119二項(xiàng)分布與正態(tài)分布(理)

一、選擇題1．某人參加一次考試，4道題中解對(duì)3道即為及格，已知他的解題正確率為，則他能及格的概率是()A． B．C． D．[答案]A[解析]Ceq\o\al(3,4)·＋Ceq\o\al(4,4)·＝.故應(yīng)選A.2．某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，則5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率為()A． B．C． D．[答案]C[解析]設(shè)事件A為“預(yù)報(bào)一次，結(jié)果準(zhǔn)確”P＝P(A)＝，至少有4次準(zhǔn)確這一事件是下面兩個(gè)互斥事件之和：5次預(yù)報(bào)，恰有4次準(zhǔn)確；5次預(yù)報(bào)，恰有5次準(zhǔn)確，故5次預(yù)報(bào)，至少有4次準(zhǔn)確的概率為P5(4)＋P5(5)＝Ceq\o\al(4,5)××＋Ceq\o\al(5,5)××≈.故應(yīng)選C.3．(2022·湖北理，5)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，則P(0<ξ<2)＝()A． B．C． D．[答案]C[解析]本題考查利用正態(tài)分布求隨機(jī)變量的概率．∵P(ξ<4)＝，∴P(ξ≥4)＝，又μ＝2，∴P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝－P(ξ≥4)＝－＝.4．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率是eq\f(1,2).質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是()A．(eq\f(1,2))5 B．Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,2))5C．Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))3 D．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))5[答案]B[解析]由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，移?dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)，所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)二次，向上移動(dòng)三次，故其概率為Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))3·(eq\f(1,2))2＝Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))5＝Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,2))5.故應(yīng)選B.5．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P的取值范圍是()A．[,1) B．(0,]C．(0,] D．[,1)[答案]A[解析]Ceq\o\al(1,4)P(1－P)3≤Ceq\o\al(2,4)P2(1－P)2,4(1－P)≤6P，P≥，又0<P<1，∴≤P<1.6．如圖是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1、σ2、σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖像，那么σ1、σ2、σ3的大小關(guān)系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3[答案]D[解析]當(dāng)μ一定時(shí)，曲線由σ確定，當(dāng)σ越小，曲線越高瘦，反之越矮胖．故選D.二、填空題7．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為，則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．[答案][解析]∵X～N(1，σ2)，X在(0,1)內(nèi)取值概率為，∴X在(1,2)內(nèi)取值的概率也為.∴X在(0,2)內(nèi)取值的概率為.8．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐，已知只有5發(fā)子彈備用，首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是eq\f(2,3)，每次命中與否互相獨(dú)立，求油罐被引爆的概率______．[答案]eq\f(232,243)[解析]記“油罐被引爆”的事件為事件A，其對(duì)立事件為eq\x\to(A)，則P(eq\x\to(A))＝Ceq\o\al(1,5)(eq\f(2,3))(eq\f(1,3))4＋(eq\f(1,3))5∴P(A)＝1－[Ceq\o\al(1,5)(eq\f(2,3))(eq\f(1,3))4＋(eq\f(1,3))5]＝eq\f(232,243).三、解答題9．2022年12月底，一考生參加某大學(xué)的自主招生考試，需進(jìn)行書面測(cè)試，測(cè)試題中有4道題，每一道題能否正確做出是相互獨(dú)立的，并且每一道被該考生正確做出的概率都是eq\f(3,4).(1)求該考生首次做錯(cuò)一道題時(shí)，已正確做出了兩道題的概率；(2)若該考生至少正確做出3道題，才能通過(guò)書面測(cè)試這一關(guān)，求這名考生通過(guò)書面測(cè)試的概率．[解析](1)記“該考生正確做出第i道題”為事件Ai(i＝1,2,3,4)，則P(Ai)＝eq\f(3,4)，由于每一道題能否被正確做出是相互獨(dú)立的，所以這名考生首次做錯(cuò)一道題時(shí)，已正確做出了兩道題的概率為P(A1A2eq\x\to(A)3)＝P(A1)·P(A2)·P(eq\x\to(A)3)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(9,64).(2)記“這名考生通過(guò)書面測(cè)試”為事件B，則這名考生至少正確做出3道題，即正確做出3道題或4道題，故P(B)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3×eq\f(1,4)＋Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(189,256).一、選擇題1．(2022·山東理)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(X>2)＝，則P(－2≤X≤2)＝()A． B．C． D．[答案]C[解析]∵P(X>2)＝，∴P(X<－2)＝，故P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝.2．口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，定義數(shù)列{an}：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1第n次摸取紅球,1第n次摸取白球))，如果Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，那么S7＝3的概率為()A．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5 B．Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5C．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5 D．Ceq\o\al(3,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5[答案]B[解析]有放回地每次摸取一個(gè)球，摸到紅球的概率為eq\f(2,3)，摸到白球的概率為eq\f(1,3)，這是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．S7＝3，說(shuō)明共摸7次，摸到白球比摸到紅球多3次，即摸到白球5次，摸到紅球2次，所以S7＝3的概率為Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5.二、填空題3．將1枚硬幣連續(xù)拋擲5次，如果出現(xiàn)k次正面的概率與出現(xiàn)k＋1次正面的概率相同，則k的值是________．[答案]2[解析]由Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5－k＝Ceq\o\al(k＋1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4－k，得k＝2.4．某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是，他連續(xù)射擊4次，且他各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響．有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是×；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1－.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．[答案]①③[解析]本小題主要考查獨(dú)立事件的概率．“射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是”是指射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率都是，由于他各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，因此他在連續(xù)射擊4次時(shí)，第1次、第2次、第3次、第4次擊中目標(biāo)的概率都是，①正確；“他恰好擊中目標(biāo)3次”是在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中有3次發(fā)生，其概率是Ceq\o\al(3,4)××，②不正確；“他至少擊中目標(biāo)1次”的反面是“1次也沒有擊中”，而“1次也沒有擊中”的概率是，故至少擊中目標(biāo)1次的概率是1－，③正確．三、解答題5．有甲、乙、丙3批飲料，每批100箱，其中各有一箱是不合格的，從3批飲料中各抽出一箱，求：(1)恰有一箱不合格的概率；(2)至少有一箱不合格的概率．[解析]記抽出“甲飲料不合格”為事件A，“乙飲料不合格”為事件B，“丙飲料不合格”為事件C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.(1)從3批飲料中，各抽取一箱，恰有一箱不合格的概率為P＝P(eq\o(A,\s\up6(—))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(—))C)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(—)))＝×＋×＋×≈.(2)各抽出一箱都合格的概率為××≈.所以至少有一箱不合格的概率為1－≈.6．(2022·全國(guó)卷Ⅰ)投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審．若能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)稿件能通過(guò)各初審專家評(píng)審的概率均為，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為.各專家獨(dú)立評(píng)審．(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望．[分析]本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、相互獨(dú)立試驗(yàn)、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．(1)“稿件被錄用”這一事件轉(zhuǎn)化為事件“稿件能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審”和事件“稿件能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服從二項(xiàng)分布，結(jié)合公式求解即可．[解析](1)記A表示事件：稿件能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審；B表示事件：稿件恰能通過(guò)一位初審專家的評(píng)審；C表示事件：稿件能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審；D表示事件：稿件被錄用．則D＝A＋B·C，而P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝故P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝＋×＝.(2)X～B(4,，X的可能取值為0,1,2,3,4且P(X＝0)＝(1－4＝P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)××(1－3＝P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)××(1－2＝P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)××(1－＝P(X＝4)＝＝故其分布列為X01234P期望EX＝4×＝.7．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊．問(wèn)：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？[解析](1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1.由題意，射擊4次相當(dāng)于作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．故P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－(eq\f(2,3))4＝eq\f(65,81)，所以甲連續(xù)射擊4次至少有一次未擊中目標(biāo)的概率為eq\f(65,81).(2)記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標(biāo)”為事件B2，則P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)×(eq\f(2,3))2×(1－eq\f(2,3))4－2＝eq\f(8,27)；P(B2)＝Ceq\o\al(3,4)×(eq\f(3,4))3×(1－eq\f(3,4))4－3＝eq\f(27,64).由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,8).(3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i＝1,2,3,4,5)，則A3＝D5D4eq\x\to(D3)(eq\a\vs4\al(\x\to(D2))eq\a\vs4\al(\x