1-4-2 充要條件中階（人教A版2019必修第一冊(cè)）解析版

1.4.2充要條件1．已知x∈R，則“成立”是“成立”的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要1．C【分析】先證充分性，由求出x的取值范圍，再根據(jù)x的取值范圍化簡(jiǎn)即可，再證必要性，若，即，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可知．【詳解】充分性：若，則2≤x≤3，，必要性：若，又，，由絕對(duì)值的性質(zhì)：若ab≤0，則，∴，所以“成立”是“成立”的充要條件，故選：C．2．“，”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．A【分析】充分性可利用不等式性質(zhì)進(jìn)行證明，可舉出反例得到必要性不成立.【詳解】因?yàn)椋?，充分性成立，若，不妨令，滿足，但不滿足，必要性不成立，故“，”是“”的充分不必要條件.故選：A3．已知?，則成立的一個(gè)充要條件是（

）A． B． C． D．3．C【解析】根據(jù)?，將移項(xiàng)通分化簡(jiǎn)求解.【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查不等關(guān)系以及必要條件?充分條件和充要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.4．若實(shí)數(shù)，則命題甲“”是命題乙“”的A．充分非必要條件B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件4．B【分析】先用特殊值判斷推不出，但可以推出．故可以得到兩者之間的關(guān)系．【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足命題甲，但推不出命題乙，∴充分性不具備；當(dāng)時(shí)，顯然能推出命題甲“”，∴必要性具備，故選B．【點(diǎn)睛】充分性與必要性的判斷，可以依據(jù)命題的真假來判斷，若“若則”是真命題，“若則”是假命題，則是的充分不必要條件；若“若則”是真命題，“若則”是真命題，則是的充分必要條件；若“若則”是假命題，“若則”是真命題，則是的必要不充分條件；若“若則”是假命題，“若則”是假命題，則是的既不充分也不必要條件.5．設(shè)則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．A【分析】等價(jià)于或，利用充分條件于必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于或，所以能推出，不能推出，則“”是“”的充分不必要條件，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.判斷充要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試，對(duì)于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.6．設(shè)r是q的充分條件，s是q的充要條件，t是s的必要條件，t是r的充分條件，那么r是t的（

）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．充分必要條件6．D【解析】根據(jù)充分條件，必要條件和充要條件的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)槭堑某浞謼l件，是的充要條件，所以是的充分條件，即成立.又因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以是的充分條件，即，因?yàn)閠是r的充分條件，，所以，即是的充要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件，必要條件和充要條件，同時(shí)考查學(xué)生分析問題的能力，屬于簡(jiǎn)單題.7．下列各題中，p是q的充要條件的有（

）A．p：四邊形是正方形；q：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分B．p：兩個(gè)三角形相似；q：兩個(gè)三角形三邊成比例C．p：xy>0；q：x>0，y>0D．p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根；q：a+b+c=0（a≠0）7．BD【分析】根據(jù)充要條件的定義對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析討論并判定作答.【詳解】對(duì)于A，四邊形是正方形則四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分成立，但四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分四邊形可能是菱形，即p不是q的充要條件，A不是；對(duì)于B，兩個(gè)三角形相似與兩個(gè)三角形三邊成比例能互相推出，即p是q的充要條件，B是；對(duì)于C，xy>0不能推出x>0，y>0，可能x<0，y<0，即p不是q的充要條件，C不是；對(duì)于D，x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，可得a+b+c=0，反之，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，把c=-a-b代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx-a-b=0，即(ax+a+b)(x-1)=0，顯然x=1是方程的一個(gè)根，即p是q的充要條件，D是.故選：BD8．已知關(guān)于x的方程，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是或B．方程有一正一負(fù)根的充要條件是C．方程有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是D．方程無(wú)實(shí)數(shù)根的必要條件是8．CD【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】在A中，二次方程有實(shí)數(shù)根，等價(jià)于判別式，解得或，即二次方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是或，故A錯(cuò)誤；在B中，二次方程有一正一負(fù)根，等價(jià)于，解得，方程有一正一負(fù)根的充要條件是，故B錯(cuò)誤；在C中，方程有兩正實(shí)數(shù)根，等價(jià)于解得，故方程有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是，故C正確；在D中，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于得，而，故是方程無(wú)實(shí)數(shù)根的必要條件，故D正確；故選：CD．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：關(guān)于充分條件和必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的充分條件，則可推出，即對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的子集；（2）若是的必要條件，則可推出，即對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的子集；（3）若是的充要條件，則，可互推，即對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等.9．集合中至多有一個(gè)元素的充要條件是

.9．或【分析】集合中至多有一個(gè)元素等價(jià)于方程至多一個(gè)根，利用判別式求解即可，另外當(dāng)單獨(dú)進(jìn)行驗(yàn)證．【詳解】解：由已知得方程至多一個(gè)根，或，解得故答案為或【點(diǎn)睛】本題考查二次方程根的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵注意要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論，本題是基礎(chǔ)題．10．設(shè)全集為S，集合A，，有下列四個(gè)命題：①；

②；

③；

④．其中是命題的充要條件的命題序號(hào)是．10．①②③【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集，交集并集的定義，結(jié)合充要條件的定義依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，①滿足；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，②滿足；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，③滿足；當(dāng)時(shí)，，④不滿足.故答案為：①②③.11．對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，給出下列命題：①“”是“”的充要條件；②“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充要條件；③“”是“”的充分條件；④“”是“”的必要條件.其中真命題的序號(hào)是．11．②④【分析】命題①中，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不一定能推出條件命題②中，證明命題的充分性和必要性即可命題③顯然不成立，通過列舉法說明即可命題④通過范圍大小判斷即可【詳解】①中由“”可得，但由“”得不到“”，所以不是充要條件，所以①是假命題；②中，充分性：若“是無(wú)理數(shù)”，判斷一定是無(wú)理數(shù)，充分性成立；必要性：若是無(wú)理數(shù)，則一定是無(wú)理數(shù)，必要性成立，②是真命題③中時(shí)，不一定成立，所以③是假命題；④中由“”得不到“”，但由“”可以得出“”，所以“”是“”的必要條件，所以④是真命題．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充要條件來判斷命題的真假，需注意充分與必要條件成立的前提，條件能推出結(jié)論，充分性成立；結(jié)論能推出條件，必要性成立，若涉及范圍問題，可巧記為：小推大成立，大推小不成立12．已知，，若成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．【分析】由成立的一個(gè)充分不必要條件是，可得，再列不等式求解即可.【詳解】解：由題意，得，但，∴，∴，即，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了充要條件與集合間的包含關(guān)系、集合相等的充要條件,利用集合的包含關(guān)系求解參數(shù)的范圍,重點(diǎn)考查了集合思想,屬中檔題.13．已知條件；條件函數(shù)的圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；條件.若條件是條件的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)；若條件是條件的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．或【分析】根據(jù)條件函數(shù)的圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，推導(dǎo)出或，因?yàn)闂l件是條件的充分不必要條件即可得到實(shí)數(shù)的值；根據(jù)條件是條件的必要不充分條件，推導(dǎo)出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，其圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，的圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則，符合題意；條件或條件是條件的充分不必要條件，則或?qū)崝?shù)為或當(dāng)時(shí)，由得，；當(dāng)時(shí)，由得，；條件是條件的必要不充分條件，且條件或，條件，即故答案為：或；實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個(gè)合適的填空.（1）“”是“”的；（2）“”是“”的.14．充要條件必要不充分條件【分析】（1）求得方程的兩根以及的根，即可根據(jù)集合關(guān)系判斷關(guān)系；（2）從充分性和必要性的角度即可容易判斷.【詳解】（1）設(shè)，，所以，即“”是“”的充要條件.（2）因?yàn)橛伞啊辈荒芡瞥觥啊保挥伞啊蹦芡瞥觥啊?；所以“”是“”的必要不充分條件.故答案為：充要條件；必要不充分條件.【點(diǎn)睛】本題考查充分性和必要性的判斷和證明，屬基礎(chǔ)題.15．已知為實(shí)數(shù)，寫出關(guān)于的方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件、一個(gè)充分不必要條件，一個(gè)必要不充分條件.15．充要條件：；充分非必要：的真子集即可，比如；必要不充分：真包含即可，比如.【分析】根據(jù)充分條件，必要條件和充要條件，和一元二次方程和根的判別式的關(guān)系，即可得到.【詳解】（1）方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是，或，解得，即至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件是；（2）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根的一個(gè)充分不必要條件為的真子集即可，比如；（3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根的一個(gè)必要不充分條件真包含即可，比如.【點(diǎn)睛】本題以含有字母參數(shù)的一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根的討論為載體，考查了充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.16．已知關(guān)于x的一元二次方程(m∈Z)①mx2－4x＋4＝0,②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求方程①和②都有整數(shù)解的充要條件.16．.【分析】(1)判定是的什么條件，需要從兩方面去理解：一是由條件能否推得；二是由條件能否推得.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可以利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；（2)判斷充要條件的方法：（1）定義法：直接判斷若則、若則的真假；（2）等價(jià)法：利用與，與，與的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法；（3）利用集合間的包含關(guān)系判斷：若，則是的充分條件或是的必要條件，若，則是的充要條件.【詳解】方程①有實(shí)根的充要條件是m=0,或m不等于0時(shí)解得m1.方程②有實(shí)根的充要條件是，解得故m=－1或m=0或m=1.當(dāng)m=－1時(shí)，①方程無(wú)整數(shù)解.當(dāng)m=0時(shí)，②無(wú)整數(shù)解；當(dāng)m=1時(shí)，①②都有整數(shù).從而①②都有整數(shù)解m=1.反之，m=1①②都有整數(shù)解.∴①②都有整數(shù)解的充要條件是m=1考點(diǎn)：充要條件的探索.17．已知命題α：1≤x≤2，命題β：1≤x≤a．(1)若α是β必要非充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：a≥2是α?β成立的充要條件．17．(1){a|a＜2}(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分條件，得到B是A的真子集，分類討論，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）分別證明充分性和必要性即可．【詳解】（1）設(shè)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，若α是β必要非充分條件，則B是A的真子集，當(dāng)B＝