全等三角形的性質(zhì)及應(yīng)用（測(cè)試）

專題03全等三角形的性質(zhì)及應(yīng)用專題測(cè)試學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、選擇題1．（2018秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)F、A、D、C在同一直線上，△ABC≌△DEF，DF＝4，則AC等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝DF，即可得出選項(xiàng)．【解析】解：∵△ABC≌△DEF，DF＝4，∴AC＝DF＝4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．2．（2019春?臨安區(qū)期中）如圖，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，則∠BCA′的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．50°【點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論．【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2018秋?紹興期末）如圖，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∠ACB＝20°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．【解析】解：∵，△ABC≌△EDC．∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，∵點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∴∠ADC+∠EDC＝180°，∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，∴∠ADC＝∠E+20°，∵∠ACE＝90°，AC＝CE∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，即45°+70°+∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝65°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答．4．（2018秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，則∠α的度數(shù)為（）A．80° B．100° C．60° D．45°【點(diǎn)撥】設(shè)∠1、∠2、∠3分別為28x、5x、3x，三角形內(nèi)角和定理列出方程，分別求出∠1、∠2、∠3的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解析】解：設(shè)∠1、∠2、∠3分別為28x、5x、3x，由三角形內(nèi)角和定理得，28x+5x+3x＝180°，解得，x＝5°，則∠1、∠2、∠3分別為140°、25°、15°，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠EAC＝360°﹣∠1﹣∠BAE＝80°，∠E＝∠3＝∠DCA，∠a＝∠EAC＝80°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握翻折變換是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．5．（2019?湖州）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，則四邊形ABCD的面積是（）A．24 B．30 C．36 D．42【點(diǎn)撥】過D作DH⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝CD＝4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】解：過D作DH⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD＝AB?DH+BC?CD＝×6×4+×9×4＝30，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2019秋?臺(tái)州期中）如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝4，則AD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 【點(diǎn)撥】作DE⊥BC于E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答．【解析】解：作DE⊥BC于E，∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴DE＝CD＝2，∵BD平分∠ABC，∠CAB＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE＝2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．（2019秋?龍灣區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，DE是AC邊的中垂線，分別交AC，AB于點(diǎn)E，D，則△DBC的周長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵DE是AC邊的中垂線，∴DA＝DC，△DBC的周長(zhǎng)＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝5+3＝8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2019?諸城市二模）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°【點(diǎn)撥】由CD＝AC，∠A＝50°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ADC的度數(shù)，又由題意可得：MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：CD＝BD，則可求得∠B的度數(shù)，繼而求得答案．【解析】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，根據(jù)題意得：MN是BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．9．（2018秋?蒼南縣期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜邊AB的中垂線DE分別交BC，AB于點(diǎn)D，E．已知BD＝5，CD＝3，則AC的長(zhǎng)為（）A．8 B．4 C． D．2【點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】解：∵斜邊AB的中垂線DE分別交BC，AB于點(diǎn)D，E，∴AD＝BD＝5，∵CD＝3，∴AC＝＝4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．（2018秋?長(zhǎng)興縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，則S△ABC＝8S△BDE．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【點(diǎn)撥】根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論，與各選項(xiàng)進(jìn)行比對(duì)，排除錯(cuò)誤答案，選出正確的結(jié)果．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠E＝90°，∵AD＝AD，∴△DAC≌△DAE（AAS），∴∠CDA＝∠EDA，∴①AD平分∠CDE正確；無(wú)法證明∠BDE＝60°，∴③DE平分∠ADB錯(cuò)誤；∵BE+AE＝AB，AE＝AC，∵AC＝4BE，∴AB＝5BE，AE＝4BE，∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE，∴S△ABC＝9S△BDE，∴④錯(cuò)誤；∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B，∴∠BDE＝∠BAC，∴②∠BAC＝∠BDE正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，是一道結(jié)論開放性題目，考查了學(xué)生利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)發(fā)散思維能力．二、填空題11．（2019秋?蒼南縣期中）如圖，已知△ABC≌△DEF，A和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，若∠A＝80°，∠B＝65°，則∠F＝35°．【點(diǎn)撥】利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠F＝∠ACB＝35°．【解析】解：∵∠A＝80°，∠B＝65°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣65°＝35°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB＝35°，故答案為：＝35．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．12．（2017秋?嵊州市期末）如圖，已知△ABC≌△EDF，點(diǎn)F，A，D在同一條直線上，AD是∠BAC的平分線，∠EDA＝30°，∠E＝70°，則∠ADC的度數(shù)是65°．【點(diǎn)撥】由全等三角形的性質(zhì)可求得∠B和∠BAC的度數(shù)，由角平分線可求得∠BAD的度數(shù)，利用三角形的外角可求得∠ADC的度數(shù)．【解析】解：∵△ABC≌△EDF，∴∠B＝∠EDA＝30°，∠BAC＝∠E＝70°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝35°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+35°＝65°，故答案為：65°．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等．13．（2019秋?慈溪市期中）如圖，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，若S△ABC＝12，DF＝2，AC＝5，則AB的長(zhǎng)是7．【點(diǎn)撥】依據(jù)角平分線的定義即可求出DE的值，代入三角形面積公式得出關(guān)于AB的方程，求出AB即可．【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴12＝×AB×DE+×AC×DF，即24＝AB×2+5×2，∴AB＝7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形的面積的應(yīng)用，解題時(shí)注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．14．（2019秋?諸暨市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF，MN分別為AB，AC的垂直平分線，則∠FAN＝40°．【點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C的度數(shù)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到FA＝FB，NA＝NC，得到∠BAF＝∠B，∠CAN＝∠C，進(jìn)而得出結(jié)論．【解析】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵EF，MN分別為AB，AC的垂直平分線，∴FA＝FB，NA＝NC，∴∠BAF＝∠B，∠CAN＝∠C，∴∠BAF+∠CAN＝70°，∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）＝110°﹣70°＝40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．（2018秋?江干區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），若△CAB與△DBA全等，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）或（1，1）或（1，5）．【點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，根據(jù)圖形結(jié)合A、B、C的坐標(biāo)即可得出答案．【解析】解：如圖所示，共有3個(gè)符合條件的點(diǎn)，∵△CAB與△DBA全等，∴AB＝AB，BC＝AD或BC＝BD，∵A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），∴D1的坐標(biāo)是（0，1），或（1，1）或（1，5）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，注意要進(jìn)行分類討論，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．16．（2019秋?鄞州區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)G作GD⊥AC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；其中正確的結(jié)論有①②③（填序號(hào)）【點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義得出∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，求出∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，根據(jù)等腰三角形的判定得出BE＝EG，F(xiàn)G＝CF，即可判斷①；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出②即可；根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出③即可．【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，∵EF∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，∴∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，∴BE＝EG，F(xiàn)G＝CF，∴EF＝EG+FG＝BE+CF，故①正確；∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠CBG＝ABC，∠BCG＝，∴∠GBC+∠GCB＝+ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（90°﹣A）＝90°+A，故②正確；過G作GQ⊥AB于Q，GW⊥BC于W，∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，GD⊥AC，∴GQ＝GW，GW＝GD，∴GQ＝GW＝GD，即點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故③正確；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2019秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線分別交AD，DE于點(diǎn)F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．【點(diǎn)撥】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，則可計(jì)算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC＝（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．18．（2019秋?慈溪市期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，邊AB的垂直平分線交AB、AC分別于點(diǎn)D，點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）若∠A＝40°，求∠CBE的度數(shù)．（2）若AB＝10，BC＝6，求△BCE的面積．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CBA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝AE，得到∠EBA＝∠A＝40°，結(jié)合圖形計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AC，設(shè)CE＝x，根據(jù)勾股定理列式求出x，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠CBA＝50°，∵DE是AB的垂直平分線∴BE＝AE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠CBE＝∠CBA﹣∠EBA＝10°；（2）∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，設(shè)CE＝x，則AE＝BE＝8﹣x∴62+x2＝（8﹣x）2，解得：，∴△BCE的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．19．（2018秋?奉化區(qū)期末）如圖，已知AC∥BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，點(diǎn)E在線段CD上．（1）求∠AEB的度數(shù)；（2）求證：CE＝DE．【點(diǎn)撥】（1）由平行線得到∠CAB+∠ABD＝180°，根據(jù)角平分線定義表示出∠EAB、∠EBA，計(jì)算這兩個(gè)的和，便可求∠AEB度數(shù)；（2）在AB上截取AF＝AC，連接EF，分別證明△ACE≌△AFE，△DEB≌△FEB，借助CE＝EF，DE＝EF，可證CE＝DE．【解析】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如圖，在AB上截取AF＝AC，連接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義以及全等三角形的判定和性質(zhì)．20．（2019秋?蒼南縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，GE垂直平分線段AC交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)E，在射線EG上取一點(diǎn)D，使得DE＝AC，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△EFD；（2）若AB＝5，DF＝12，求BE的長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】（1）證出∠D＝∠C，由AAS即可得出△ABC≌△EFD；（2）連接AE，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，由全等三