2-2 充分條件、必要條件、充要條件（5大題型）（解析版）

2.2充分條件、必要條件、充要條件一、充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件【注意】（1）前提p?q，有方向，條件在前，結(jié)論在后；（2）p是q的充分條件或q是p的必要條件；（3）改變說(shuō)法：“p是q的充分條件”還可以換成q的一個(gè)充分條件是p；“q是p的必要條件”還可以換成“p的一個(gè)必要條件是q”．二、充分必要條件與集合的關(guān)系若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，①若AB，則p是q的充分不必要條件；②若A?B，則p是q的必要條件；③若AB，則p是q的必要不充分條件；④若A＝B，則p是q的充要條件；⑤若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個(gè)集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系。題型一充分不必要條件的判斷【例1】（2022秋·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）p：四邊形為矩形，q：四邊形對(duì)角線相等，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)知；等腰梯形對(duì)角線也相等，所以推不出，所以是的充分不必要條件．故選：A．【變式1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：A【變式1-2】．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】如果，則有，，所以是的充分條件；反之，如果，比如，則有，根據(jù)定義，，即不是必要條件，故是的充分不必要條件；故選：A.【變式1-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）一元二次方程，（）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分而不必要條件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)橐辉畏匠?，（）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，所以，解得，所以一元二次方程，（）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分而不必要條件可以是.故選：C.題型二必要不充分條件的判斷【例2】（2023秋·吉林遼源·高一校聯(lián)考期末）“”是“”的（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】取滿足，不滿足，不充分；當(dāng)時(shí)，一定成立，必要.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B【變式2-1】（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合M，P，則“或”是“”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由或得，又，∴或不能推出，能推出或.則“或”是“”的必要不充分條件.故選：A.【變式2-2】（2023春·上海黃浦·高一格致中學(xué)?？计谥校┤?，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，令，滿足，但；若，則一定成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【變式2-3】（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，不一定為整數(shù)，例如當(dāng)時(shí)，，所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【變式2-4】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）可以作為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要條件的是A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，所以，解得，而可以推出，所以可以作為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要條件，故選：A．題型三探求充要條件【例3】（2023秋·江蘇連云港·高一?？计谀┰O(shè)x，，則“”的充要條件是（）A．不都為1B．都不為1C．都不為0D．中至多有一個(gè)是1【答案】B【解析】因?yàn)榧?，即，即等價(jià)于且，故“”的充要條件是都不為1，故選：B.【變式3-1】（2022秋·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）若M、N是全集I的真子集，下面四個(gè)命題m，n，s，t是命題充要條件的是（），，，A．mB．nC．sD．t【答案】AC【解析】由得圖，對(duì)于A，，易知等價(jià)于，m是p的充要條件；對(duì)于B，，易知等價(jià)于，n不是p的充要條件；對(duì)于C，，易知等價(jià)于，s是p的充要條件；對(duì)于D，M、N是全集I的真子集，不成立，t不是p的充要條件.故是p的充要條件的有m，s，故選：AC.【變式3-2】（2022秋·甘肅蘭州·高一?？计谀┟}“”是真命題的充要條件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)槊}“”是真命題，所以在上恒成立，所以，即，所以命題“”是真命題的充要條件是.故選：C【變式3-3】（2022秋·江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習(xí)）已知下列所給的各組，中，是的充要條件的為（）A．，B．：兩個(gè)三角形全等，：兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等C．，D．：兩直角三角形的斜邊相等，：兩直角三角形全等【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，解得：或，所以，但，故為的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及判定可知，，故是的充要條件，故B正確；C選項(xiàng)，由可得或，，則為的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩直角三角形全等，則兩直角三角形的斜邊相等，但兩直角三角形的斜邊相等，但兩直角三角形不一定全等，例如：中，，斜邊，中，，則斜邊，故為的必要不充分條件．故選：B．題型四充分、必要條件的證明【例4】（2022秋·四川成都·高一?？茧A段練習(xí)）已知a＋b≠0，證明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.【答案】證明見解析.【解析】證明：先證充分性：若a＋b＝1則a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0則(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0因?yàn)閍＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，成立綜上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.【變式4-1】（2023春·河南周口·高一周口恒大中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合．（1）判斷8、9、10是否屬于集合A；（2）已知，證明：“”的充分非必要條件是“”．【答案】（1），，；（2）證明見解析【解析】（1）∵，，∴，，假設(shè)，m，，則，且，∵，或，顯然均無(wú)整數(shù)解，∴，∴，，.（2）∵集合，則恒有，∴，∴即一切奇數(shù)都屬于A，又∵，，∴“”的充分不必要條件是“”.【變式4-2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【答案】證明見解析【解析】充分性：若，則關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，證明如下：當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)兩根分別為，，則，所以方程有一正一負(fù)根，故充分性成立，必要性：若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，證明如下：設(shè)方程一正一負(fù)根分別為，，則，所以，所以若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，故必要性成立，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【變式4-3】（2022秋·湖北武漢·高一武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)a，b，c分別是三角形的三條邊長(zhǎng)，且，請(qǐng)利用邊長(zhǎng)a，b，c給出為銳角三角形的一個(gè)充要條件，并證明之．【答案】，證明見解析.【解析】.證明如下：充分性：∵，不是直角三角形，假設(shè)△ABC是鈍角三角形，，最大，即，，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由勾股定理，得，與已知矛盾，△ABC為銳角三角形.必要性：∵△ABC為銳角三角形，，°，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，由勾股定理知，得.綜上，為銳角三角形的一個(gè)充要條件為.題型五根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)【例5】（2022秋·廣東江門·高一校考階段練習(xí)）（多選）若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由題意可知是的充分不必要條件，則，故，故a的值可取，故選：BCD.【變式5-1】（2022秋·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）若“-1<x-m<1”成立的充分不必要條件是“<x<”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式-1<x-m<1等價(jià)于：m-1<x<m+1，由題意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要條件，所以，且，所以，且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得.故選：B.【變式5-2】（2022·高一單元測(cè)試）若p：是q：（）的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】p：，即或，q：∵，∴，由題意知p：是q：（）的必要而不充分條件，則，或，解得，或，故選：D.【變式