2022高考數(shù)學熱點考點題型探析等差數(shù)列新人教版

第2講等差數(shù)列★熱點考點題型探析★考點1等差數(shù)列的通項與前n項和題型1已知等差數(shù)列的某些項，求某項【例1】已知為等差數(shù)列，，則【解題思路】可以考慮基本量法，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)【解析】方法1：方法2：，方法3：令，則方法4：為等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為首項，為第4項.方法5：為等差數(shù)列，三點共線【名師指引】給項求項問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法.題型2已知前項和及其某項，求項數(shù).【例2】⑴已知為等差數(shù)列的前項和，，求；⑵若一個等差數(shù)列的前4項和為36，后4項和為124，且所有項的和為780，求這個數(shù)列的項數(shù).【解題思路】⑴利用等差數(shù)列的通項公式求出及，代入可求項數(shù)；⑵利用等差數(shù)列的前4項和及后4項和求出，代入可求項數(shù).【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則⑵【名師指引】解決等差數(shù)列的問題時，通?？紤]兩種方法：⑴基本量法；⑵利用等差數(shù)列的性質(zhì).題型3求等差數(shù)列的前n項和【例3】已知為等差數(shù)列的前項和，.⑴求；⑵求；⑶求.【解題思路】利用求出，把絕對值符號去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.【解析】4.，當時，，當時，，當時，，.由，得，當時，；當時，.⑴；⑵；⑶當時，，當時，【名師指引】含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論.【新題導練】1.已知為等差數(shù)列，（互不相等），求.【解析】2.已知為等差數(shù)列的前項和，，則.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.3.已知個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為，平方和為，求這個數(shù).【解析】設(shè)這個數(shù)分別為則解得當時，這個數(shù)分別為：；當時，這個數(shù)分別為：4.已知為等差數(shù)列的前項和，，求.【解析】方法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則；方法2：.考點2證明數(shù)列是等差數(shù)列【例4】已知為等差數(shù)列的前項和，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【解題思路】利用等差數(shù)列的判定方法⑴定義法；⑵中項法.【解析】方法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，（常數(shù)）數(shù)列是等差數(shù)列.方法2：，，，數(shù)列是等差數(shù)列.【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：⑴定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列；⑵中項法：()是等差數(shù)列；⑶通項公式法：（是常數(shù)）是等差數(shù)列；⑷前項和公式法：（是常數(shù)，）是等差數(shù)列.【新題導練】5.設(shè)為數(shù)列的前項和，，⑴求常數(shù)的值；⑵求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【解析】⑴，，⑵由⑴知：，當時，，，數(shù)列是等差數(shù)列.考點3等差數(shù)列的性質(zhì)【例5】⑴已知為等差數(shù)列的前項和，，則；⑵已知為等差數(shù)列的前項和，，則.【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.【解析】⑴；⑵方法1：令，則.，，；方法2：不妨設(shè).，；方法3：是等差數(shù)列，為等差數(shù)列三點共線..【名師指引】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)解題，可以簡化運算.【新題導練】6.含個項的等差數(shù)列其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為（）【解析】（本兩小題有多種解法），.選B.7.設(shè)、分別是等差數(shù)列、的前項和，，則.【解析】填.考點4等差數(shù)列與其它知識的綜合【例6】已知為數(shù)列的前項和，；數(shù)列滿足：，，其前項和為⑴求數(shù)列、的通項公式；⑵設(shè)為數(shù)列的前項和，，求使不等式對都成立的最大正整數(shù)的值.【解題思路】⑴利用與的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項公式可求；⑵求出后，判斷的單調(diào)性.【解析】⑴，當時，；當時，當時，，；，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.則，.⑵，是單調(diào)遞增數(shù)列.當時，對都成立所求最大正整數(shù)的值為.【名師指引】本題綜合考察等差數(shù)列、通項求法、數(shù)列求和、不等式等知識，利用了函數(shù)、方程思想，這是歷年高考的重點內(nèi)容.【新題導練】8.已知為數(shù)列的前項和，，.⑴求數(shù)列的通項公式；⑵數(shù)列中是否存在正整數(shù)，使得不等式對任意不小于的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)，若不存在，說明理由.【解析】⑴當時，，且，是以為公差的等差數(shù)列，其首項為.當時，當時，，；⑵，得或，當時，恒成立，所求最小的正整數(shù)★搶分頻道★基礎(chǔ)鞏固訓練1.(2022廣雅中學)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，，是數(shù)列的前項和，則A． B． C． D．【解析】C．另法：由，，得，，計算知2.在等差數(shù)列中，，則.【解析】3.數(shù)列中，，當數(shù)列的前項和取得最小值時，.【解析】由知是等差數(shù)列，4.已知等差數(shù)列共有項，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則其公差是.【解析】已知兩式相減，得5.設(shè)數(shù)列中，，則通項.【解析】利用迭加法（或迭代法），也可以用歸納—猜想—證明的方法.6.從正整數(shù)數(shù)列中刪去所有的平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的第項是.【解析】綜合拔高訓練7.(2022廣雅中學)已知等差數(shù)列中，.⑴求數(shù)列的通項公式；⑵若數(shù)列滿足，設(shè)，且，求的值.【解析】⑴設(shè)數(shù)列的公差為，則⑵，令，得∴當時，8.已知為等差數(shù)列的前項和，⑴當為何值時，取得最大值；⑵求的值；⑶求數(shù)列的前項和【解析】⑴等差數(shù)列中，公差，令當時，；當時，.當時，取得最大值；⑵數(shù)列是等差數(shù)列；⑶由⑴得，當時，；當時，.9.(2022執(zhí)信中學)已知數(shù)列滿足⑴證明：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列的通項公式；⑶若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列.【解析】⑴證明：,,是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。 ⑵解：由（I）得 ⑶證明：①②②－①，得即，③④④－③，得即，是等差數(shù)列.10.(2022北京）數(shù)列滿足，是常數(shù).⑴當時，求及的值；⑵數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；⑶求的取值范圍，使得存在正整數(shù)，當時總有.【解析】⑴由于，且，所以當時，得，故.從而.⑵數(shù)列不可能為等差數(shù)列.證明如下：由，得若存在，使為等差數(shù)列，則，即于是這