b=2，且a>0。因此，2a>0，所以b>0。2.已知三次函數(shù)f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1和x=-1時(shí)取極值，且f(-2)=-4。(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)若函數(shù)g(x)=f(x-m)+4m(m>0)在區(qū)間[m-3,n]上的值域?yàn)閇-4,16]，試求m、n應(yīng)滿足的條件。解：(1)由題意可得f(1)=1+a+b+c，f(-1)=-1+a-b+c，f'(-2)=0。解得a=-1，b=2，c=0，即f(x)=x^3-x^2+2x。(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,-1]和[1,+∞)，極值為f(1)=2。(3)由題意可得g(x)=f(x-m)+4m=m^3+(a+3m)m^2+(b+2am+3m^2)m+c+4m。因?yàn)間(x)的值域?yàn)閇-4,16]，所以m^3+(a+3m)m^2+(b+2am+3m^2)m+c+4m∈[-4,16]。解得m∈[1,2]，n∈[m+3,3]。3.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+3)+x。（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[-3,4]的最大值和最小值。解：（Ⅰ）f'(x)=1/(2x+3)+1，令f'(x)=0，解得x=-2。當(dāng)x<-2時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減；當(dāng)-2<x<-3/2時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(-2,-3/2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>-3/2時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(-3/2,+∞)上單調(diào)遞增。因此，f(x)在[-3,4]上單調(diào)遞增。（Ⅱ）f'(x)=1/(2x+3)+1，令f'(x)=0，解得x=-3/2。因?yàn)閒(x)在[-3,4]上單調(diào)遞增，所以最大值為f(4)=ln11+4≈6.397，最小值為f(-3)=ln3/2-3/2≈-2.022。4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+5。（Ⅰ）證明f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞減；（Ⅱ）求f(x)在[-1,2]上的最大值和最小