2023朝陽(yáng)區(qū)高三一模有答案

2024朝陽(yáng)區(qū)高三一模有答案北京市朝陽(yáng)區(qū)高三班級(jí)第一次綜合練習(xí)

數(shù)學(xué)試卷（理工類(lèi)）

（考試時(shí)間120分鐘滿(mǎn)分150分）

本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分

第一部分（選擇題共40分）

留意事項(xiàng)：考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上答無(wú)效。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出

符合題目要求的一項(xiàng).1.復(fù)數(shù)

10i

12i

=-A.42i-+B.42i-C.24i-D.24i+

2.已知平面對(duì)量,ab滿(mǎn)意()=3aa+b?，且2,1==ab，則向量a與b的夾角為

A.

6πB.3πC.32πD.6

5π3.已知數(shù)列{}na的前n項(xiàng)和為nS，且21()nnSanN*

=-∈，則5a=

A.16-

B.16

C.31

D.32

4.已知平面α，直線,,abl，且,abαα??，則“l(fā)a⊥且lb⊥”是“l(fā)α⊥”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

5.有10件不同的電子產(chǎn)品，其中有2件產(chǎn)品運(yùn)行不穩(wěn)定.技術(shù)人員對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直到2件不穩(wěn)定的產(chǎn)品全部找出后測(cè)試結(jié)束，則恰好3次就結(jié)束測(cè)試的方法種數(shù)是（）

A.16

B.24

C.32

D.48

6.已知函數(shù)()fx是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有(2)()fxfx+=.當(dāng)

01x≤≤時(shí)，2()fxx=.若直線yxa=+與函數(shù)()yfx=的圖象在內(nèi)恰有兩個(gè)

不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是A.0B.0或12-

C.14-或12-

D.0或1

4

-7.某工廠生產(chǎn)的A種產(chǎn)品進(jìn)入某商場(chǎng)銷(xiāo)售，商場(chǎng)為吸引廠家第一年免收管理費(fèi)，因此第一

年A種產(chǎn)品定價(jià)為每件70元，年銷(xiāo)售量為11.8萬(wàn)件.從其次年開(kāi)頭，商場(chǎng)對(duì)A種產(chǎn)品征收銷(xiāo)售額的%x的管理費(fèi)（即銷(xiāo)售100元要征收x元），于是該產(chǎn)品定價(jià)每件比第一年

增加了

70%

1%

xx?-元，估計(jì)年銷(xiāo)售量削減x萬(wàn)件，要使其次年商場(chǎng)在A種產(chǎn)品經(jīng)營(yíng)中收取的

管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元，則x的取值范圍是

A.2

B.6.5

C.8.8

D.108.已知點(diǎn)集{}

22(,)48160Axyxyxy=+--+≤，

{}

(,)4,Bxyyxmm是常數(shù)=≥-+，點(diǎn)集A所表示的平面區(qū)域與點(diǎn)集B所表示的平

面區(qū)域的邊界的交點(diǎn)為,MN.若點(diǎn)(,4)Dm在點(diǎn)集A所表示的平面區(qū)域內(nèi)（不在邊界上），則△DMN的面積的最大值是

A.1

B.2

C.

D.4

其次部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.

9.已知雙曲線的方程為2

213

xy-=，則此雙曲線的離心率為，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為.

10.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.

（第10題圖）（第11題圖）

11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入k的值是4，則輸出S的值是.

12.

在極坐標(biāo)系中，曲線ρθ=和cos1ρθ=相交于點(diǎn),AB，則線段AB的中點(diǎn)E到極點(diǎn)的距離是.

13.已知函數(shù)213

(),

2,()24

log,02.

xxfxxx?+≥?=??>的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為1(0)F，2F.點(diǎn)

(1,0)M與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)(3)mnm≠.過(guò)點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN，NP，BN的斜率分別為1k，2k，3k，若1322kkk+=，試求,mn滿(mǎn)意的關(guān)系式.

20．（本小題滿(mǎn)分13分）

已知各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列001:,,

,nAaaa()n*∈N，滿(mǎn)意00a=，

1naan++=．若存在最小的正整數(shù)k，使得(1)kakk=≥，則可定義變換T，變換T將

數(shù)列0A變?yōu)閿?shù)列00111

():1,1,,1,0,,,kknTAaaaaa-+

+++

．設(shè)1()iiATA+=，

0,1,2i=．

（Ⅰ）若數(shù)列0:0,1,1,3,0,0A，試寫(xiě)出數(shù)列5A；若數(shù)列4:4,0,0,0,0A，試寫(xiě)出數(shù)列0A；（Ⅱ）證明存在唯一的數(shù)列0A，經(jīng)過(guò)有限次T變換，可將數(shù)列0A變?yōu)閿?shù)列,0,0,

,0nn個(gè)

；

（Ⅲ）若數(shù)列0A，經(jīng)過(guò)有限次T變換，可變?yōu)閿?shù)列,0,0,

,0nn個(gè)

．設(shè)

1mmmnSaaa+=+++，1,2,,mn=，求證(1)

1

m

mmSaSmm=-++，其中1mSm+表示不超過(guò)1

mS

m+的最大整數(shù)．

北京市朝陽(yáng)區(qū)高三班級(jí)第一次綜合練習(xí)

數(shù)學(xué)試卷（理工類(lèi)）

三、解答題：（15）（本小題滿(mǎn)分13分）

解：（Ⅰ）由于π

()cos()4fαα=-=

，

所以

(cossin)210

αα+=，所以7

cossin5

αα+=

.平方得，2

2

sin2sincoscosαααα++=4925

，所以24

sin225

α=

.……………6分（II）由于()π()2gxfxfx??=?+

??

?=ππcos()cos()44

xx-?+

sin)sin)xxxx+-=

221

(cossin)2xx-=1

cos22

x.……………10分

當(dāng)ππ,63x??∈-

????時(shí)，π2π2,33x??

∈-????

.所以，當(dāng)0x=時(shí)，()gx的最大值為1

2

；當(dāng)π3x=

時(shí)，()gx的最小值為1

4

-.……………13分

（16）（本小題滿(mǎn)分13分）解：（Ⅰ）依題意，0.0451000200,0.025*******ab=??==??=.……………4分（Ⅱ）設(shè)其中成果為優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為x，則

350300100

401000

x++=

，解得：x=30，即其中成果為優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為30名.……………7分

（Ⅲ）依題意，X的取值為0，1，2，

2102403(0)52CPXC===，1110302405(1)13CCPXC===，2302

4029

(2)52

CPXC===，所以X的分布列為

350125213522EX=?+?+?=，所以X的數(shù)學(xué)期望為2

.……………13分

（17）（本小題滿(mǎn)分14分）證明：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)N，連接MN,NF.

在△DAB中，M是BD的中點(diǎn)，N是

AD的中點(diǎn)，所以1

=

2

MN//AB,MNAB，又由于1

=2

EF//AB,EFAB，

所以MN//EF且MN=EF.

所以四邊形MNFE為平行四邊形，所以

EM//FN.

又由于FN?平面ADF，?EM平面ADF，

故EM//平面ADF.……………4分解法二：由于EB⊥平面ABD，ABBD⊥，故以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系-Bxyz.……………1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),BAD

3

(3,-2,0),(,0,0)

2CEFM（Ⅰ）3

=(,0,-3)(3,-2,0)2

EM,AD=，設(shè)平面ADF的一個(gè)法向量是()x,y,zn=.由0,0,ADAFnn??=???=??得32x-y=0,

=0.????

?

令y=3，則n=.又由于3

(=3+0-3=02

EMn?=?，

所以EMn⊥，又EM?平面ADF，所以//EM平面ADF.……………4分

N

C

AFE

B

M

D

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF

的一個(gè)法向量是n=.由于EB⊥平面ABD，所以EBBD⊥.

又由于ABBD⊥，所以BD⊥平面EBAF.故(3,0,0)BD=是平面EBAF的一個(gè)法向量.所以1

cos=

?，又二面角D-AF-B為銳角，故二面角D-AF-B的大小為60?.……………10分（Ⅲ）假設(shè)在線段EB上存在一點(diǎn)P，使得CP與

AF所成的角為30?.不妨設(shè)(0,0,t)P

（0t≤≤

，則=(3,-2,-),=PCAFt.

所以2cos=

=

?，

=

，化簡(jiǎn)得35-=，解得0t=得0x.

所以函數(shù)()fx在區(qū)間(,0)-∞單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,)+∞單調(diào)遞減.……………6分（2）當(dāng)0a≠時(shí),設(shè)2

()2gxaxxa=-+，方程2

()20gxaxxa=-+=的判別式

2444(1)(1),aaa?=-=-+……………7分

①當(dāng)01a.

由()0fx'>得x；

由()0fx'.

由()0fx'>x.

所以當(dāng)10a-≤≤-，則定義變

換1T-，變換1T-將數(shù)列0A變?yōu)閿?shù)列1

0()TA-：01111,1,

,1,,,

,kknaaakaa-+---．

易知1

T-和T是互逆變換．………5分對(duì)于數(shù)列,0,0,

,0n連續(xù)實(shí)施變換1T-（始終不能再作1T-變換為止）得

,0,0,

,0n1

T

-??→1,1,0,,0n-1

T

-??

→2,0,2,0,,0n-1

T

-??

→3,1,2,0,,0n-

1

T

-??→

1

T

-??→01,,

,naaa，

則必有00a=（若00a≠，則還可作變換1

T-）．反過(guò)來(lái)對(duì)01,,

,naaa作有限次變換T，

即可還原為數(shù)列,0,0,

,0n，因此存在數(shù)列0A滿(mǎn)意條件．

下用數(shù)學(xué)歸納法證唯一性：當(dāng)1,2n=是明顯的，假設(shè)唯一性對(duì)1n-成立，考慮n的情形．假設(shè)存在兩個(gè)數(shù)列01,,

,naaa及01,,,nbbb均可經(jīng)過(guò)有限次T變換，變?yōu)?0,

,0n，

這里000ab==，1212nnaaabbbn+++=++

+=

若0nan，則由變換的定義可知，0