考點27 復數(shù)9種常見考法歸類（解析版）

考點27復數(shù)8種常見考法歸類考點一復數(shù)的有關(guān)概念（一）復數(shù)的實部與虛部（二）共軛復數(shù)（三）復數(shù)相等（四）復數(shù)分類考點二待定系數(shù)求復數(shù)考點三復數(shù)的模（一）求復數(shù)的模（二）由復數(shù)模求參數(shù)（三）與復數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題考點四復數(shù)的四則運算（一）復數(shù)的運算（二）復數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題考點五復數(shù)的幾何意義（一）與復數(shù)對應點(向量)有關(guān)的運算（二）判斷復數(shù)對應點所在的象限（三）根據(jù)復數(shù)對應坐標的特點求參數(shù)考點六復數(shù)的綜合問題考點七復數(shù)的新定義問題考點八歐拉公式及其應用考點九復數(shù)與其他知識的交匯1.復數(shù)的概念概念定義復數(shù)把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.復數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a與b分別叫做復數(shù)z的實部與虛部復數(shù)集全體復數(shù)所構(gòu)成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}復數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R復數(shù)分類復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類：復數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）（當a＝0時為純虛數(shù))))共軛復數(shù)一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)，虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復數(shù)z的共軛復數(shù)用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi復平面建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復數(shù)的模復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)對應的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)，其中a，b∈R.復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是復數(shù)z＝a＋bi在復平面內(nèi)對應的點Z(a，b)到坐標原點的距離2.解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)求一個復數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復數(shù)的實部為a，虛部為b；(2)求一個復數(shù)的共軛復數(shù)，只需將此復數(shù)整理成標準的代數(shù)形式，實部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復數(shù)的共軛復數(shù)．復數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．所以解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．①復數(shù)是實數(shù)的條件:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z=z;③z∈R?z2≥0.②復數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數(shù)?z+z=0(z≠0);③z是純虛數(shù)?z2<0.3.解決復數(shù)問題最基本的思想方法復數(shù)問題標準化、實數(shù)化是解決復數(shù)問題最基本的思想方法.復數(shù)概念中應注意的幾點：①對于復數(shù)m＋ni，如果m，n∈C(或沒有明確界定m，n∈R)，則不可想當然地判定m，n∈R；②易誤認為y軸上的點與純虛數(shù)一一對應(注意原點除外)；③對于a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.4.復數(shù)的幾何意義為方便起見，我們常把復數(shù)z＝a＋bi說成點Z或說成向量eq\o(OZ,\s\up6(→))，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個復數(shù).5.對復數(shù)幾何意義的再理解(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up7(→))；(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．6.兩個復數(shù)的差的模的幾何意義|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2)，由此可知表示復數(shù)z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復平面內(nèi)表示復數(shù)z1，z2的兩點之間的距離．即設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點分別是，則=一般地，設(shè)復數(shù)對應的點分別是,則復數(shù)z對應的點Z的軌跡如下：①若，則為圓；②若，則為圓環(huán)，但不包括邊界；③若，則為垂直平分線；④若常數(shù)，則當常數(shù)大于AB時，為橢圓；當常數(shù)等于AB時，為線段；當常數(shù)小于AB時，不存在；⑤若常數(shù)，則當常數(shù)大于AB時，不存在；當常數(shù)等于AB時，為一條射線；當常數(shù)小于AB時，為雙曲線的一支.7.復數(shù)的四則運算(1)運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.③eq\f(z1,z2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(z2≠0).注：①復數(shù)的計算除了掌握基本運算法則外，最好熟記一些常見算式運算的結(jié)果，這對提高運算的速度和準確度都有很大的幫助.②除法的關(guān)鍵是“分母實數(shù)化”.(2)復數(shù)加、減法的幾何意義加法復數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))為鄰邊的平行四邊形的對角線OZ所表示的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所對應的復數(shù)減法復數(shù)z1－z2是從向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))的終點指向向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))的終點的向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所對應的復數(shù)(3)復數(shù)加法的運算律：對任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1＋z2＝z2＋z1結(jié)合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)(4)復數(shù)乘法的運算律：對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結(jié)合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(5)共軛與模是復數(shù)的重要性質(zhì)，運算性質(zhì)有：①；②；③；④；⑤；⑥.(6)常用結(jié)論①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i其中n∈N*，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．8.復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略復數(shù)的加減法在進行復數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可復數(shù)的乘法復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可復數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式在含有z，z，|z|中至少兩個的復數(shù)方程中，可設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，變換方程，利用兩復數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于a，b的方程組，求出a，b，從而得出復數(shù)z.9.復數(shù)范圍內(nèi)實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式為(1)當Δ≥0時，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)當Δ<0時，x＝eq\f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).注：實系數(shù)方程的虛數(shù)根必共軛成對出現(xiàn)10.復數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：依據(jù)題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復數(shù)相等的充要條件求解．對于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在復數(shù)范圍內(nèi)負數(shù)是能開方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的（依然滿足韋達定理）．注意求方程中參數(shù)的取值時，不能利用判別式求解．注：由于虛數(shù)單位的特殊性，不能用判別式判斷復系數(shù)一元二次方程有無實數(shù)根．考點一復數(shù)的有關(guān)概念（一）復數(shù)的實部與虛部1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預測）若，則復數(shù)z的虛部為（

）A．-5 B．5 C．7 D．-7【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算、復數(shù)的概念求值即可.【詳解】依題意，，故z的虛部為-5.故選：A2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算可得，結(jié)合題意列出方程，即可得答案.【詳解】由于,的實部與虛部互為相反數(shù)，故，故選：A3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）復數(shù)的實部與虛部之和為（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則可求得z，由實部和虛部定義求得結(jié)果.【詳解】因為，所以復數(shù)的實部與虛部分別是，，則復數(shù)的實部與虛部之和為．故選：C（二）共軛復數(shù)4．（2023春·四川雅安·高三雅安中學校聯(lián)考階段練習）的共軛復數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由復數(shù)的運算即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則其共軛復數(shù)為．故選:A5．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復數(shù)的運算直接求解得到，再由共軛復數(shù)的概念求解即可.【詳解】由題知，復數(shù)的共軛復數(shù)為復數(shù)的共軛復數(shù)虛部為，故選：B.6．（2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)是純虛數(shù)，是實數(shù)，則（

）A．－ B． C．－2 D．2【答案】A【分析】由題意設(shè)，代入中化簡，使其虛部為零，可求出的值，從而可求出復數(shù)，進而可求得其共軛復數(shù).【詳解】由題意設(shè)，則，因為是實數(shù)，所以，得，所以，所以，故選：A.（三）復數(shù)相等7．（2023·上海徐匯·位育中學?？寄M預測）已知，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】設(shè)，，則，若，即，所以，則，此時，故充分性成立；若，則，則，故必要性成立；故“”是“”的充要條件.故選：C8．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知，，且，是虛數(shù)單位，則____________．【答案】【分析】由復數(shù)相等概念可得答案.【詳解】因，則.故答案為：29．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由復數(shù)相等的充要條件可得的值.【詳解】因為，所以，由復數(shù)相等的充要條件得，所以.故選：C.10．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學?？寄M預測）已知，則________．【答案】1【分析】利用復數(shù)乘法運算及復數(shù)相等求出值作答.【詳解】依題意，，而，因此，解得；所以.故答案為：111．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實數(shù)_________．【答案】【分析】利用復數(shù)相等的條件即可求解.【詳解】由題意可知，，解得,所以實數(shù).故答案為：.12．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知，復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用復數(shù)運算規(guī)則求得，求得的值，進而得到的值.【詳解】，則，故.故選：D13．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）已知復數(shù)，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)加減法運算規(guī)則和復數(shù)相等的定義求解.【詳解】因為，所以，由，得，即；故選：B.（四）復數(shù)分類14．（2023·山東濰坊·三模）已知為虛數(shù)單位，則“復數(shù)是純虛數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義及充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】，因為復數(shù)是純虛數(shù)所以，即，故不同時為，所以，當時，不是純虛數(shù)，所以“復數(shù)是純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：A.15．（2023·四川成都·三模）已知復數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則實數(shù)的值為_______．【答案】/【分析】根據(jù)題意，由復數(shù)的運算，結(jié)合純虛數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以，所以.故答案為：.16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復數(shù)的概念及復數(shù)的運算求解即可.【詳解】，所以要使為純虛數(shù)，則，解得：．故選：B．17．（2023·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）設(shè)，則“”是“為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先利用復數(shù)運算對復數(shù)化簡，再利用實部為零，虛部不為零解出，最后確認是充要條件.【詳解】依題意，，，故，若該式為純虛數(shù)，則，解得.故選：C.18．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)復數(shù)為實數(shù)，則實數(shù)m的值是__________．【答案】3【分析】復數(shù)為實數(shù)，則虛部為零，結(jié)合分母不等于零得出答案.【詳解】依題意有，解得m＝3.故答案為：3.19．（2023春·全國·高三競賽）復數(shù)，且，則實數(shù)_______.【答案】【分析】展開，依據(jù)題意計算的值，再根據(jù)確定最終解果即可.【詳解】由題意得或或若，則，不滿足，舍去；若，則，不滿足，舍去；若，則，滿足題意，故故答案為：20．【多選】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．若純虛數(shù)，則B．若為實數(shù)，則，C．若，則或D．若，則m的取值范圍是【答案】ABC【分析】根據(jù)復數(shù)的相關(guān)概念，列出相應的等式或方程，求得參數(shù)，即可判斷答案.【詳解】對于A，復數(shù)是純虛數(shù)，則，A正確；對于B，若為實數(shù)，則，則，，B正確；對于C，若，則，則，解得或，C正確；對于D，若，則，且，則，D錯誤，故選：ABC考點二待定系數(shù)求復數(shù)21．（2023·湖北·模擬預測）已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)的虛部為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)復數(shù)的模的公式及相等復數(shù)的定義求出參數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義及虛部的定義即可得解.【詳解】設(shè)，則，則，即，所以，解得，所以，所以的共軛復數(shù)的虛部為.故選：B.22．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預測）設(shè)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，且，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的定義和共軛以及模的求法即可求解.【詳解】由題意設(shè)，由，得，因為，所以，解得，所以，所以．故選:A．23．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)復數(shù)，則，根據(jù)復數(shù)的加減法與復數(shù)相等求得結(jié)果.【詳解】設(shè)復數(shù)，則，則，則，，所以．故選：C.24．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學校考階段練習）若復數(shù)滿足，則其實部__________.【答案】2【分析】根據(jù)復數(shù)相等的知識求得，進而求得的實部.【詳解】設(shè)，依題意，，即，所以，解得，所以的實部為.故答案為：25．（2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)為純虛數(shù)，且，則z=（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除運算以及模長公式即可求解.【詳解】設(shè)(a，bR)，則，因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以解得又，所以或，解得或，所以或．故選:C考點三復數(shù)的模（一）求復數(shù)的模26．【多選】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)為復數(shù)，則下列命題中一定成立的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么【答案】BC【分析】舉例即可說明A、D項；根據(jù)即可得出B項；由，即可判斷C項.【詳解】對于A項，取，時，，但虛數(shù)不能比較大小，故A項錯誤；對于B項，由，得.又，，所以，故B項正確；對于C項，因為，所以，故C項正確；對于D項，取，，滿足，但是，故D項錯誤.故選：BC.27．（2023·廣東·高三專題練習）已知a，，，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)相等求得，再求.【詳解】因為，所以，，所以.故選：D.28．（2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，可得，則.故選：A.29．（2023·全國·模擬預測）已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：先化簡復數(shù)，求出，在寫出它的共軛復數(shù)，最后利用公式計算即可；方法二：先化簡復數(shù)，利用即可.【詳解】方法一：因為，，，，所以，所以，所以，所以．方法二：由，所以．故選：B．30．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】運用復數(shù)乘法運算及復數(shù)相等可求得a、b的值，再運用共軛復數(shù)及復數(shù)的模的運算公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)（a，），則，根據(jù)復數(shù)相等的定義，得，解得或，所以．故選：B.31．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)（，），代入已知等式，由復數(shù)相等進行運算求解即可.【詳解】設(shè)（，），則由得，，∴，∴，解得，∴，∴.故選：B.32．（2023·河南·模擬預測）已知復數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．1或【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)相等的充要條件可得，進而得，由模長公式即可求解.【詳解】設(shè)，，，，，，.故選：A（二）由復數(shù)模求參數(shù)33．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知，為虛數(shù)單位，若復數(shù)，，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式列式求得．【詳解】因為由，得，得．故答案為：．34．（2023·全國·高三專題練習）已知復數(shù)z滿足（其中，i為虛數(shù)單位），若復數(shù)z的模為，則實數(shù)a=（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡,由模長公式即可求解.【詳解】由得，由模長為得，解得由于，所以，故選：C35．（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)z滿足，若，則復數(shù)z為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的模的計算求得a的值，再根據(jù)復數(shù)的除法運算即可求得答案.【詳解】由有，即，解得，當時，,當時，.故選：C36．（2023·河北石家莊·正定中學?？寄M預測）設(shè)復數(shù)，，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再根據(jù)復數(shù)模的計算公式得到不等式，解得即可.【詳解】因為復數(shù)，又，且，所以，解得，所以的最大值為.故選：C.（三）與復數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題37．【多選】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，，為復數(shù)，且，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則在復平面對應的點在一條直線上【答案】ACD【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念可判斷A，利用特值可判斷B，根據(jù)復數(shù)運算法則及復數(shù)相等可判斷C，根據(jù)復數(shù)的幾何意義結(jié)合條件可判斷D.【詳解】設(shè)，，，對A，若，即，則，所以，，故A正確；對B，若，則，而，故B錯誤；對C，，，所以，即，因為，，則至少有一個不為零，不妨設(shè)，由，可得，所以，，即，，故C正確；對D，由，可得，所以，又不全為零，所以表示一條直線，即在復平面對應的點在一條直線上，故D正確.故選：ACD.38．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）若復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應點組成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷在復平面對應的點是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點，進而求出其面積.【詳解】在復平面對應的點是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點，，故選：D.39．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】設(shè)復數(shù)在復平面中對應的點為，由題意可得：，表示復平面中點到定點的距離為1，所以點的軌跡為以為圓心，半徑的圓，因為表示表示復平面中點到定點的距離，所以，即的最大值為3.故選：C.40．（2023·全國·模擬預測）設(shè)是復數(shù)且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義可知，表示復平面內(nèi)以為圓心，1為半徑的圓，而表示復數(shù)到原點的距離，由圖可知，.故選：C41．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學?？茧A段練習）若復數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】首先設(shè)復數(shù)，(不同時為0)，根據(jù)條件化簡求得的關(guān)系式，再根據(jù)復數(shù)模的幾何意義求最值.【詳解】設(shè)，(不同時為0)，，由題意可知，得或，當時，的軌跡是軸（除原點外），此時的幾何意義表示復數(shù)表示的點和的距離，此時，當時，復數(shù)的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，如圖，根據(jù)復數(shù)模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點到的距離，如圖可知，的最小值是點與的距離.故選：C42．【多選】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)，復數(shù)滿足，則（

）A．B．C．復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點的坐標是D．復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為，則【答案】AD【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的定義，復數(shù)的幾何意義判斷BCD，由復數(shù)的乘法判斷A．【詳解】由已知，其對應點坐標為，C錯；，A正確；由知對應的點在以對應點為圓心，2為半徑的圓上，，因此，B錯誤；對應點坐標為，因此D正確．故選：AD．43．（2023·全國·高三專題練習）如果復數(shù)z滿足，那么的最大值是______．【答案】2＃＃＋2【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義表示，兩點間距離，結(jié)合圖形理解運算．【詳解】設(shè)復數(shù)z在復平面中對應的點為∵，則點到點的距離為2，即點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓表示點到點的距離，結(jié)合圖形可得故答案為：．44．（2023·河南·洛陽市第三中學校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)z滿足，z在復平面內(nèi)對應的點為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為動點到兩定點距離相等的幾何意義即可得到答案.【詳解】設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點分別為,則的幾何意義是到的距離和到的距離相等,則在復平面內(nèi)對應的點滿足.故選：D.45．（2023·全國·高三專題練習）復平面內(nèi)復數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復數(shù)模的幾何意義得出對應點的軌跡，設(shè)，即可計算的最小值．【詳解】因為，所以點是以，為焦點，半實軸長為1的雙曲線，則，所以點的軌跡方程為，設(shè)，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為．故選：B．46．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）若復數(shù)z滿足，則的最小值為（

）．A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)和的幾何意義，結(jié)合雙曲線的圖象即可得到的最小值.【詳解】設(shè)復數(shù)在復平面上對應的點的坐標為，則表示點到的距離與到的距離的差為4，所以點的軌跡為雙曲線的右支，圖象如下所示：

表示點到的距離，所以的最小值為3.故選：A.考點四復數(shù)的四則運算（一）復數(shù)的運算47．（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）i是虛數(shù)單位，則復數(shù)______.【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算可得；【詳解】故答案為：48．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法和乘方運算可得答案.【詳解】.故選：D.49．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算規(guī)則計算.【詳解】；故選：B.50．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算可得.【詳解】因為，所以，所以，則.故選：C51．（2023·江蘇南通·三模）復數(shù)的虛部為(

).A． B． C．1011 D．2022【答案】A【分析】利用錯位相減法求和，結(jié)合復數(shù)的除法運算求出復數(shù)z，即可求得答案.【詳解】由題意得，所以，所以，所以，所以復數(shù)z的虛部為1012，故選：A52．（2023·全國·高三專題練習）____________【答案】/【分析】利用虛數(shù)單位的性質(zhì)，復數(shù)的除法、乘方運算法則化簡即可.【詳解】，，.故答案為：53．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由已知可得，，代入根據(jù)復數(shù)相等的充要條件列出方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，所以有，解得或.故選：C.54．【多選】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知復平面內(nèi)復數(shù)對應向量，復數(shù)滿足，是的共軛復數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義和模長公式計算可得A正確；根據(jù)共軛復數(shù)的概念和復數(shù)的乘方運算法則計算可得B正確；根據(jù)復數(shù)的除法運算法則和模長公式計算可得C錯誤；D正確.【詳解】依題意，，則，故A正確；又，，，，即，故B正確；設(shè)，由得，，則，，故C錯誤；，.故D正確.故選：ABD.（二）復數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題55．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知，，虛數(shù)是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】將虛數(shù)z代入方程，利用復數(shù)相等解方程組即可得出答案.【詳解】因為虛數(shù)（）是方程的根，則，即，由復數(shù)相等得出，解得或，因為虛數(shù)中，所以，所以.故選：B56．（2023·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個根，則（

）A．9 B．1 C． D．【答案】B【分析】把方程的根代入方程，利用復數(shù)相等的列方程組求解.【詳解】已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個根，則，即，即，解得，故.故選：．57．（2023·全國·高三專題練習）若虛數(shù)是關(guān)于x的方程的一個根，且，則（

）A．6 B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】設(shè)復數(shù)，將其代入方程求得，，然后利用復數(shù)即可求解.【詳解】設(shè)（且），代入原方程可得．所以，解得，因為，所以．故選：C．58．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知復數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的值為（

）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】D【分析】解方程可得與，利用乘法運算直接計算，或者利用韋達定理即可.【詳解】解法一：由，得，，所以；解法二：方程，由韋達定理可得.故選：D59．（2023·全國·模擬預測）設(shè)是虛數(shù)單位，已知是關(guān)于的方程的一個根，則________，________．【答案】1226【分析】分析：把代入方程得，再化簡方程利用復數(shù)相等的概念得到p，q的值.【詳解】把代入方程得，所以，所以，所以故答案為：12；26．60．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）設(shè)，是方程在復數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由方程解出，，再由復數(shù)的運算及復數(shù)的模判斷4個選項即可.【詳解】由方程得，由求根公式得根為，不妨設(shè)，.，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；令，得或，所以，也是方程的兩個根，所以D正確.故選：D.考點五復數(shù)的幾何意義（一）與復數(shù)對應點（向量）有關(guān)的運算61．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則在復平面內(nèi)對應的點為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)的幾何意義得到復數(shù)，然后求得，再利用幾何意義求解.【詳解】解：由題意得，則，所以在復平面內(nèi)對應的點為，故選：A62．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用復數(shù)的運算法則化簡求解即可.【詳解】復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則故選：.63．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）在復平面中，點O為坐標原點，記，，表示的復數(shù)分別為，記z為所表示的復數(shù)，則（

）A．25 B．8 C．5 D．【答案】A【分析】由復數(shù)的幾何意義可得，求出，再由共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的乘法運算化簡即可得出答案.【詳解】因為，，表示的復數(shù)分別為所以，，則，那么，所以.故選：A．64．（2023·全國·高三專題練習）已知為復數(shù)，設(shè)，，在復平面上對應的點分別為A，B，C，其中O為坐標原點，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)、復數(shù)的乘法運算可以表示出，，三點的坐標，通過向量的模長、向量的平行和垂直知識進而可以判斷.【詳解】設(shè)，，，，，，對于A，，故選項A正確；對于B，，，故選項B正確；對于C，，當時，，故選項C錯誤；對于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項D錯誤.故選:AB.（三）判斷復數(shù)對應點所在的象限65．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則求的代數(shù)形式，再確定其在復平面所對應的點及其象限.【詳解】因為，所以復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為，該點在第四象限.故選：D.66．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)（）為純虛數(shù)，則復數(shù)在復平面上對應的點（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】化簡復數(shù)，由純虛數(shù)概念可解得的值，從而得出結(jié)論.【詳解】由為純虛數(shù),則實部,虛部,解得,則復數(shù)，在復平面上對應的點在第四象限.故選:D.67．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知，則在復平面內(nèi)，復數(shù)z所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復數(shù)的除法求復數(shù)z，進而判斷復數(shù)z所對應的點所在象限.【詳解】∵，∴復數(shù)z所對應的點為，位于第四象限.故選：D.68．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)在復平面內(nèi)對應的點為，則“點在第四象限”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義解決即可.【詳解】由題知，在復平面內(nèi)對應的點為，因為點在第四象限，即，，即，或，所以“點在第四象限”是“”的充分不必要條件，（四）根據(jù)復數(shù)對應坐標的特點求參數(shù)69．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點落在第一象限，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡，根據(jù)對應點所在象限列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】，對應點，由于點在第一象限，所以，解得.故選：A70．（2023·河北唐山·開灤第二中學?？寄M預測）已知復數(shù)與在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)對應點的對稱關(guān)系得，應用復數(shù)除法化簡目標式即得結(jié)果.【詳解】由對應點為，則對應點為，故，所以.故選：D71．（2023·河南濮陽·濮陽一高校考模擬預測）在復平面內(nèi)，復數(shù)與對應的點關(guān)于虛軸對稱，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算得，關(guān)于虛軸對稱即關(guān)于軸對稱，得出結(jié)果即可．【詳解】由題意得，∵復數(shù)與對應的點關(guān)于虛軸對稱對稱，∴．故選：D．72．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學?？寄M預測）已知復數(shù)(為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在直線上，則(

)A． B． C．6 D．【答案】D【分析】先化簡復數(shù)，再由復數(shù)對應的坐標在直線上可得參數(shù).【詳解】由題意，得，其在復平面內(nèi)對應的點的坐標為．因為z在復平面內(nèi)對應的點在直線上，所以，解得．故選:D．考點六復數(shù)的綜合問題73．（2023·全國·高三專題練習）若復數(shù)，則（

）A．B．復數(shù)在復平面上對應的點在第二象限C．復數(shù)的實部與虛部之積為 D．【答案】C【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法算出，然后根據(jù)復數(shù)的定義和性質(zhì)逐一判斷每個選項【詳解】復數(shù)，，故A錯誤；復數(shù)在復平面上對應的點坐標為，在第三象限，故B錯誤；復數(shù)的實部與虛部之積為，故C正確；，故D錯誤．故選：C74．【多選】（2023·吉林四平·四平市實驗中學?？寄M預測）若復數(shù)滿足，則（

）A．的虛部為 B．C． D．z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限【答案】BC【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求得，再根據(jù)復數(shù)的特征逐一判斷各選項.【詳解】因為，對于A，的虛部為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，z在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，故D錯誤；故選：BC．75．【多選】（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程的復數(shù)解為，，則（

）A．B．與互為共軛復數(shù)C．若，則滿足的復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限D(zhuǎn)．若，則的最小值是3【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，求出，再逐項計算、判斷作答.【詳解】因為，因此不妨令方程的復數(shù)解，對于A，，A錯誤；對于B，與互為共軛復數(shù)，B正確；對于C，，由，得，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，C錯誤；對于D，設(shè)，由，得，顯然有，由選項A知，因此，當且僅當，即時取等號，D正確.故選：BD考點七復數(shù)的新定義問題76．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）若兩個復數(shù)的實部相等或虛部相等，則稱這兩個復數(shù)為同部復數(shù).已知，則下列數(shù)是z的同部復數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將展開，得到復數(shù)的實部與虛部，再逐一與選項進行比較，即可得到正確選項.【詳解】由于，其實部和虛部均為，而與的虛部相等，其余選項均不符合題意，所以是的同部復數(shù).故選：B77．（2023·全國·高三專題練習）如果一個復數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復數(shù)為“等部復