考點(diǎn)32 數(shù)列求和8種常見(jiàn)考法歸類（解析版）

考點(diǎn)32數(shù)列求和8種常見(jiàn)考法歸類考點(diǎn)一公式法求和考點(diǎn)二分組轉(zhuǎn)化法求和等差+等比型求和等差（等比）+裂項(xiàng)絕對(duì)值求和（分段求和）奇偶型求和正負(fù)相間求和(并項(xiàng)求和）考點(diǎn)三倒序相加法求和考點(diǎn)四錯(cuò)位相減法求和（一）等差等比（二）等差/等比考點(diǎn)五裂項(xiàng)相消法求和（一）等差型（二）無(wú)理型（三）指數(shù)型（四）對(duì)數(shù)型（五）冪型（六）三角函數(shù)型（七）通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、前n項(xiàng)積關(guān)系型（八）正負(fù)相間型裂項(xiàng)（九）先放縮后裂項(xiàng)求和考點(diǎn)六插入或構(gòu)造新數(shù)列求和考點(diǎn)七利用周期求和考點(diǎn)八數(shù)列求和的實(shí)際應(yīng)用（一）分期付款（二）產(chǎn)值增長(zhǎng)（三）其他模型1.公式法公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式來(lái)求和.對(duì)于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))③數(shù)列前項(xiàng)和重要公式：（1）（2）（3）（4）（5）等差數(shù)列中，；（6）等比數(shù)列中，.2.分組轉(zhuǎn)化法有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見(jiàn)特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項(xiàng)和．注：①形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減②形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減③形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．注：（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項(xiàng)”求和(3)正負(fù)相間求和：①奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。②如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)。注：在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.3.倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)便使用了此法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，因?yàn)橛袝r(shí)這種關(guān)系比較隱蔽.注：倒序求和，多是具有中心對(duì)稱的4.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減求和方法(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；(2)基本步驟(3)四步法用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和過(guò)程可概括為“一加、二乘、三減、四除”八字,以為例第一步——“一加”.“一加”,即將數(shù)列的各項(xiàng)展開(kāi)相加,對(duì)于數(shù)列bn有第二步——“乘”.“二乘”,即對(duì)數(shù)列的每一項(xiàng)都乘上等比數(shù)列的公比,對(duì)于bn=n3n,包含的等差數(shù)列的通項(xiàng)為n,等比數(shù)列的通項(xiàng)為第三步—“減”.“三減”,用“一加”所得等式減去“二乘”所得等式,相減過(guò)程注意錯(cuò)位,即Tn第四步——“四除”.“四除”,將“三減”所得等式的兩邊同時(shí)除以相同系數(shù),再整理結(jié)果,可得Tn(4)注意事項(xiàng)：①注意題目類型,特別是數(shù)列中等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;②在寫(xiě)出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出Sn－qSn；③若等比數(shù)列的公比為參數(shù),則需要討論公比為1和不為1兩種情形.④作差后，等式右邊有第一項(xiàng)、中間n－1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分組成；⑤運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項(xiàng)和看成n項(xiàng)和，把－anbn＋1寫(xiě)成＋anbn＋1導(dǎo)致錯(cuò)誤．(5)通法探究即萬(wàn)能公式從上述對(duì)錯(cuò)位相減法的構(gòu)建過(guò)程的探究中可知,該過(guò)程較為固定,故可將其整理為適用的萬(wàn)能公式,后續(xù)直接代人即可求解.即對(duì)于可分為等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘形式的數(shù)列Cn(通項(xiàng)公式Cn=(a?n+b)qn已知bn=n3n,變形可得bn=13n.5.裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的通項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng)．(1)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)在利用裂項(xiàng)相消求和時(shí)應(yīng)注意：善于識(shí)別裂項(xiàng)類型（1）在把通項(xiàng)裂開(kāi)后，是否恰好能利用相應(yīng)的兩項(xiàng)之差，相應(yīng)的項(xiàng)抵消后是否只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或者只剩下前邊兩項(xiàng)和后邊兩項(xiàng)，有時(shí)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面剩兩項(xiàng),或者前面剩幾項(xiàng),后面也剩幾項(xiàng);（2）對(duì)于不能由等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和問(wèn)題，一般需要將數(shù)列的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差或系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.轉(zhuǎn)化成某個(gè)新的等差或者等比數(shù)列進(jìn)行求和。應(yīng)用公式時(shí)，要保證公式的準(zhǔn)確性，區(qū)分是等差還是等比數(shù)列的通項(xiàng)還是前n項(xiàng)和公式。（3）使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)末被消去的項(xiàng)，末被消去的項(xiàng)前后對(duì)稱的特點(diǎn)，漏掉的系數(shù)裂項(xiàng)過(guò)程中易出現(xiàn)丟項(xiàng)或者多項(xiàng)的錯(cuò)誤，造成計(jì)算結(jié)果上的錯(cuò)誤，實(shí)質(zhì)上也是造成正負(fù)相消是此法的根源目的。(4)常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧①等差型等差型是裂項(xiàng)相消法中最常見(jiàn)的類型，也是最容易掌握的。設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)不為零，公差為，則，另外常見(jiàn)的類型有：（1）特別注意拓展：（3）分式的裂項(xiàng)：解答過(guò)程通過(guò)在分母上“減項(xiàng)”實(shí)現(xiàn)了通項(xiàng)的升冪，從而達(dá)到把通項(xiàng)裂項(xiàng)的目的。（4）如：（5）（6）整式的裂項(xiàng)：解答過(guò)程可以通過(guò)“增項(xiàng)”實(shí)現(xiàn)了通項(xiàng)的升冪，從而達(dá)到將通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)的目的，具體可使用待定系數(shù)法求參數(shù).（7）（8）②無(wú)理型該類型的特點(diǎn)是，分母為兩個(gè)根式之和，這兩個(gè)根式的平方差為常數(shù)，然后通過(guò)分母有理化來(lái)達(dá)到消項(xiàng)的目的，有時(shí)在證明不等式時(shí)，常常把分母放縮成兩個(gè)根式之和，來(lái)達(dá)到消項(xiàng)化簡(jiǎn)的目的。常見(jiàn)的有eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))=特別注意（3）（4）（5）③指數(shù)型由于，因此一般地有常見(jiàn)的有：（1）（2）（3）差指綜合類型（4）（5）（6）（7）（8）（9），設(shè)，易得，于是（10）④對(duì)數(shù)型由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可知：若則⑤冪型（1）（2）（3）⑥正負(fù)相間型裂項(xiàng)（1）形如型，可構(gòu)造，化為，利用正負(fù)相間裂項(xiàng)相消求和（2）形如型，可構(gòu)造，化為利用正負(fù)相間裂項(xiàng)相消求和。注意構(gòu)造過(guò)程中指數(shù)冪的運(yùn)算。⑦三角型（1）（2）（3）（4），則⑧通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系型利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系裂項(xiàng)，如數(shù)列的通項(xiàng)可化為⑨常見(jiàn)放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（11）．6.數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題常見(jiàn)模型(1)單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋xr).(2)復(fù)利公式：利息按復(fù)利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋r)x.(3)產(chǎn)值模型：原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x，總產(chǎn)值y＝N(1＋p)x.(4)遞推型：有an＋1＝f(an)與Sn＋1＝f(Sn)兩類.(5)數(shù)列與其他知識(shí)綜合，主要有數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)(含三角函數(shù))、數(shù)列與解析幾何等.考點(diǎn)一公式法求和1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求數(shù)列的通項(xiàng)公式為；設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的的取值集合.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，解不等式即可.【詳解】由知：，且數(shù)列為等差數(shù)列，所以，由得：，即，解得，所以的取值集合為.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知，且．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，結(jié)合條件得到，再利用等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論求出，再用分組求和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）已知，①則當(dāng)時(shí)，，②由①②可得：，，又，則，即，則，即，，則，又，則，所以為常數(shù)，即是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得：，即，則．3．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的正整數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）由，兩式相除得到公比，再代入求得首項(xiàng)，然后利用通項(xiàng)公式求解；（2）利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到，再解不等式即可.【詳解】（1）解：由題意得：等比數(shù)列的公比，又，所以，解得，所以；（2），令，解得，所以使得成立的正整數(shù)的最大值為3.考點(diǎn)二分組轉(zhuǎn)化法求和（一）等差+等比型求和4．（2023秋·寧夏銀川·高三校考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.（2）確定，再根據(jù)分組求和法結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1），故，故.（2），.5．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，a1，a4，2a8構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得出，代入化簡(jiǎn)即可求出，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出答案.（2）選①，由（1）知，，由分組求和法求出；選②，由（1）知，，由裂項(xiàng)相消法求出；選③由，（1）知，，由錯(cuò)位相減法求出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由a1，a4，2a8構(gòu)成等比數(shù)列得，則，由，所以，化簡(jiǎn)得：，解得（舍去）或，所以.（2）若選①，，所以；若選②，，所以；若選③，，令，則，兩式相減可得：，則，則.6．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）計(jì)算，確定，得到證明.（2）計(jì)算，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式結(jié)合分組求和法計(jì)算得到答案.【詳解】（1），則，，故是以首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．（2），故，.7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，由，，再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可；（2）由（1）得到，再利用分組求和即可.【詳解】（1）解：設(shè)的公差為d，的公比為q，則，.所以，；（2）由（1）知，則，，.四、（二）等差（等比）裂項(xiàng)8．（2023秋·山西呂梁·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用，，成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，再利用，得到是公比為的等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和及裂項(xiàng)相消法，得到，從而證明出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因?yàn)?，且，，成等比?shù)列，所以，所以d＝3，所以．由，得，所以是公比為的等比數(shù)列，又，所以．（2），所以．因?yàn)?，所以?．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，作差，得，即，此式對(duì)也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．（2）由（1）知，，不妨令，且數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，，作差，得，即．則，即數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（三）絕對(duì)值求和（分段求和）10．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為、，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為、，由題意可知，化簡(jiǎn)得，解得，所以．（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以．11．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求出的公差即可求解；（2）由等差數(shù)列的求和公式求出，討論當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，寫(xiě)成分段的形式即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，綜上所述：.12．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可直接求解；（2）先求出，然后得到，然后根據(jù)的單調(diào)性可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，又滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，而，，且，所以；綜上，的最小值為.（四）奇偶型求和13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)，且，則________．【答案】1000【分析】分別寫(xiě)出為奇數(shù)和為偶數(shù)的通項(xiàng)公式，發(fā)現(xiàn)為定值的規(guī)律，則分組求和進(jìn)行求解．【詳解】函數(shù)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，故答案為：1000．14．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足：是的等比中項(xiàng).(1)求的值；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.【答案】(1)1；(2)6108.【分析】（1）由已知求得，然后由等比中項(xiàng)定義求解；（2）由已知式得出奇數(shù)項(xiàng)加2后成等比數(shù)列，而偶數(shù)項(xiàng)等于它前面的奇數(shù)項(xiàng)加1，因此結(jié)合分組求和法、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【詳解】（1）由已知，，又是的比例中項(xiàng)，所以，即，顯然且，故解得；（2）是奇數(shù)時(shí)，，，，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，．15．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前40項(xiàng)和.【答案】(1)(2)784【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)后，構(gòu)造等差數(shù)列即可；（2）將奇偶分開(kāi)，分組求和即可.【詳解】（1）由題意易得，由可得，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.故，即.（2）由（1）知，.所以的前40項(xiàng)和.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是一個(gè)等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗(yàn)證時(shí)是否成立，即可得到，進(jìn)而即可證明結(jié)論；（2）分奇偶項(xiàng)求和，奇數(shù)項(xiàng)用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項(xiàng)用裂項(xiàng)相消的方法求和，最后相加即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，由，則，上述兩式作差可得，因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為，所以，因?yàn)椋ǔ?shù)），所以是一個(gè)等差數(shù)列．（2），所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和．17．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；（2）根據(jù)條件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化簡(jiǎn)證明；（3）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別求奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再分別利用裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求和，即可證明.【詳解】（1）由，得，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，．（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，得，所以，，，，，得證．（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，設(shè)，，兩式相減得得，所以，所以．18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，已知，為，的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若求數(shù)列的前2n項(xiàng)和【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由等差數(shù)列定義以及等比中項(xiàng)的概念可解得公差，可求得通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消求和即可得；（3）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可采用分組求和，再利用裂項(xiàng)和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)公差為且，則，即，解得或（舍去），所以．即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），所以，即數(shù)列的前n項(xiàng)和（3）由可得．所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和.（五）正負(fù)相間求和（并項(xiàng)求和）19．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減則可求等差數(shù)列的公差，時(shí)，可求首項(xiàng)，從而可求其通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)已知可求，再由并項(xiàng)求和法求和即可．【詳解】（1）由已知為等差數(shù)列，記其公差為d．①當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，解得，②當(dāng)時(shí)，，所以，所以．（2）由（1）知，．20．（2023·廣東深圳·校考二模）已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程，求出，即可求出通項(xiàng)；（2）由（1）可得，在分為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）由題意知，，所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上．21．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，作差求出公比，即可得出答案；（2）由（1）得，可得，利用分組求和法計(jì)算可得．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，①，，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．22．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)；(2)1024144.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，分奇偶討論求出的通項(xiàng)公式.（2）利用（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.【詳解】（1）數(shù)列滿足：，，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，因此，即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，由，得，因此，即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，.23．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)．【答案】(1)(2)數(shù)列的第二項(xiàng)和第四項(xiàng)都為其最大項(xiàng)，且.【分析】（1）結(jié)合與的關(guān)系，由條件可得，利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列求和公式可求.（2）由條件求，結(jié)合，證明，再求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，由此確定，討論知最大項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)分析數(shù)列的單調(diào)性，由此確定其最大項(xiàng).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，故，所以，，，，，所以；?）因?yàn)?，所以，又，所以，由?），所以，，所以，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，又，所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)一定為偶數(shù)項(xiàng)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，所以，且為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，又，，所以數(shù)列的第二項(xiàng)和第四項(xiàng)都為其最大項(xiàng)，且.24．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；(2)若，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）將代入遞推公式即可求出答案；（2）將通項(xiàng)公式代入，將展開(kāi)并項(xiàng)求和即可得出答案.【詳解】（1）由可得，，又因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，因?yàn)椋?，所以，?shù)列為等差數(shù)列，所以，，，所以.（2），.25．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可求得；根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得；（2）由（1）可得，進(jìn)而得到；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，采用分組求和的方式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1），數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，解得：，，；，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.（2）由（1）得：，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：.考點(diǎn)三倒序相加法求和26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為_(kāi)__________.【答案】【分析】先求出，并判斷，（且），再由函數(shù)得到，最后求的值即可.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，所以，解得：，則，（且）因?yàn)椋瑒t，所以設(shè)，則，由上述兩式相加得：，則故答案為：1009.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和、倒序相加法，是中檔題.27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則______．【答案】4043【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合倒序相加法求和，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，設(shè)，則兩式相加，可得，所以.故答案為：.28．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則__________.【答案】46【分析】先證，由倒序相加法可得通項(xiàng)，然后可解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋O(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，從而當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，，，相加得所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】通過(guò)，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿足即可.【詳解】；時(shí)，，，相加得，所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；30．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用倒序相加法結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求的前n項(xiàng)和.【詳解】設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，又，故，故，故答案為：.考點(diǎn)四錯(cuò)位相減法求和（一）等差等比31．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由等比數(shù)列定義證明即可；（2）使用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知數(shù)列中任意一項(xiàng)不為，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由第（1）問(wèn)，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.32．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求數(shù)列的通項(xiàng)，再用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和為.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，

則；又符合上式，所以；（2）∵，

∴.33．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是與的等比中項(xiàng)，___________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)所選條件，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，求和公式及等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.【詳解】（1）選條件①：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選條件②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選條件③：因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，由，可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）令，則①，②，①②得，所以.34．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；（2）由錯(cuò)位相減法得到，進(jìn)而得到不等式，即恒成立，分三種情況，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①－②得，，∴，∴，又，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由是恒成立，即恒成立，不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以．35．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及的關(guān)系求解；（2）利用錯(cuò)位相減法可求得，在根據(jù)題意得即可求解.【詳解】（1）由，得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，又不滿足上式，所以.（2）由（1）知，∴，∴，①，②①?②得：，整理得，又因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)，恒成立，所以，∵，∴在上單調(diào)遞增，，由，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.36．（2023·重慶萬(wàn)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②，與都是等比數(shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按所作第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①或③，已知和的關(guān)系，求解即可；若選②設(shè)出公比求解即可；（2）用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和即可.【詳解】（1）若選①：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以.若選②：都是等比數(shù)列，設(shè)的公比為：，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，即，解得（舍去）或，因?yàn)?，所?若選③：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，所以所以，當(dāng)時(shí)，符合，故.（2）由（1）可知：，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，，兩式相減得：，所以，所以，所以.37．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)校考二模）已知數(shù)列和等差數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)乘公比錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，由得：由得：所以：，所以：所以：當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椴粷M足，所以：.（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，①，②①②得：，所以：，又也滿足，綜上：.（二）等差/等比38．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出結(jié)果.【詳解】（1），兩式相減得：，由于，則，當(dāng)時(shí)，，得，，則，所以是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，故．（2）①所以②由得：，所以．39．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)，均有，則數(shù)列的前項(xiàng)和________．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)求出，得到，再利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】∵為等差數(shù)列且，∴，又，∴，∴，①，∴②，由①②，得，，．故答案為：40．（2023·河北唐山·開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列方程求基本量，即可得通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，故，所以，而，則，所以，則，可得，故.（2）由（1）知：，所以，則，所以，故.41．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系，可以推導(dǎo)出為等比數(shù)列，再求通項(xiàng)公式即可；（2）使用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）∵，則，∴當(dāng)時(shí)，，以上兩式相減，得，即（）.又當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，∴（），∵，∴（），∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，①，①,得②，①②，得，∴.考點(diǎn)五裂項(xiàng)相消法求和（一）等差型42．（2023·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足：，若，則________，______________．【答案】【分析】直接利用條件可遞推出第三項(xiàng)，利用累加法可得數(shù)列通項(xiàng)再用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由和可得：即；由可得：，累加得，所以.故答案為：，43．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)，作差得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得到，即可得解.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和.∵，∴單調(diào)遞增，∴，∵，∴，若使得對(duì)一切恒成立，則，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.44．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；（2）對(duì)裂項(xiàng)，用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）設(shè)的公差為，首項(xiàng)為，因?yàn)樗越獾盟?（2）由題設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，，將上式累加可得：，又，則.又，也適合上式，故.45．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)和，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出，從而利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再利用求出答案；（2）裂項(xiàng)相消法求和，并證明.【詳解】（1）因?yàn)?，則，所以，可得，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)檫m合上式，因此.（2）由（1）可得：，故.46．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)等差差數(shù)列的定義證明即可，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）利用分式分離變形，結(jié)合分組求和與裂項(xiàng)求和即可得.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以；（2）.47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，當(dāng)時(shí)，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，，，兩式作差可證得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可求得，由分組法求和和裂項(xiàng)相消求和求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）由于當(dāng)時(shí)，，所以，，兩式作差得：，，由于，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，所以當(dāng)時(shí)，，又，符合上式，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以．（2）由于，所以，由（1）知，則，則，故.（二）無(wú)理型48．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)公差為，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式，求出和，可得；（2）分母有理化化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)求和求出，作差比較可證不等式成立.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，即，解得，所以.（2），所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.49．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)，(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）根據(jù)所選條件得到的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)公差為，由可得，所以，解得，所以的通項(xiàng)公式為，則.（2）若選①；則，所以；若選②；則，則；若選③，則，所以.50．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）變形，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可求解；（2）根據(jù)題意解得，，由此證明.【詳解】（1），又，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1），，，，.（三）指數(shù)型51．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得;（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和法可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）,所以.52．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求，及的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求的最小值.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)遞推公式和的值，即可求出，及的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出數(shù)列的前項(xiàng)和，由不等式的恒成立，還可求出的最小值.【詳解】（1）由題意，在數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也符合，∴，，.∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，上式也符合.∴的通項(xiàng)公式為.（2）由題意及（1）得，,在數(shù)列中，，數(shù)列中，,∴.∵，∴.∵.∴的最大值為，.∴的最小值為.53．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋?，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當(dāng)時(shí)，，故.54．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列前項(xiàng)積為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求得數(shù)列的公差，由此求得.利用求得.（2）利用裂項(xiàng)相消求和法求得.【詳解】（1）是等差數(shù)列，，即：，又，，.又，當(dāng)時(shí)，，符合上式，.（2）由（1）可得：，.55．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由得出，再計(jì)算，將代入，即可證明；（2）由（1）得，得出為公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，代入，再裂項(xiàng)得，即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即所以（為常?shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由（1）知，即.所以，所以為公比為的等比數(shù)列，又，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：．56．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)(2)Tn【分析】（1）由，變形為，即，得到是常數(shù)列求解；（2）由（1）得到，進(jìn)而得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）.，，是常數(shù)列，，，時(shí)，，時(shí)，也成立，；（2），，..57．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零數(shù)列，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得到結(jié)果.【詳解】由已知條件知，則．所以．（*）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，將（*）代入得．當(dāng)時(shí)，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以，因?yàn)?，所以．故選：A．（四）對(duì)數(shù)型58．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，且滿足（且），．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）因式分解可知為等比數(shù)列，然后可解；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算裂項(xiàng)可解.【詳解】（1）由得，因?yàn)椋?，所以，即，又，所以是?為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，所以．（2）由得，59．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用等比數(shù)列求和公式及分組求和法計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為由成等比數(shù)列可得，所以，所以，因?yàn)?，所?①又，所以，②所以，聯(lián)立①②得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，所以.（五）冪型60．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與的關(guān)系證得是等差數(shù)列，求出，再求；（2）使用裂項(xiàng)求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，，，，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，，，，綜上，（2），,（）,，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.61．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）對(duì)兩邊同時(shí)除以，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出，再由裂項(xiàng)相消法求和求出，則，即，求解即可.【詳解】（1）兩邊同時(shí)除以，數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，，.（2），可得，，即，即恒成立..（六）三角函數(shù)型62．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，為的前n項(xiàng)和，若，則的范圍為_(kāi)______________．【答案】【分析】將化為，構(gòu)造數(shù)列滿足，結(jié)合兩角差的正切公式，使用裂項(xiàng)相消法求，再由的取值范圍求解即可.【詳解】由已知，，令，，則，∵，，∴，∴的前n項(xiàng)和，又∵，，∴，∵，∴，又∵，∴的范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：合理構(gòu)造數(shù)列，使用裂項(xiàng)相消法求和，是本題解題的關(guān)鍵所在.63．（2023·廣東珠海·珠海市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：對(duì)于任意有，且，若，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則________．【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，可證得是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求出，再由并項(xiàng)求和法求出.【詳解】因?yàn)?，則，由，，可得，，所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，，所以，所以．故答案為:.64．（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）已知2n＋2個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個(gè)數(shù)為1，第2n＋2個(gè)數(shù)為8，設(shè)．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）根據(jù)兩角差的正切公式整理得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，且，可得，所以，可得，則，所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，則，整理得，則，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和.（七）通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、前n項(xiàng)積關(guān)系型65．（2023·湖北·荊門(mén)市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和滿足，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可求解；（2）首先數(shù)列，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，兩式相減得，因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，，故.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?66．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．(1)求證：為等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和M．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)所給遞推公式及前項(xiàng)和、積的定義化簡(jiǎn)，由等差數(shù)列定義可得證；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，當(dāng)時(shí)，．所以，即，所以，所以所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）所以，則，因?yàn)椋剩?7．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列的前項(xiàng)積.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1),(2)【分析】（1）對(duì)于數(shù)列,根據(jù),利用和的關(guān)系求解;對(duì)于數(shù)列,因?yàn)槠淝绊?xiàng)積,根據(jù)即可求解;（2）由（1）知,利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,化簡(jiǎn)得,∵,∴,∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,∴.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)也滿足，所以.（2）,設(shè)①,則②,①-②得,∴.68．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積．已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合前n項(xiàng)積的意義求解作答.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】（1）依題意，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，有，兩式相除得，，顯然，即，因此當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，由（1）得，，于是，因此，則，所以數(shù)列前項(xiàng)和為.69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）把給定的遞推公式變形整理，再利用等差數(shù)列的定義判斷，并求出通項(xiàng)公式作答.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可作答.【詳解】（1）由，得，顯然，，否則，矛盾，，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，則，整理得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，，于是，所以.（八）正負(fù)相間型裂項(xiàng)70．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，設(shè)，若對(duì)任意恒成立，則的最小值是___________.【答案】1【分析】利用，得出，即可判斷數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，，，，根據(jù)，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，不等式且恒成立，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意知，，且，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，而，即，又，解得，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，則，，，數(shù)列是單調(diào)遞增的，，而數(shù)列是單調(diào)遞減的，，因?yàn)椋坏仁胶愠闪?，則，不等式且恒成立，因此且，即有，又，所以的最小值是1.故答案為：171．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系計(jì)算求通項(xiàng)；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可.【詳解】（1）已知①，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，②①-②得：，即.又，所以，.所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.所以.（2）設(shè)..72．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系得到為等比數(shù)列求解即可;（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，又因?yàn)?，滿足上式，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.（2）因?yàn)?，所?73．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，變形并換元，利用累加法求通項(xiàng)作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】（1）由，得，令，有，，當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，于是，則，當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，因此，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，所以．74．（2023·天津·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為（），為等比數(shù)列，公比大于1．已知，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，求證：．【答案】(1)，(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意得到方程組，求出、，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得；（3）由（1）可得，即可得到，利用放縮法及等邊數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，又，，所以，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）可得，設(shè)的前項(xiàng)和為，所以.（3）因?yàn)?，所以，所以，所?（九）先放縮后裂項(xiàng)求和75．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)公式得到是常數(shù)列，確定，計(jì)算得到通項(xiàng)公式.（2）放縮，根據(jù)裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到證明.【詳解】（1），則，整理得到，故，故是常數(shù)列，故，即，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證時(shí)滿足，故（2），故.76．（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意首先整理所給的遞推關(guān)系式，得到數(shù)列的通項(xiàng)的范圍，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可確定前項(xiàng)和的范圍．【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以，，，故，由累加法可得?dāng)時(shí)，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，也成立，所以，所以，，故，由累乘法可得當(dāng)時(shí)，，所以，所以．故選：A．77．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)求證：【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由遞推公式，可得為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)后得，利用分組求和求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）利用放縮得，裂項(xiàng)相消求和證得.【詳解】（1）由，得，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，得．，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．（2）證明：，所以，，，故．78．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（其中）．(1)求證：；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解.(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）根據(jù)給定條件，判斷的單調(diào)性及，先求的范圍，然后取倒.（2）等價(jià)變形所證不等式，結(jié)合已知利用取倒數(shù)及累加法推理作答.【詳解】（1）由，知，，有，即，數(shù)列遞減，于是，又，顯然，即有與同號(hào)，而，因此，從而成立，而，即，則，所以.（2）因?yàn)椋瑒t，顯然，因?yàn)?，兩邊取倒?shù)可得，因此，由（1）知，所以，即從而，即，則，所以，所以所以成立.考點(diǎn)六插入或構(gòu)造新數(shù)列求和79．（2023·福建莆田·校考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求得，由，求得，得到，即可等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）根據(jù)題意得到，求得，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，兩式相減得到，即，所以，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，可得，適合上式，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）解：若在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，則，即為，整理得，所以，所以因?yàn)?，所以，所?80．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用累加法可求得的表達(dá)式，結(jié)合可得出的表達(dá)式，再檢驗(yàn)的情形，綜合可得出的通項(xiàng)公式；（2）由求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，列舉出數(shù)列的前項(xiàng)，即可求得的值.【詳解】（1）解：對(duì)任意的，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故．?dāng)時(shí)，適合，所以，．（2）解：因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，所以，，所以，數(shù)列的前項(xiàng)分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，所以的前項(xiàng)是由個(gè)與個(gè)組成．所以．81．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足．將數(shù)列與的公共項(xiàng)按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列．(1)證明：(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用基本量代換列方程組求出，得到，的通項(xiàng)公式，進(jìn)而判斷出是數(shù)列{}的項(xiàng)，即可證明；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）由，得，由，得，解得，因?yàn)閿?shù)列{}的公差為3，數(shù)列{}的公比為2，所以不是數(shù)列{}的項(xiàng)，是數(shù)列{}的第1項(xiàng)．設(shè)，則所以不是數(shù)列{}的項(xiàng)．因?yàn)?，所以是?shù)列{}的項(xiàng)．所以（2）由（1）可知，．=所以所以．82．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意分析出數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)，找出他們公共項(xiàng)的通向公式，再利用裂項(xiàng)相消法解決問(wèn)題.【詳解】若數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)，則設(shè)，即，因?yàn)闉榕紨?shù)，所以也為偶數(shù)，所以令數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)為：，所以，所以，故選：B.83．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列，求的前100項(xiàng)和.【答案】(1)(2)9089【分析】（1）根據(jù)題意，由與的關(guān)系，即可得到數(shù)列是等差數(shù)列。從而得到其通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，由分組求和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，解得，，當(dāng)時(shí)，有，作差得：，，，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，.（2）由（1）得，，又，同時(shí)，.所以的前100項(xiàng)和為9089.84．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)能否從中選出以為首項(xiàng)，以原次序組成的等比數(shù)列.若能，請(qǐng)找出公比最小的一組，寫(xiě)出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)能，，.【分析】（1）對(duì)題干的遞推關(guān)系先平方，然后多寫(xiě)一項(xiàng)作差，結(jié)合正項(xiàng)數(shù)列的性質(zhì)，可證明其是等差數(shù)列；（2）注意到的每一項(xiàng)是偶數(shù)，偶數(shù)數(shù)列是等比數(shù)列的很容易想到，然后證明其公比最小，最后在分組求和.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，即，得或（舍去）.當(dāng)時(shí)，由，……①得，……②得：，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以，，即?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）存在.當(dāng)，時(shí)，會(huì)得到數(shù)列中原次序的一列等比數(shù)列，此時(shí)的公比，是最小的，此時(shí)該等比數(shù)列的項(xiàng)均為偶數(shù)，均在數(shù)列中；下面證明此時(shí)的公比最小：，假若取，公比為，則為奇數(shù)，不可能在數(shù)列中.所以.又，所以，即的通項(xiàng)公式為：，故.考點(diǎn)七利用周期求和85．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理?準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)?化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A．2698 B．2697 C．2696 D．2695【答案】C【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)，從而可寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)，找出周期變化規(guī)律，即可求解.【詳解】∵∴數(shù)列為，此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列為：是以6為周期的周期數(shù)列，∴.故選：C.86．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：，，，，，，，，，，，，即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】列舉數(shù)列，得到數(shù)列的周期為6求解.【詳解】解：由題意得：數(shù)列為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以該數(shù)列的周期為6，所以，故選：B87．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知數(shù)列滿足且，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=________．【答案】2026【分析】根據(jù)遞推公式推出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，求出和，則，代入相應(yīng)值計(jì)算即可．【詳解】由得，則，則，所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，在中，令，得，得，得，在中，令，得，得，得，所以+.故答案為：88．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的規(guī)律，從而得到的規(guī)律，則數(shù)列四項(xiàng)之和為，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，，，所以，所以，，，，，所以?shù)列的前項(xiàng)和為.故選：A.89．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及給定的條件求出公差d和；（2）根據(jù)數(shù)列的周期性求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，對(duì)于任意，有，所以，故數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.考點(diǎn)八數(shù)列求和的實(shí)際應(yīng)用（一）分期付款90．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）某顧客在2020年1月1日采用分期付款的方式購(gòu)買一輛價(jià)值2萬(wàn)元的家電，在購(gòu)買一個(gè)月后2月1日第一次還款，且以后每個(gè)月1日等額還款一次，如果一年內(nèi)還清全部貸款（12月1日最后一次還款），月利率為0.5％.按復(fù)利計(jì)算，則該顧客每個(gè)月應(yīng)還款多少元？（精確到1元，參考值，）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)每月還款元，每月還款按得利計(jì)算，11次還款的本利和等于銀行貸款按復(fù)利計(jì)算的本利和，由此可得．【詳解】設(shè)每月還款元，共還款11個(gè)月，所以，．故選：A．91．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，掌握好這兩個(gè)概念，對(duì)于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時(shí)的值，而“終值”是指期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為，每期利率為，期數(shù)為，到期末的本利和為，則其中，稱為期末的終值，稱為期后終值的現(xiàn)值，即期后的元現(xiàn)在的價(jià)值為.現(xiàn)有如下問(wèn)題：小明想買一座公寓有如下兩個(gè)方案方案一：一次性付全款25萬(wàn)元；方案二：分期付款，每年初付款3萬(wàn)元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為，試討論兩種方案哪一種更好？(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬(wàn)