2-3 全稱量詞命題與存在量詞命題（4大題型）（解析版）

2.3全稱量詞命題與存在量詞命題一、全稱量詞與全稱量詞命題1、全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號(hào)“”表示．【注意】（1）全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無(wú)限的，由有題目而定；（2）常見(jiàn)的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應(yīng)的詞語(yǔ)是“都”2、全稱量詞命題（1）定義：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．（2）符號(hào)表示：通常，將含有變量的語(yǔ)句用，，，…表示，變量的取值范圍用表示，那么，全稱量詞命題“對(duì)中任意一個(gè)，成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為【注意】（1）從集合的觀點(diǎn)看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個(gè)全稱量詞命題可以包含多個(gè)變量；（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需要把它補(bǔ)出來(lái)。如：命題“平行四邊形對(duì)角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對(duì)角線都互相平行”。二、存在量詞與存在量詞命題1、全稱量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號(hào)“”表示．【注意】常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”、“有一個(gè)”、“對(duì)某些”、“有的”等；2、存在量詞命題（1）定義：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。（2）符號(hào)表示：存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為【注意】（1）從集合的觀點(diǎn)看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個(gè)存在量詞命題可以包含多個(gè)變量；（3）有些命題雖沒(méi)有寫(xiě)出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個(gè)”等特征都是存在量詞命題三、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷1、判斷全稱量詞命題真假：若為真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素，驗(yàn)證成立；若為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)，使不成立即可；2、判斷存在量詞命題真假：只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)，使成立，則這個(gè)命題為真，否則為假。四、命題的否定1、命題的否定：對(duì)命題p加以否定，得到一個(gè)新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．2、全稱量詞命題的否定：一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題：．3、存在量詞命題的否定：一般地，存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題：．4、命題與命題的否定的真假判斷：一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假．即：如果一個(gè)命題是真命題，那么這個(gè)命題的否定是假命題，反之亦然．題型一全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷【例1】（2022秋·福建莆田·高一?？茧A段練習(xí)）下列命題是全稱量詞命題的是（）A．存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)B．每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°C．至少有一個(gè)整數(shù)，使得是質(zhì)數(shù)D．，【答案】B【解析】對(duì)于ACD，均為存在量詞命題，對(duì)于B中的命題是全稱量詞命題.故選：B【變式1-1】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題含有全稱量詞的是（）A．某些函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)B．實(shí)數(shù)的平方為正數(shù)C．方程有實(shí)數(shù)解D．素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)【答案】B【解析】“某些函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)”即“存在函數(shù)，其圖象不過(guò)原點(diǎn)”；“方程有實(shí)數(shù)解”即“存在實(shí)數(shù)，使”；“素?cái)?shù)中只有一個(gè)偶數(shù)”即“存在一個(gè)素?cái)?shù)，它是偶數(shù)”，這三個(gè)命題都是存在量詞命題，“實(shí)數(shù)的平方為正數(shù)”即“所有的實(shí)數(shù)，它的平方為正數(shù)”，是全稱量詞命題，其省略了全稱量詞“所有的”，所以正確選項(xiàng)為B.【變式1-2】（2022秋·江蘇宿遷·高一泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法中正確的有（）A．命題“，”是存在量詞命題B．命題“”是全稱量詞命題C．命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題D．命題“不論取何實(shí)數(shù)，方程必有實(shí)數(shù)根”是真命題【答案】AB【解析】對(duì)A，命題中含“”，故命題是存在量詞命題，A正確；對(duì)B，命題中含“”，故命題是全稱量詞命題，B正確；對(duì)C，命題中含“所有的”，故命題是全稱量詞命題，C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根，D錯(cuò)誤；故選：AB【變式1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）指出下列命題中的全稱量詞或存在量詞，并用量詞符號(hào)“”或“”表示下列命題．（1）所有實(shí)數(shù)都能使成立；（2）對(duì)所有實(shí)數(shù)，，方程恰有一個(gè)解；（3）存在整數(shù)，，使得成立；（4）存在實(shí)數(shù)，使得與的倒數(shù)之和等于1．【答案】（1）“所有”是全稱量詞；，（2）“所有”是全稱量詞；，，方程恰有一個(gè)解（3）“存在”是存在量詞；，，（4）“存在”是存在量詞；，題型二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【例2】（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中是真命題的為（）A．對(duì)任意的B．對(duì)任意的C．存在D．存在銳角，【答案】D【解析】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于，故，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，顯然存在，使得，D選項(xiàng)正確.故選：D【變式2-1】（2022秋·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若命題“，使”為假命題，則下列命題一定為真的是（）A．，都有B．，都有C．，都有D．，都有【答案】C【解析】因?yàn)槊}“，使”為假命題，所以其否定為真命題，即，都有為真命題，故選：C【變式2-2】（2023秋·廣東·高一校聯(lián)考期末）（多選）下列命題為真命題的是（）A．任意兩個(gè)等邊三角形都相似B．所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)C．，D．，【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)樗械牡冗吶切蔚拿總€(gè)內(nèi)角都為，因此任意兩個(gè)等邊三角形都相似，A正確；對(duì)于B，2是素?cái)?shù)，而2是偶數(shù)，即“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，即，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，D錯(cuò)誤.故選：AC【變式2-3】（2022秋·四川巴中·高一校考期中）（多選）下列四個(gè)命題中假命題的有（）A．，B．C．，D．，【答案】BCD【解析】對(duì)A選項(xiàng)，由于，所以，即，為真命題；對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以“”為假命題；對(duì)C選項(xiàng)，由集合N表示自然數(shù)，所以“，”為假命題；對(duì)D選項(xiàng)，由于，所以，不是有理數(shù)，所以“，”為假命題.故選：BCD.題型三由全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)【例3】（2022秋·高一單元測(cè)試）若命題“任意，使”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于任意，都有，故要使命題“任意，使”為真命題，需有，故選：B【變式3-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知命題，命題，若命題p和都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】當(dāng)為真時(shí)，；當(dāng)為真時(shí)，，即；因?yàn)槊}p和都是真命題，所以且或.故答案為：.【變式3-2】（2022秋·湖南·高一張家界市民族中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）命題，為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（）A．B．0C．1D．2【答案】ABC【解析】若命題，為真命題，則，解得，所以當(dāng)命題，為假命題時(shí)，，符合條件的為、B、C選項(xiàng).故選：BC.【變式3-3】（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）若“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】根據(jù)題意知，，解得，，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：【變式3-4】（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知集合，.（1）若“命題：，”是真命題，求的取值范圍.（2）“命題：，”是假命題，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)槊}是真命題，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上m的取值范圍為；（2）因?yàn)椤懊}：，”是假命題，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，則或，解得，綜上的取值范圍為.題型四含有一個(gè)量詞的命題的否定【例4】（2022秋·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）已知命題，總有，則為（）A．，使得B．，使得C．，總有D．，總有【答案】B【解析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可知，則為，使得.故選：B．【變式4-1】（2022春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）已知命題，則命題的否定是__________．【答案】.【解析】命題的否定是：.故答案為：.【變式4-2】（2023春·河南·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）命題“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】命題“”的否定是“”.故選：C【變式4-3】（202