高中化高三大題專題練習(xí)解題第二篇高三大題專題練習(xí)解題第二篇第4講

綜合復(fù)習(xí)資料高中化學(xué)第4講數(shù)列問題題型一數(shù)列通項(xiàng)與求和例1(12分)(2014·江西)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1·bn＝0.(1)令cn＝eq\f(an,bn)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.規(guī)范解答解(1)因?yàn)閎n≠0，所以由anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，得eq\f(an,bn)－eq\f(an＋1,bn＋1)＋2＝0，[2分]即eq\f(an＋1,bn＋1)－eq\f(an,bn)＝2，[3分]所以cn＋1－cn＝2，所以{cn}是以c1＝eq\f(a1,b1)＝1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，[5分]所以cn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[6分](2)因?yàn)閎n＝3n－1，cn＝2n－1.所以an＝cnbn＝(2n－1)3n－1.[7分]所以Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)3n－1＋(2n－1)3n，[9分]作差得：－2Sn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)3n＝－2－(2n－2)3n，[11分]所以Sn＝(n－1)3n＋1.[12分]評(píng)分細(xì)則第(1)問得分點(diǎn)1.利用已知條件合理轉(zhuǎn)化得2分.2.寫成等差數(shù)列定義形式得1分.3.得出其首項(xiàng)、公差進(jìn)而寫出通項(xiàng)得3分.第(2)問得分點(diǎn)1.由bn＝3n＋1，cn＝2n－1，得到{an}的通項(xiàng)得1分.2.在等式兩端同乘以3給2分.3.錯(cuò)位相減給1分.4.錯(cuò)位相減后求和正確得2分.5.最后結(jié)果整理得1分.第一步：由已知條件確定{an}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；第二步：由等差數(shù)列或等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得{an}的通項(xiàng)公式；第三步：分析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征、確定求和方法.例如：公式法、裂項(xiàng)法，本題用錯(cuò)位相減法；第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論；第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.如本題中在求an時(shí)，易忽視對(duì)n＝1，n≥2時(shí)的討論.跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9－2an,2n)))的前n項(xiàng)和Tn.題型二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題例2(12分)(2014·浙江)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝(eq\r(2))bn(n∈N*).若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn＝eq\f(1,an)－eq\f(1,bn)(n∈N*).記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.①求Sn；②求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*，均有Sk≥Sn.規(guī)范解答解(1)由題意知a1a2a3…an＝(eq\r(2))bn，b3－b2＝6，知a3＝＝(eq\r(2))6＝8.[2分]又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n(n∈N*)，[4分]所以，a1a2a3…an＝＝(eq\r(2))n(n＋1).故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn＝n(n＋1)(n∈N*).[6分](2)①由(1)知cn＝eq\f(1,an)－eq\f(1,bn)＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))(n∈N*)，Sn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))－(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，所以Sn＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,2n)(n∈N*).[8分]②因?yàn)閏1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，[9分]當(dāng)n≥5時(shí)，cn＝eq\f(1,nn＋1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2n)－1))，而eq\f(nn＋1,2n)－eq\f(n＋1n＋2,2n＋1)＝eq\f(n＋1n－2,2n＋1)>0，得eq\f(nn＋1,2n)≤eq\f(5×5＋1,25)<1，所以，當(dāng)n≥5時(shí)，cn<0.[11分]綜上，對(duì)任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.[12分]評(píng)分細(xì)則第(1)問得分點(diǎn)1.利用已知條件得到a3＝8得2分；得出b2，b3的關(guān)系式也給1分.2.解對(duì)an＝2n得2分，求出q可得1分，但q＝－2不舍去不得分.3.解出bn得2分.第(2)問得分點(diǎn)1.裂項(xiàng)得1分，求和寫出正確結(jié)果得1分，不管過程有無.2.驗(yàn)算前4項(xiàng)給1分.3.驗(yàn)算后給出最后結(jié)果給2分.4.證明方式不唯一，只要論證合理，同樣得分.第一步：由已知條件和數(shù)列性質(zhì)求基本量，確定數(shù)列的特性等差或等比數(shù)列；第二步：求出an或Sn的通項(xiàng)公式；第三步：分析an，Sn涉及的函數(shù)或不等式，利用相關(guān)函數(shù)或不等式性質(zhì)解決題目中的問題；第四步：得出結(jié)果，敘述完整；第五步：回顧反思.查驗(yàn)“n”的取值是否符合要求，運(yùn)算過程是否有不當(dāng)之處.跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))是函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的圖象上的一點(diǎn).等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)－c.數(shù)列{bn}(bn>0)的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－1＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2).(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n項(xiàng)和為Tn，問滿足Tn>eq\f(1003,2016)的最小正整數(shù)n是多少？

答案精析第4講數(shù)列問題跟蹤訓(xùn)練1解(1)當(dāng)n＝k∈N*時(shí)，Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－eq\f(1,2)k2＋k2＝eq\f(1,2)k2，故k2＝16，因此k＝4，從而an＝Sn－Sn－1＝eq\f(9,2)－n(n≥2)．又a1＝S1＝eq\f(7,2)，所以an＝eq\f(9,2)－n.(2)因?yàn)閎n＝eq\f(9－2an,2n)＝eq\f(n,2n－1)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋eq\f(2,2)＋eq\f(3,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－2)＋eq\f(n,2n－1)，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(n＋2,2n－1).跟蹤訓(xùn)練2解(1)∵f(1)＝a＝eq\f(1,3)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.由題意知，a1＝f(1)－c＝eq\f(1,3)－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－eq\f(2,9)，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－eq\f(2,27).又?jǐn)?shù)列{an}是等比數(shù)列，∴a1＝eq\f(a\o\al(2,2),a3)＝eq\f(\f(4,81),－\f(2,27))＝－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)－c，∴c＝1.又公比q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,3)，∴an＝－eq\f(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n(n∈N*)．∵Sn－Sn－1＝(eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1))(eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1))＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2)．又bn>0，eq\r(Sn)>0，∴eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝1.∴數(shù)列{eq\r(Sn)}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，eq\r(Sn)＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1也適合此通項(xiàng)公式．∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)Tn＝eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋eq\f(1,b3b4)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2n－1×2n＋1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\r