2021年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題（含答案解析）

2021年山東省青島市中考數(shù)學(xué)真題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.剪紙是我國古老的民間藝術(shù)，下列四個剪紙圖案為軸對稱圖形的是()

4.2021年3月5日，李克強(qiáng)總理在政府工作報告中指出，我國脫貧攻堅成果舉世矚目，

5575萬農(nóng)村貧困人口實現(xiàn)脫貧.5575萬=55750000,用科學(xué)記數(shù)法將55750000表示為

()

A.5575xlO4B.55.75xlO5C.5.575xlO7D.0.5575xlO8

5.如圖，將線段A8先繞原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，再向下平移4個單位，得到線

段4/，則點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)是（)

D.(-1,-2)

6.如圖，A8是。。的直徑，點E,C在。。上，點人是七（7的中點，過點A畫。。的

切線，交8c的延長線于點。，連接EC.若NADB=58.5。，則NACE的度數(shù)為（

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

7.如圖，在四邊形紙片A8CD中，AD//BC,AB=\O,4=60。.將紙片折疊，使點

B落在4）邊上的點G處，折痕為EF.若NBFE=45°,則所的長為（）

A.5B.3#>C.D.當(dāng)

8.已知反比例函數(shù)y=2的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx+a和二次函數(shù)

X

試卷第2頁，共10頁

y=o￥?+Z?x+c在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(）

二、填空題

9.計算:［舟冏.

10.在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同.搖勻

后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中.不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次.其中

有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數(shù)是.

11.列車從甲地駛往乙地.行完全程所需的時間〃h)與行駛的平均速度u(km/h)之間的

反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示.若列車要在2.5h內(nèi)到達(dá)，則速度至少需要提高到

km/h.

12.已知甲、乙兩隊員射擊的成績?nèi)鐖D，設(shè)甲、乙兩隊員射擊成績的方差分別為其、S3

貝!|S；,_Si，（填“>”、"=”、“<”）

13.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。。,PA,PO分別與O。相切于點A和點。，PO的

延長線與8c的延長線交于點E.已知AB=2,則圖中陰影部分的面積為

14.已知正方形ABCO的邊長為3,E為CD上一點,連接AE并延長，交BC的延長線

于點尸，過點。作QG，A尸，交A尸于點“，交BF于點、G,N為E尸的中點，M為BD

51

上一動點，分別連接MC,MN.若黃%=],則MN+MC的最小值為__________.

'△FCE4

三、解答題

15.已知：/0及其一邊上的兩點A,B.

求作：Rt^ABC,使NC=90。，且點C在NO內(nèi)部，ZBAO=NO.

試卷第4頁，共10頁

16.(1)計算：(x+平)十一；

1-2x43

(2)解不等式組：3x-2,,并寫出它的整數(shù)解.

--------<1

I4

17.為踐行青島市中小學(xué)生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜和小麗想合唱一首

歌.小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉(xiāng)》.她們想通過做游戲的方式來

決定合唱哪一首歌，于是一起設(shè)計了一個游戲：下面是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個

轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形.同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若兩個指針指向的數(shù)字之積小于

4,則合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線上，則需

要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平.

18.某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動，準(zhǔn)備測量一棟大樓BC的高度.如

圖所示，其中觀景平臺斜坡。E的長是20米，坡角為37。，斜坡DE底部。與大樓底端

C的距離為74米，與地面垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂8測得路燈AE

項端A處的俯角是42.6。.試求大樓BC的高度.

3431734

(參考數(shù)據(jù)：sin37o?-,cos37O?-,tan37°?-,sin42.6°?—,cos42.6°,

5542545

9

tan42.6°?—)

10

B

CD

19.在中國共產(chǎn)黨成立一百周年之際，某校舉行了以“童心向黨”為主題的知識競賽活

動.發(fā)現(xiàn)該校全體學(xué)生的競賽成績（百分制）均不低于60分，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取“名學(xué)

生的競賽成績進(jìn)行整理和分析（成績得分用x表示，共分成四組），并繪制成如下的競

賽成績分組統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.其中“904x4100”這組的數(shù)據(jù)如下：

90,92,93,95,95,96,96,96,97,100.

競賽成績分組統(tǒng)計表

組別競賽成績分組頻數(shù)平均分

160<x<70865

270<x<80a75

380<x<90b88

490<x<1001095

競賽成績扇形統(tǒng)計圖

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴a=；

（2）“90Mx4100”這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是分；

（3）隨機(jī)抽取的這〃名學(xué)生競賽成績的平均分是分；

（4）若學(xué)生競賽成績達(dá)到96分以上（含96分）獲獎，請你估計全校1200名學(xué)生中獲

獎的人數(shù).

20.某超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進(jìn)貨時發(fā)現(xiàn)，甲品牌洗衣液每瓶的進(jìn)價比乙

品牌高6元，用1800元購進(jìn)甲品牌洗衣液的數(shù)量是用100元購進(jìn)乙品牌洗衣液數(shù)量的

4

銷售時，甲品牌洗衣液的售價為36元/瓶，乙品牌洗衣液的售價為28元/瓶.

（1）求兩種品牌洗衣液的進(jìn)價；

（2）若超市需要購進(jìn)甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購進(jìn)兩種洗衣液的總成本

不超過3120元，超市應(yīng)購進(jìn)甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全

售出后所獲利潤最大？最大利潤是多少元？

21.如圖，在QABCD中，E為CO邊的中點，連接BE并延長，交A3的延長線于點F,

試卷第6頁，共10頁

延長至點G,使DG=DE,分別連接AE,AG,FG.

（1）求證：MCE三AFDE；

（2）當(dāng)8尸平分NABC時，四邊形A￡FG是什么特殊四邊形？請說明理由.

22.科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機(jī)測量小鋼球豎直向上運(yùn)動的相關(guān)

數(shù)據(jù).無人機(jī)上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高

度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽路空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35

米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同.其中無人機(jī)離地面高度％（米）與小鋼球

運(yùn)動時間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；小鋼球離地面高度為（米）與它的運(yùn)動時

間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中拋物線所示.

（1）直接寫出與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出丫2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機(jī)的高度差最大是多少米？

23.問題提出：

最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三

角形.）

問題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般

性的結(jié)論.

（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1,第三邊長也是1.

按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為（1,1,1）,有1個，所以總共有1X1=1

個整數(shù)邊三角形.

表①

最長邊最短邊（最長邊長，最短邊長，第三整數(shù)邊三角形計算方算

長長邊長）個數(shù)法式

11(1,1,1)11個11x1

（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊

之和大于第三邊，當(dāng)最短邊長為1時，第三邊長只能是2,記為（2,1,2）,有1個；當(dāng)最

短邊長為2時，顯然第三邊長也是2,記為（2,2,2）,有1個，所以總共有I+l=lx2=2

個整數(shù)邊三角形.

表②

最長邊最短邊（最長邊長，最短邊長，第三整數(shù)邊三角形計算方算

長長邊長）個數(shù)法式

1（2J2）1

22個11x2

2(2,2,2)1

（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:

表③

最長邊最短邊（最長邊長，最短邊長，第三整數(shù)邊三角形計算方算

長長邊長）個數(shù)法式

1(3,1,3)1

32(3,2,2),(3,2,3)22個22x2

3(3,3,3)1

（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:

試卷第8頁，共10頁

表④

最長邊最短邊(最長邊長，最短邊長，第三整數(shù)邊三角形計算方

算式

長長邊長)個數(shù)法

1（4J4）1

2（4,2,3）,（4,2,4）2

43個22x3

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

(5)請在表⑤中總結(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空:

表⑤

最長邊最短邊(最長邊長，最短邊長，第三整數(shù)邊三角形計算方算

長長邊長)個數(shù)法式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

53————

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

問題解決：

(1)最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有個.

(2)在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長邊長為"，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)〃為奇數(shù)或〃為偶數(shù)

時，整數(shù)邊三角形個數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為"的整數(shù)邊三角形的個數(shù).

(3)最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有個.

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有個.

24.已知：如圖，在矩形A8C。和等腰中，AB=8cm,AD=AE=6cm,

ZDAE=90°.點P從點8出發(fā)，沿54方向勻速運(yùn)動.速度為lcm/s；同時，點。從點。

出發(fā)，沿08方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s.過點。作。M〃BE,交4。于點H,交DE

于點M,過點。作QN//BC,交8于點N.分別連接PQ,PM，設(shè)運(yùn)動時間為

r(s)(0</<8).

解答下列問題：

C__________此D

(1)當(dāng)PQL8D時，求r的值；

(2)設(shè)五邊形PMCW。的面積為S(cm?),求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)PQ=PM時，求f的值；

(4)若PM與相交于點W，分別連接QW和EW.在運(yùn)動過程中，是否存在某一

時亥"，使NAWE=NQWD?若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

試卷第10頁，共10頁

參考答案

1.C

【分析】

過一個圖形的一條直線，把這個圖形分成可以完全重合的兩個部分，這個圖形就叫做軸對稱

圖形；根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可.

【詳解】

解：A、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，本選項符合題意；

D、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

2.B

【分析】

根據(jù)負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，在正分?jǐn)?shù)前面加負(fù)號的數(shù)叫做負(fù)分?jǐn)?shù)，即可判斷.

【詳解】

解：A、-1是負(fù)整數(shù)，故本選項不符合題意；

B、是負(fù)分?jǐn)?shù)，故本選項符合題意；

C、0是整數(shù)，故本選項不符合題意；

。、6是無理數(shù)，故本選項不符合題意；

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了負(fù)分?jǐn)?shù)的概念，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握負(fù)分?jǐn)?shù)的定義.

3.A

【分析】

左視圖：從左邊看幾何體，看到的平面圖形即是左視圖，能看到的棱用實線表示，不能看到

的用虛線，根據(jù)左視圖的含義可得答案.

【詳解】

答案第1頁，共24頁

解：從左邊看過去，可以看到這個幾何體的兩個面，兩個面都是長方形,

兩個長方形是上下兩個長方形，中間的棱可以看到，

所以左視圖是：

故選：A

【點睛】

本題考查的是簡單幾何體的三視圖，掌握“從左邊看幾何體，畫左視圖''是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義“把一個大于10的數(shù)表示成ax10"的形式（其中a是整數(shù)位只有一位

的數(shù)，即。大于或等于1且小于10,〃是正整數(shù)），這樣的記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法”進(jìn)行解

答即可得.

【詳解】

解：55750000=5.575xlO7,

故選C.

【點睛】

本題考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟記科學(xué)記數(shù)法的定義.

5.D

【分析】

先求出A點繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的坐標(biāo)為（-1,2）,再求向下平移4個單位后的點的坐

標(biāo)即可.

【詳解】

解：如圖連接04將。A點繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到點2）,A"向下平移4個單

位，得到AY-1,-2）；

答案第2頁，共24頁

故選：D.

【點睛】

本題考查坐標(biāo)與圖形變化，能夠根據(jù)題意得出旋轉(zhuǎn)、平移后的點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)得到8AJ_A。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NB,根據(jù)圓周角定理得到

ZACB=90°,進(jìn)而求出NBAC,根據(jù)垂徑定理得到BALEC,進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：是。0的切線，

：.BAA.AD,

'：ZADH=5S.5°,

：.ZB=900-ZADB=31.5°,

：AB是。。的直徑，

二乙4cB=90°,

.,.ZB4C=90°-ZB=58.5°,

??,點A是弧EC的中點，

：.BALEC,

：.NACE=90°-//MC=31.5°,

答案第3頁，共24頁

故選:B.

【點睛】

本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是

解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】

過點A作8c于，，由折疊知識得：ZB"；=90。，再由銳角三角函數(shù)可得AH=5后，

然后根據(jù)可證得四邊形A”FG是矩形，即可求解.

【詳解】

解：過點A作A/7LBC于H,

■.■ZBFE=45°,

:.ZBFG=90°,

在RhABH中，A3=10,ZB=60°,

AH=sinBxAB=sin60°xl0=—xl0=5>/3,

2

?：AD!IBC,

ZGAH=ZAHB=90°,

/.ZGAH=ZAHB=ABFG=90°,

???四邊形AHFG是矩形，

:.FG=AH=5y/3,

:.BF=GF=5y5.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了折疊變換，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題

答案第4頁，共24頁

的關(guān)鍵.

8.D

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的圖象得出人<0,逐一分析四個選項，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口以及對稱

軸與y軸的關(guān)系，拋物線與y軸的交點，即可得出mb.c,的正負(fù)，由此即可得出一次函數(shù)

圖象經(jīng)過的象限，再與函數(shù)圖象進(jìn)行對比即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：?反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，

：.b<0,

A、：?二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，交），軸的負(fù)半軸，

b<0,c<0,

...一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限，A錯誤；

B、二?二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在），軸右側(cè)，

b>0,

.,.與6co矛盾，B錯誤；

C、?.?二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在），軸右側(cè)，

：.a<0,b>0,

，與〃V0矛盾，C錯誤；

D、?二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，交），軸的負(fù)半軸，

b<0,c<0,

???一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限，D正確.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)

系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想.

9.5

【分析】

先運(yùn)用乘法分配律展開，再利用二次根式的乘法法則計算即可，

【詳解】

答案第5頁，共24頁

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

10.6

【分析】

估計利用頻率估計概率可估計摸到黑球的概率為盒，然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方程求解即

可.

【詳解】

解：設(shè)袋中紅球的個數(shù)是x個，根據(jù)題意得：

440

4+x-100，

解得：x=6,

經(jīng)檢驗：a6是分式方程的解，

即估計袋中紅球的個數(shù)是6個.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了利用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是熟練掌握大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在

某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率

的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率用頻率估計概率得到的是近

似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

11.240

【分析】

由設(shè)f=￡再利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，把f=2.5h代入函數(shù)解析式求解v的

V

值，結(jié)合圖象上點的坐標(biāo)含義可得答案.

【詳解】

解：由題意設(shè)/=￡

V

把（200,3）代入得：k=w=200x3=600,

答案第6頁，共24頁

600

t=----,

v

當(dāng)f=2.5h時，，v==240km/h,

2.5

所以列車要在2.5h內(nèi)到達(dá)，則速度至少需要提高到240km/h,

故答案為：240km/h.

【點睛】

本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)

鍵.

12.>

【分析】

先計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再計算它們的方差，即可得出答案.

【詳解】

解：甲射擊的成績?yōu)椋?,7,7,7,8,8,9,9,9,10,

乙射擊的成績?yōu)椋?,7,7,8,8,8,8,9,9,10,

貝！Jx甲x(6+7x3+8x2+9x3+10)=8,

_1

xz.=—x(6+7x2+8x4+9x2+10)=8,

10

(6-8)2+3x(7-8)2+2x(8-8)2+3x(9-8)2+(10-8)2]

10

=-Lx[4+3+3+4J

=1.4；

一22222

SZ.2=_LX[(68)+2x(7-8)+4x(8-8)+2x(9-8)+(10-8)]

=-LX[4+2+2+4]

=1.2；

V1.4>1,2,

22

：.SV>S^,

故答案為：>.

【點睛】

題主要考查了平均數(shù)及方差的知識.方差的定義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，X”乃，…X”的平均

答案第7頁，共24頁

222

數(shù)為r，則方差群」[51)+(x2-x)+...+],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大

n

小，方差越大，波動性越大，反之也成立.

13.5-%

【分析】

連接AC,0D,根據(jù)已知條件得到AC是。。的直徑，ZAOD=90°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到

/%O=NPDO=90。，得到△CZ)E是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PE=

3網(wǎng)，根據(jù)梯形和圓的面積公式即可得到答案.

【詳解】

解：連接AC,OD,

???四邊形2。是正方形，

Z.ZB=90°,

."C是。。的直徑，ZA00=90°,

?.?陽，PQ分別與。。相切于點A和點。，

ZPAO=ZPDO=90°,

二四邊形40DP是矩形，

'：0A=0D,

二矩形A0QP是正方形，

AZP=90°,AP=AO,AC//PE,

NE=NACB=45。,

...△CDE是等腰直角三角形，

■：AB=2,

：.AC=2AO=2y/2,DE=y/2CD=2^2.，

.'.AP=PD=AO=42，

，PE=30，

???圖中陰影部分的面積

=-(AC+PE)MP--AO2-^=-(2V2+3V2)X^--(X/2)2-^-=：5-^

2222

故答案為:5-71.

答案第8頁，共24頁

【點睛】

本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.2M

【分析】

由正方形的性質(zhì)，可得A點與C點關(guān)于8。對稱，則有*N,所以當(dāng)A、

M,N三點共線時，MN+CM的值最小為AM先證明△OCG~AFCE,再由白絲=；,可

,△FCE4

CD1

W――=-,分別求出。E=LCE=2,CF=6,即可求出AN.

CF2

【詳解】

解：???四邊形ABC。是正方形，

???A點與C點關(guān)于BO對稱，

：.CM=AM,

：.MN+CM=MN+A怩AN,

，當(dāng)4、M、N三點共線時，MN+CM的值最小，

■:AD//CF,

：.NDAE=NF,

/DAE+NDEH=90。,

VDG1AF,

ZCDG+ZDE/7=90°,

???/DAE=/CDG,

：.ZCDG=ZF9

：.△DCGYFCE.

答案第9頁，共24頁

S&FCE4

.CD1

??=，

CF2

???正方形邊長為3,

：.CF=6,

'.,AD//CF,

ADDE\

~CF~~CE~2，

，OE=1,CE=2,

在RthCEF中，E^CE^+CF2,

,"EF=V22+62=2\/10,

?.?N是E尸的中點,

EN=M,

在放AAOE中，EA2=AD2+DE2,

AE=J32+『=Vio'

AN=2710,

.?.MN+MC的最小值為2M.

故答案為：2M.

【點睛】

本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握正方形的性質(zhì)，用軸對稱求最短距離的方法，靈活應(yīng)

用三角形相似、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

15.見解析

【分析】

先在NO的內(nèi)部作/D48=NO,再過8點作的垂線，垂足為C點.

【詳解】

解：如圖，R/AABC為所作.

答案第10頁,共24頁

D

c

【點睛】

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖

形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

Y4-1

16.(I)----；(2)—1x<2,整數(shù)解為-1,0,1

x-\

【分析】

(1)根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式即可；

(2)首先分別求出兩個不等式的解集，注意不等式②要改變不等號方向，再利用不等式取解

集的方法，即可求出解集。

【詳解】

(1)解：原式=’+2工+1+二」

XX

_(x+l)2X

x(x-l)(x+l)

X+1

-7^i'

(2)解：解不等式①得：x>-\,

解不等式②得：x<2,

不等式組的解集為-14x<2.

不等式組的整數(shù)解為-1,0,1.

【點睛】

本題考查的主要知識點是分式的混合運(yùn)算順序、運(yùn)算法則化以及一元一次不等式組的解法,

解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序、運(yùn)算法則和一元一次不等式組的解法.

17.不公平，見解析

【分析】

首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與數(shù)字之積小于4的情況,

再利用概率公式求出合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》和合唱《紅旗飄飄》的概率，然后進(jìn)行比較，即

答案第11頁，共24頁

可得出答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下:

開始

123

//V

123412341234

?.?共有12種等可能的結(jié)果，其中數(shù)字之積小于4的有5種結(jié)果，

，合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》的概率是卷，

二合唱《紅旗飄飄》的概率是上，

1212，

二游戲不公平.

【點睛】

本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公

平，否則就不公平.

18.96米

【分析】

延長AE交CD延長線于M,過A作AN_LBC于N,則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM,

AN=MC,由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角三角函數(shù)

求出BN的長，即可求解.

【詳解】

延長AE交于點M,

過點A作ANJ_5C,交于點N,

由題意得，ZAMC=ZNCM=ZANC=90°,

二四邊形4UCN為矩形，

:.NC=AM,NA=CM.

在此中，/EM3=90。，

FMDM

，sinNEDM=——，cosZEDM=——，

EDED

答案第12頁，共24頁

sin37°=—

20-f

3

EM=20sin37°?20x-=12,

4

DM=20-cos37°?20x-=16.

5

在心△8V4中，NBN4=90。,

tan/BAN=-----

AN

BN

/.tan42.6°=

74+16

9

???B7V=90tan42.6°?90x—=81,

10

???BC=5N+4E+EM=81+3+12=96.

【點睛】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線,

構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

19.(1)12；(2)96；(3)82.6；(4)120人

【分析】

(1)先由1組的信息求解總?cè)藬?shù)，再利用總?cè)藬?shù)乘以24%,可得。的值；

(2)由904x4100這一組出現(xiàn)次數(shù)最多的是：96分，從而可得答案；

(3)先求解b的值，再求解50人的總得分，再除以總?cè)藬?shù)即可得到答案；

(4)由1200乘以96分及96分以上的學(xué)生的占比即可得到答案.

【詳解】

解：(1)由扇形圖可得：1組頻數(shù)為8人，占比16%,

答案第13頁,共24頁

所以總?cè)藬?shù)為：8+16%=50人，

由2組占24%,

所以：＜a=50x24%=12,

故答案為：12

(2)由904x4100這一組的數(shù)據(jù)為：90,92,93,95,95,96,96,96,97,100.

出現(xiàn)次數(shù)最多的是：96分，

所以這一組的眾數(shù)為：96分，

故答案為：96

(3)由扇形圖可得：3組占：1-20%-16%-24%=40%,

所以6=50x40%=20人，

所以隨機(jī)抽取的這50名學(xué)生競賽成績的平均分：^(8x65+12x75+20x88+10x95)=82.6

分，

故答案為：82.6

(4)由4組成績可得96分及96分以上的學(xué)生有5人，

所以全校1200名學(xué)生中獲獎的人數(shù)為：1200x總RO人.

【點睛】

本題考查的是從扇形圖與頻數(shù)分布表中獲取信息，頻數(shù)與頻率，利用樣本估計總體，眾數(shù)的

含義，加權(quán)平均數(shù)的計算，熟悉扇形圖與頻數(shù)分布表之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

20.(1)甲品牌洗衣液進(jìn)價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進(jìn)價為24元/瓶；(2)購進(jìn)甲品牌洗

衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元

【分析】

(1)設(shè)甲品牌洗衣液每瓶的進(jìn)價是x元，則乙品牌洗衣液每瓶的進(jìn)價是(x-6)元，根據(jù)數(shù)

量=總價+單價，結(jié)合用1800元購進(jìn)乙品牌洗衣液數(shù)量的力，即可得出關(guān)于x的分式方程，

解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)可以購買相瓶乙品牌洗手液，則可以購買300-，”)瓶甲品牌洗手液，根據(jù)總價=單

價x數(shù)量，結(jié)合總費用不超過1645元，即可得出關(guān)于機(jī)的一元一次不等式，解之即可得出

，”的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論.

【詳解】

答案第14頁,共24頁

解：（1）設(shè)甲品牌洗衣液進(jìn)價為X元/瓶，則乙品牌洗衣液進(jìn)價為（X-6）元/瓶,

180041800

由題意可得,----=------

x5x-6

解得x=30,

經(jīng)檢驗x=30是原方程的解.

答：甲品牌洗衣液進(jìn)價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進(jìn)價為24元/瓶.

（2）設(shè)利潤為y元，購進(jìn)甲品牌洗衣液加瓶，

則購進(jìn)乙品牌洗衣液（120-〃?）瓶,

由題意可得，30/?+24（120-/?）＜3120,

解得機(jī)440,

由題意可得，了=（36-30）m+（28-24）（120-帆）=2m+480,

'."=2＞。二。隨機(jī)的增大而增大,

‘當(dāng)，"=40時，y取最大值，y最大值=2x40+480=560.

答：購進(jìn)甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元.

【點睛】

本題考查分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)

用所學(xué)知識解決問題.

21.（1）見解析；（2）矩形，見解析

【分析】

（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證明ZDFEMCBE,利用中點的性質(zhì)證明DE=CE,結(jié)合對頂

角相等，從而可得結(jié)論；

（2）先證明結(jié)合GO=QE,證明四邊形WG是平行四邊形，再利用等腰三角形

的性質(zhì)證明AE1BF,從而可得結(jié)論.

【詳解】

（1）證明：???四邊形A8CQ是平行四邊形，

AD//BC9：.ZJDFE=4CBE

又丁石為邊的中點，

?,.DE=CE

VAFED=ABEC,ZDFE=ZCBEfDE=CEf

答案第15頁，共24頁

：./\BCE^/\FDE

(2)答：四邊形A￡FG是矩形，理由如下：

四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD=BC,

'：4FDE三4BCE,

:.BC=FD,FE=EB,

/.FD=AD,

,/GD=DE,

四邊形AEFG是平行四邊形.

：8/平分N48C,

,ZCBF=ZABF.

又：ZAFB^ZFBC,

二ZABF=ZAFB,

AB=AF

又：FE=EB,

，AE±FE,

：.ZAEF=90°,

，YAEFG是矩形

【點睛】

本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，等腰三角

形的判定與性質(zhì)，掌握“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”是證題的關(guān)鍵.

2

22.(1)%=5x+30；(2)^2=-5X+40X；(3)70米

【分析】

(1)先設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可：

(2)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(3)當(dāng)1〈爛6時小鋼球在無人機(jī)上方，因此求以?，當(dāng)6〈把8時，無人機(jī)在小鋼球的上

方，因此求yr-，然后進(jìn)行比較判斷即可.

【詳解】

解：(1)設(shè)％與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y產(chǎn)h+，，

答案第16頁，共24頁

???函數(shù)圖象過點（0,30）和（1,35）,

%+3=35

則

?二30

k=5

解得

&'=30

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為X=5冗+30.

(2)?.?x=6EI寸，y=5x6+30=60,

???當(dāng)?shù)膱D象是過原點的拋物線，

工設(shè)為=以2+加:,

.??點（1,35）,（6,60）在拋物線必=加+笈上.

.J〃+0=35[a-\-b=35

??（36。+6/2=60'即[6a+b=10'

A，Z=一5

解得L4

[b=40

2

y2=-5x+40x.

答：為與x的函數(shù)關(guān)系式為%=-51+40%.

（3）設(shè)小鋼球和無人機(jī)的高度差為y米，

由_5/+40工=0得x=?；?=8.

①1<xW6時，

了=%一，

=-5X2+40X-5X-30

=-5X2+35X-30

???。=-5<0,?,?拋物線開口向下,

又：1<xK6,

答案第17頁，共24頁

7125

.?.當(dāng)x=］時，y的最大值為詈;

②6<xV8時，

?=%一%

=5x+30+5x2-40x

=5x2-35x+30

,?Z=5>0,...拋物線開口向上，

又???對稱軸是直線x=1,

7

當(dāng)x>2時，，隨x的增大而增大，

V6<x<8,

.?.當(dāng)x=8時，y的最大值為70.

V—<70,

4

高度差的最大值為70米.

答：高度差的最大值為70米.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)實際情況判斷無人機(jī)和小鋼球的

高度差.

23.問題探究：見解析；問題解決：(1)12；(2)當(dāng)"為奇數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為婦丫；

4

當(dāng)”為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為嗎橫；(3)4160；拓展延伸：295

【分析】

問題探究：

根據(jù)(1)(2)(3)(4)的具體推算，總結(jié)出相同的規(guī)律，按規(guī)律填好表格即可；

問題解決：

(1)由最長邊長分別為1,2,3,4,5總結(jié)出能反應(yīng)規(guī)律的算式，再根據(jù)規(guī)律直接寫出最

長邊長為6時的三角形的個數(shù)；

(2)分兩種情況討論：當(dāng)〃為奇數(shù)，當(dāng)〃為偶數(shù)，再從具體到一般進(jìn)行推導(dǎo)即可；

答案第18頁，共24頁

（3）當(dāng)最長邊長”=128時，”為偶數(shù)，再代入M竺々進(jìn)行計算，即可得到答案；

拓展延伸：

分兩種情況討論：當(dāng)9是底邊的棱長時，由最長邊長為9的三角形個數(shù)有：色包=—=25

44

個，當(dāng)9是側(cè)棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1,2,3,4,5,6,7,8,底邊三角形

共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70個，從而可得答案.

【詳解】

解：問題探究：

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

53(5,3,3),(5,3,4),(5,3,5)33個33x3

問題解決：

（1）最長邊長為1的三角形有：1x1個,

最長邊長為2的三角形有：1x2個，

最長邊長為3的三角形有：2x2個，

最長邊長為4的三角形有：2x3個，

最長邊長為5的三角形有：3x3個，

所以最長邊長為6的三角形有：3x45個,

故答案為：12

（2）由（1）得：

2

最長邊長為1的三角形有：lxl=F=個,

用個,

最長邊長為3的三角形有：2x2=2?

最長邊長為5的三角形有：3x3=32=

所以當(dāng)“為奇數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為色理;

4

最長邊長為2的三角形有：lx2=]2x三2+2個，

答案第19頁，共24頁

最長邊長為4的三角形有：2x3=；4x94+2個,

22

最長邊長為6的三角形有：3x4=2x胃個,

22

所以當(dāng)“為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為嗎

4

(3)當(dāng)最長邊長〃=128時，及為偶數(shù)，

可得此時的三角形個數(shù)為：也上義=,28("+2)=64x130=4160.

42

故答案為：4160

拓展延伸：

當(dāng)9是底邊的棱長時，

最長邊長為9的三角形個數(shù)有：2叱="？=25個，

44

而直三棱柱的高分別為：1,2,3,4,5,6,7,8,9,

所以這樣的直三棱柱共有：25x9=225個,

當(dāng)9是側(cè)棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1,2,3,4,5,6,7,8,

底邊三角形共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70個，

所以這樣的直三棱柱共有：70個，

綜上，滿足條件的直三棱柱共有225+70=295個.

故答案為：295.

【點睛】

本題考查的是學(xué)生的閱讀理解能力，探究規(guī)律的方法，并運(yùn)用規(guī)律解決問題，同時考查了立

體圖形的含義，三角形的三邊關(guān)系，弄懂題意，掌握探究方法，運(yùn)用規(guī)律的能力都是解題的

關(guān)鍵.

24.(1)—s；(2)S=—V4--1；(3)t=—；(4)存在，t=-s

925511