特殊三角形章末重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版）

專題1.3特殊三角形章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【浙教版】【考點(diǎn)1判斷軸對稱圖形】【方法點(diǎn)撥】掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。注意：理解軸對稱圖形的定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質(zhì)。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條?！纠?】（2019春?相城區(qū)期中）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（2018秋?思明區(qū)校級期中）如圖，四個手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2018秋?開封期中）下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2018秋?宜興市校級期中）下列圖形中，不是軸對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點(diǎn)2角平分線的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等牢記：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個比較簡單的方法；（2）當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問題時，通常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段?！纠?】（2019春?港南區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，則△DBE的周長是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【變式2-1】（2018秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，已知△ABC的面積為28．AC＝6，DE＝4，則AB的長為（）A．6 B．8 C．4 D．10【變式2-2】（2018秋?思明區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝2，則BF的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-3】（2018秋?西城區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，則AC長是（）A．3 B．4 C．6 D．5【考點(diǎn)3線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間線段的長度。（2）在使用該定理時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。【例3】（2019春?普寧市期中）如圖：在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，且點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，BC＝6cm，則△ADE的周長是（）A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm【變式3-1】（2019春?南華縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的周長是（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式3-2】（2018秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，DE是AB的垂直平分線，△ABC的周長為19，△BCE的周長為12，則線段AB的長為（）A．9 B．8 C．7 D．6【變式3-3】（2018春?雨城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，PM、QN分別是AB、AC的垂直平分線，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°【考點(diǎn)4等腰三角形的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。2.等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）?！纠?】（2018春?金水區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40°，則此等腰三角形的頂角是（）A．50° B．130° C．50°或140° D．50°或130°【變式4-1】（2018秋?洪山區(qū)期中）如圖，已知AB＝AC＝BD，則∠1與∠2的關(guān)系是（）A．3∠1﹣∠2＝180° B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．∠1＝2∠2【變式4-2】（2018秋?邗江區(qū)期中）如圖，若AB＝AC，下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是（）A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4）【變式4-3】（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，在第一個△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二個△A1A2C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法進(jìn)行下去，則以點(diǎn)A4為頂點(diǎn)的等腰三角形的底角的度數(shù)為（）A．175° B．170° C．10° D．5°【考點(diǎn)5軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】掌握軸對稱的性質(zhì)：1.成軸對稱的兩個圖形全等。2.成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分。3.成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱?！纠?】（2019春?貴陽期末）如圖，點(diǎn)P是△ACB外的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是△ACB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于CA的對稱點(diǎn)P1恰好落在線段ED上，P點(diǎn)關(guān)于CB的對稱點(diǎn)P2落在ED的延長線上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，則線段P1P2的長為．【變式5-1】（2019春?普寧市期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于AB，AC對稱的點(diǎn)分別為E、F，連接EF分別交AB、AC于M、N，分別連接DM、DN，已知△DMN的周長是6cm，那么EF＝．【變式5-2】（2019春?山亭區(qū)期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)，MN分別交OA，OB于C，D點(diǎn)，若△PCD的周長為30cm，則線段MN的長為cm．【變式5-3】（2018春?鳳翔縣期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上，點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)R落在線段MN的延長線上．若PMcm，PN＝3cm，MN＝4cm，則線段QR的長為．【考點(diǎn)6設(shè)計軸對稱圖案】【方法點(diǎn)撥】設(shè)計軸對稱圖案往往以正方形、菱形、等邊三角形和網(wǎng)格紙（或格點(diǎn)紙）為基礎(chǔ)，因?yàn)檫@些圖形本身就是軸對稱圖形，利用軸對稱的有關(guān)性質(zhì)容易設(shè)計出它們的對稱點(diǎn)或?qū)ΨQ部分。設(shè)計軸對稱圖案時，要先確定出有幾條對稱軸，然后根據(jù)對稱軸的不同，合理地設(shè)計出整體的軸對稱圖案。具體設(shè)計時，我們通常先以一條對稱軸為基線，根據(jù)構(gòu)思或需要，再添加其他的對稱軸，進(jìn)一步設(shè)計美觀、完善的圖案。注意：（1）要設(shè)計的圖案是由哪些基本圖形組成的；（2）是不是軸對稱圖形，如果是軸對稱圖形，要先確定它的對稱軸；（3）設(shè)計軸對稱的美術(shù)圖案時，除圖形對稱外，有時顏色也要“對稱”?！纠?】（2019春?赫山區(qū)期末）如圖是網(wǎng)格中由五個小正方形組成的圖形，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）（1）圖①中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；（2）圖②中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且只有一條對稱軸（畫出一個即可）【變式6-1】（2019春?東明縣期末）如圖，下列4×4網(wǎng)格圖都是由16個相間小正方形組成，每個網(wǎng)格圖中有4個小正方形已涂上陰影，在空白小正方形中，選取2個涂上陰影，使6個陰影小正方形組成個軸對稱圖形，請設(shè)計出四種方案．【變式6-2】（2018秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．請分別在下列圖中畫一個位置不同、頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形，使其與△ABC成軸對稱圖形．【變式6-3】（2018秋?東臺市期中）方格紙中每個小方格都的邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”．（1）在圖1中確定格點(diǎn)D，并畫出一個以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對稱圖形；（2）在圖2中畫一個格點(diǎn)正方形，使其面積等于10；（3）直接寫出圖3中△FGH的面積是．【考點(diǎn)7等腰三角形的判定】【方法點(diǎn)撥】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊”牢記：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；（2）判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)?！纠?】（2019春?深圳期中）如圖，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求證：△DGE是等腰三角形．【變式7-1】（2018秋?雙陽區(qū)校級期中）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．求證：△BED是等腰三角形．【變式7-2】（2018秋?鳩江區(qū)期中）已知：如圖，O為△ABC的∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，∠1＝∠2，求證：△ABC是等腰三角形．【變式7-3】（2019秋?望謨縣期中）已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC．求證：△ABC是等腰三角形．【考點(diǎn)8“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）?！纠?】（2019秋?武昌區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G為EF的中點(diǎn)，求證：AG⊥EF．【變式8-1】（2019秋?青山區(qū)期中）在△ABC中，BC邊上的高AG平分∠BAC．（1）如圖1，求證：AB＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的長．【變式8-2】（2019?衡陽校級期中）已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．【變式8-3】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D為BC的中點(diǎn)，過D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長線交于M、N，問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)9等邊三角形的判定與性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對稱圖形，并且具有3條對稱軸；（2）等邊三角形的每個角都等于60°。等邊三角形的判定：（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。（4）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形?！纠?】（2018秋?松桃縣期末）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的長．【變式9-1】（2018秋?邵陽縣期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長．【變式9-2】（2019秋?壽光市期末）如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點(diǎn)M，連接CD交BE于點(diǎn)N，連接MN得△BMN．（1）求證：△ABE≌△DBC．（2）試判斷△BMN的形狀，并說明理由．【變式9-3】（2019秋?中江縣期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時，M、N同時停止運(yùn)動．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運(yùn)動的時間．【考點(diǎn)10利用軸對稱性質(zhì)求最值】【例10】（2018秋?吳江區(qū)期中）如圖，∠AOB＝45°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)，且OP＝1，若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，則△PMN周長的最小值是（）A． B．【變式10-1】（2018秋?如皋市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【變式10-2】（2018春?新區(qū)期中）如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A． B．3 C．4 D．2【變式10-3】（2018秋?長葛市期中）如圖，∠AOB＝30°，M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊OB，OA上的動點(diǎn)，記∠OPM＝α，∠OQN＝β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時，則關(guān)于α，β的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．β﹣α＝60° B．β+α＝210° C．β﹣2α＝30° D．β+2α＝240°【考點(diǎn)11利用勾股定理求最短路徑】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題需先將立體圖形進(jìn)行展開，在平面上利用兩點(diǎn)之間線段最短作圖，利用勾股定理即可求解.【例11】（2018秋?福田區(qū)校級期中）如圖，一圓柱高為，底面周長是，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，且，則最短路線長為A． B． C． D．【變式11-1】（2018秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為、、．和是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【變式11-2】（2018春?涼州區(qū)期末）如圖，長方體的底面邊長為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么所用細(xì)線最短需要A． B． C． D．處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【考點(diǎn)12利用勾股定理求長度】【例12】（2018春?港南區(qū)期中）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，求，的長．【變式12-1】（2018秋?濱湖區(qū)期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【變式12-2】（2018春?興義市期中）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，已知，，，求的長．【變式12-3】（2018秋?東明縣期中）如圖，在中，，，正方形的面積為，于點(diǎn)，求的長．【考點(diǎn)13勾股定理的證明】【方法點(diǎn)撥】勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，通常利用面積來證明.【例13】（2019春?洛陽期中）下列兩圖均由四個全等的直角三角形拼接而成，且它們的兩條直角邊分別為，，斜邊為，．請選擇一個你喜歡的圖形，利用等面積法驗(yàn)證勾股定理．你選擇的是圖，寫出你的驗(yàn)證過程．【變式13-1】（2018秋?興化市期中）我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一．勾股定理其實(shí)有很多種證明方法．下圖是1876年美國總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定理所用的圖形：以、為直角邊，以為斜邊作兩個全等的直角三角形，把這兩個直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使、、三點(diǎn)在一條直線上．（1）求證：；（2）請你利用這個圖形證明勾股定理（即證明：．【變式13-2】（2018秋?東臺市期中）如圖，將繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長、相交于點(diǎn)，則有，且四邊形是一個正方形．（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）用含代數(shù)式表示四邊形的面積；（3）求證：．【變式13-3】（2019春?東光縣期中）和是兩直角邊為，，斜邊為的全等的直角三角形，按如圖所示擺放，其中，求證：．【考點(diǎn)14勾股定理逆定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例14】（2018春?賓陽縣期中）如圖，已知在四邊形中，，，，，．（1）連結(jié)，求的長；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【變式14-1】（2019春?長白縣期中）如圖，在四邊形中，已知，，，且，．求四邊形的面積．【變式14-2】（2018春?豐臺區(qū)期中）如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．【變式14-3】（2019春?鄂城區(qū)期中）如圖，四邊形中，，，、分別是和邊上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，問是什么三角形？請說明理由．【考點(diǎn)15勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例15】（2019春?東湖區(qū)校級期末）數(shù)學(xué)綜合實(shí)驗(yàn)課上，同學(xué)們在測量學(xué)校旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準(zhǔn)確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計算出來的嗎？【變式15-1】（2019春?內(nèi)黃縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子的長為17米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動到點(diǎn)的位置，問船向岸邊移動了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）【變式15-2】（2019春?道里區(qū)期末）某地區(qū)為了開發(fā)農(nóng)業(yè)，決定在公路上相距的、兩站之間點(diǎn)修建一個土特產(chǎn)加工基地，使點(diǎn)到、兩村的距離相等，如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，求土特產(chǎn)加工基地應(yīng)建在距離站多少的地方？【變式15-3】（2019春?商南縣期末）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用．請你嘗試應(yīng)用勾股定理解決下列問題：一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時為，如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端向外移了多少米？（注意：【考點(diǎn)16利用勾股定理解折疊問題】【例16】（2019春?番禺區(qū)期末）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，將紙片沿折疊，直角邊恰好落在斜邊上，且與重合，求的面積．【變式16-1】（2018秋?建鄴區(qū)期末）如圖，把長為的紙條沿，同時折疊，、兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，且，，求的長．【變式16-2】（2019秋?杭州期中）如圖，把長方形沿折疊，落在處，交于點(diǎn)，已知，．（長方形的對邊相等，四個角都為直角）（1）求證：；（2）求的長；（3）求重疊部分的面積．【變式16-3】（2018春?杜爾伯特縣期中）如圖，將邊長為的正方形折疊，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)落在處，折痕為．（1）求線段長．（2）連接，并求的長．【考點(diǎn)17直角三角形全等的判定】【方法點(diǎn)撥】對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）【例17】（2018秋?思明區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD＝AC．求證：△ABD≌△BAC；【變式17-1】（2019秋?睢寧縣校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，一條直線MN＝AB，M