高中化高三大題練習(xí)解題9系列4選講第41練幾何證明選講

高中化學(xué)教學(xué)同步課件第41練幾何證明選講專題9系列4選講題型分析·高考展望本講主要考查相似三角形與射影定理，圓的切線及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理，圓周角定理及弦切角定理，相交弦、切割線、割線定理等，本部分內(nèi)容多數(shù)涉及圓，并且多是以圓為背景設(shè)計(jì)的綜合性考題，考查邏輯推理能力．試題主要以解答題形式出現(xiàn)，難易程度均為中低檔題．常考題型精析高考題型精練題型一相似三角形及射影定理題型二相交弦定理、割線定理、切割線定理、

切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用題型三四點(diǎn)共圓的判定?？碱}型精析題型一相似三角形及射影定理例1如圖所示，CD垂直平分AB，點(diǎn)E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F(xiàn)、G分別為垂足．求證：AF·AC＝BG·BE.證明因?yàn)镃D垂直平分AB，所以△ACD和△BDE均為直角三角形，并且AD＝BD.又因?yàn)镈F⊥AC，DG⊥BE，所以AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2，因?yàn)锳D2＝DB2，所以AF·AC＝BG·BE.點(diǎn)評(píng)(1)在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”．(2)證題時(shí)，作垂線構(gòu)造直角三角形是解該類問(wèn)題的常用方法．變式訓(xùn)練1如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求證：EF∶DF＝BC∶AC.證明∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC，∴由射影定理得AC2＝CD·BC，∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，題型二相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用例2

(2014·重慶改編)過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的切線PA(A為切點(diǎn))，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的值．解由切割線定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(負(fù)值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，解得AB＝4.點(diǎn)評(píng)(1)圓中線段長(zhǎng)度成比例的問(wèn)題，要結(jié)合切割線定理、相交弦定理，構(gòu)造比例關(guān)系．(2)利用相似關(guān)系求解線段長(zhǎng)度要靈活地在三角形中對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化或等比替換．變式訓(xùn)練2

(2015·天津改編)如圖，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD，CE分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，求線段NE的長(zhǎng)．解根據(jù)相交弦定理可知，題型三四點(diǎn)共圓的判定例3如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF.證明：(1)B、D、H、E四點(diǎn)共圓；證明在△ABC中，因?yàn)椤螧＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因?yàn)锳D、CE分別是∠BAC、∠DCF的平分線，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四點(diǎn)共圓．(2)CE平分∠DEF.證明連結(jié)BH，則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四點(diǎn)共圓，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.點(diǎn)評(píng)(1)如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四點(diǎn)共圓；(2)如果四邊表的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．變式訓(xùn)練3

(2015·湖南)如圖，在⊙O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F，證明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；證明如圖所示，因?yàn)镸，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四邊形的內(nèi)角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)FE·FN＝FM·FO.證明由(1)知，O，M，E，N四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得FE·FN＝FM·FO.高考題型精練1.(2015·重慶改編)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的長(zhǎng).12345678高考題型精練因此CE＝6，ED＝3，再由相交弦定理得AE·EB＝CE·ED，123456782.(2015·陜西)如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，直線AO

交⊙O于D，E兩點(diǎn)，BC⊥DE，垂足為C.B高考題型精練(1)證明：∠CBD＝∠DBA；12345678證明因?yàn)镈E為⊙O直徑，則∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，從而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于點(diǎn)B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.高考題型精練12345678高考題型精練解由(1)知BD平分∠CBA，12345678故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直徑為3.3.如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交⊙O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線交CA的延長(zhǎng)線于P.(1)求證：PM2＝PA·PC；高考題型精練證明連結(jié)ON，則ON⊥PN，且△OBN為等腰三角形，則∠OBN＝∠ONB，12345678∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根據(jù)切割線定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.高考題型精練12345678高考題型精練解OM＝2，在Rt△BOM中，12345678延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)DN.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.4.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M、N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB、AC分別相切于E、F兩點(diǎn).(1)證明：EF∥BC；高考題型精練12345678證明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線.又因?yàn)椤袿分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF.從而EF∥BC.高考題型精練12345678解由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分線，又EF為⊙O的弦，所以O(shè)在AD上.連接OE，OM，則OE⊥AE.由AG等于⊙O的半徑得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形.高考題型精練123456789高考題型精練123456785.(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB＝CE.(1)證明：∠D＝∠E；高考題型精練證明由題設(shè)知，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.12345678高考題型精練(2)設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形.12345678證明如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直線MN上.又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故OM⊥AD，高考題型精練12345678即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形.6.如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).(1)證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓；高考題型精練12345678證明連結(jié)OP，OM，因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP，因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓.高考題型精練12345678(2)求∠OAM＋∠APM的大小.高考題型精練12345678解由(1)得，A，P，O，M四點(diǎn)共圓，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.7.(2014·遼寧)如圖，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PG＝PD，連結(jié)DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；高考題型精練證明因?yàn)镻D＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA.12345678又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，從而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直徑.高考題型精練12345678(2)若AC＝BD，求證：AB＝ED.高考題型精練證明連結(jié)BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA