第一節(jié)點估計問題概述

第一節(jié)點估計問題概述第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月在實際問題中,當(dāng)所研究的總體分布類型已知,但分布中含有一個或多個未知參數(shù)時,如何根據(jù)樣本來估計未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計問題.參數(shù)估計問題分為點估計問題與區(qū)間估計問題兩類.所謂點估計就是用某一個函數(shù)值作為總體未知參數(shù)的估計值；區(qū)間估計就是對于未知參數(shù)給出一個范圍，并且在一定的可靠度下使這個范圍包含未知參數(shù).第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,燈泡的壽命X是一個總體,根據(jù)實際經(jīng)驗知道,X服從,但對每一批燈泡而言,參數(shù)是未知的,要寫出具體的分布函數(shù),就必須確定出參數(shù).此類問題就屬于參數(shù)估計問題.第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)估計問題的一般提法:設(shè)有一個統(tǒng)計總體,總體的分布函為,其中為未知參數(shù)(可以是向量).現(xiàn)從該總體中隨機(jī)地抽樣,得一樣本再依據(jù)該樣本對參數(shù)作出估計,或估計參數(shù)的某已知函數(shù)第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)點估計問題概述內(nèi)容分布圖示

★引言★點估計的概念★例1★評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)★無偏性★例2★例3★有效性★例4★例5★例6★相合性★例7★例8★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題6-1第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容要點：一、點估計的概念設(shè)是取自總體X的一個樣本,是相應(yīng)的一個樣本值.是總體分布中的未知參數(shù),為估計未知參數(shù),需構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量然后用其觀察值來估計的值.稱為的估計量.稱為的估計值.在不致混淆的情況下,估計量與估計值統(tǒng)稱為點估計,簡稱為估計,并簡記為.第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月注:估計量是一個隨機(jī)變量,是樣本的函數(shù)，即是一個統(tǒng)計量,對不同的樣本值,的估計值一般是不同的.第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月二、評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)從例1可見,參數(shù)點估計的概念相當(dāng)寬松,對同一參數(shù),可用不同的方法來估計,因而得到不同的估計量,故有必要建立一些評價估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn).估計量的評價一般有三條標(biāo)準(zhǔn):1.無偏性;2.有效性;3.相合性（一致性）.在本節(jié)的后面將逐一介紹之.第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月在具體介紹估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)之前,需指出:評價一個估計量的好壞,不能僅僅依據(jù)一次試驗的結(jié)果,而必須由多次試驗結(jié)果來衡量.因為估計量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量.故由不同的觀測結(jié)果,就會求得不同的參數(shù)估計值.因此一個好的估計,應(yīng)在多次重復(fù)試驗中體現(xiàn)出其優(yōu)良性.第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1．無偏性估計量是隨機(jī)變量,對于不同的樣本值會得到不同的估計值.一個自然的要求是希望估計值在未知參數(shù)真值的附近,不要偏高也不要偏低.由此引入無偏性標(biāo)準(zhǔn).第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1

設(shè)是未知參數(shù)的估計量,若則稱為的無偏估計量.注:無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求,其實際意義是指估計量沒有系統(tǒng)偏差，只有隨機(jī)偏差.在科學(xué)技術(shù)中,稱為用估計而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差.例如,用樣本均值作為總體均值的估計時,雖無法說明一次估計所產(chǎn)生的偏差,但這種偏差隨機(jī)地在0的周圍波動,對同一統(tǒng)計問題大量重要使用不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差.第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月對一般總體而言，我們有定理1設(shè)為取自總體X的樣本,總體X的均值為,方差為.則(1)樣本均值是的無偏估計量;(2)樣本方差是的無偏估計量;(3)樣本二階中心矩是的有偏估計量.第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2．有效性一個參數(shù)常有多個無偏估計量,在這些估計量中,自然應(yīng)選用對的偏離程度較小的為好,即一個較好的估計量的方差應(yīng)該較小.由此引入評選估計量的另一標(biāo)準(zhǔn)—有效性.第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2

設(shè)和都是參數(shù)的無偏估計量,若則稱較有效.注:

在數(shù)理統(tǒng)計中常用到最小方差無偏估計,其定義如下:設(shè)是取自總體X的一個樣本,是未知參數(shù)的一個估計量,若滿足:(1)即為的無偏估計;(2)是的任一無偏估計.則稱為的最小方差無偏估計(也稱最佳無偏估計).第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3．相合性(一致性)我們不僅希望一個估計量是無偏的,并且具有較小的方差,還希望當(dāng)樣本容量無限增大時,估計量能在某種意義下任意接近未知參數(shù)的真值,由此引入相合性(一致性)的評價標(biāo)準(zhǔn).第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3

設(shè)為未知參數(shù)的估計量,若依概率收斂于,即對任意,有或則稱為的(弱)相合估計量.第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例題選講：

點估計的概念（講義例1）設(shè)X表示某種型號的電子元件的壽命(以小時計)，它服從指數(shù)分布：為未知參數(shù),.現(xiàn)得樣本值為168,130,169,143,174,198,108,212,252,試估計未知參數(shù).第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解 由題意知,總體的均值為即因此,如用樣本均值作為的估計量看起來是最自然的.對給定的樣本值計算得故與分別為的估計量與估計值.第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月 評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)例2（講義例2）設(shè)總體,是來自這一總體的樣本.(1)證明是的無偏估計;(2)求第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解 (1)故是的無偏估計.(2)因而且它們相互獨(dú)立,故依分布定義

由此知第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例3（講義例3）設(shè)是總體的一個簡單隨機(jī)樣本.求使為的無偏估計.第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解 由于且相互獨(dú)立,于是當(dāng)時因為當(dāng)時,所以故當(dāng)時,有為的無偏估計.第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例4（講義例4）設(shè)為來自總體X的樣本,,均為總體均值的無偏估計量,問哪一個估計量有效?第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解 由于所以為和無偏估計量,但故較更有效.第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例5設(shè)總體X在區(qū)間上服從均勻分布,是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本,求常數(shù)使均為的無偏估計,并比較其有效性.第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解 已知其分布函數(shù)為因故當(dāng)時,為無偏估計,且又所以第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月故當(dāng)時,即為的無偏估計,且所以比更有效.第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

例6（講義例5）設(shè)分別自總體和中抽取容量為的兩獨(dú)立樣本.其樣本方差分別為.試證,對于任意常數(shù)都是的無偏估計,并確定常數(shù)使達(dá)到最小.第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月解 由第5章第三節(jié)的定理2,知且相互獨(dú)立,所以故當(dāng)時,即是的無偏估計.由相互獨(dú)立,及第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月令得駐點又知該點為極小值點,所以,當(dāng)時,統(tǒng)計量具有最小方差.(注:此例結(jié)果表明,第5章第三節(jié)定理4中的統(tǒng)計量是方差的最佳無偏估計).第30頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

例7（講義例6）設(shè)是取自總體樣本,且存在為正整數(shù),則為的相合估計量.第31頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

證 事實上,對指定的,令由大數(shù)定理知從而是的相合估計量.作為特例,樣本均值是總體均值的相合估計量.第32頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例8（講義例7）設(shè)總體,為其樣本.試證樣本方差是的相合估計量.第33頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

證 由本節(jié)定理1,又由第5章第三節(jié)定理2,知從而