2021年山西省陽泉市盂縣中考數(shù)學(xué)一模試卷 解析版

2021年山西省陽泉市盂縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分。在每個小題給出的

四個選項中只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將選項涂黑）

1.2021的相反數(shù)是（）

A.-2021B.2021C.D.--L-

20212021

2.下面四個化學(xué)儀器示意圖中，是軸對稱圖形的是（）

A.3B.LS------1c.y

3.如圖，直線Z3=70°,則Nl=（）J

一

!BID

A.70°B.100°C.110°D.120°

4.對于無理數(shù)F，添加關(guān)聯(lián)的數(shù)或者運算符號組成新的式子,其運算結(jié)果能成為有理數(shù)的

是（）

A.273-372B.V3+V3C.（爪）3D.0X73

5.如圖，△ABC與△QEF位似，點。為位似中心.已知。4：OD=l：2,則△48（?與4

。。的面積比為（）

K乙

產(chǎn)…C

A.1：2B.1：3C.I：4D.1：5

6.計算：(--3=()

7.2020年初以來，紅星消毒液公司生產(chǎn)的消毒液在庫存量為機噸的情況下，日銷售量與產(chǎn)

量持平.自1月底抗擊“新冠病毒”以來，消毒液需求量猛增，該廠在生產(chǎn)能力不變的

情況下，消毒液一度脫銷，下面表示2020年初至脫銷期間，該廠庫存量y（噸）與時間

t（天）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

8.下列說法錯誤的是（）

A.定義反映出事物的本質(zhì)屬性.既可以做性質(zhì)，也可以做判定

B.證明兩個等邊三角形全等，具需證明一邊相等即可

C.有一個角是45°的等腰三角形是等腰直角三角形

D.在放大鏡下，一個字可以變大，一條線段可以變長，但是一個角的大小是不變的

9.將關(guān)于x的一元二次方程x2-px+q=0變形為/=px-q,就可以將/表示為關(guān)于x的一

次多項式，從而達到“降次”的目的，又如（內(nèi)-4）=…，我們將這種方法

稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，己知：/

-X-1=0,且x>0,則/+1的值為（）

A.I+A/5B.1-75C.3-75D.3+娓

10.觀察下列圖形，它們是一組有規(guī)律的圖案，各圖形是由大小相同的黑點組成.圖1中有

2個點，圖2中有7個點，圖3中有14個點，…，按此規(guī)律，第10個圖中黑點的個數(shù)是

圖1圖2圖3圖4

A.119B.120C.121D.122

二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分)

11.2020年6月23日9時43分，“北斗三號”最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星發(fā)射成功，它的授時

精度小于0.00000002秒，則0.00000002用科學(xué)記數(shù)法表示為.

12.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/(單位：A)與電阻R(單位：C)成

反比例函數(shù)關(guān)系，圖象如圖所示，則這個反比例函數(shù)解析式為.

13.定義：如圖，點C、點。把線段AB分割成4C、8和8。，若以AC、CD、8。為邊

的三角形是一個直角三角形，則稱點C、點。是線段43的勾股分割點.已知點M、點N

是線段A8的勾股分割點，AM=2,MN=3,貝BN=.

.---?---------?---?

ACDB

14.如圖，木工師傅在板材邊角處做直角時，往往使用“三弧法”，其做法是：

(1)作線段A8,分別以為A、B為圓心，長為半徑作弧，兩弧的交點為C；

(2)以C為圓心，仍以A8長為半徑做弧，交AC的延長線于點￡>；

(3)連接B。、BC.

下列說法正確的是：(把所有正確的序號都寫出來)

①NCBC=30°；②S&BDC=叵AB2；③點C是△AB。的外心；(4)sin2A+cos2￡>=1

15.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閱（讀ktin,門檻的意思）

一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推

開雙門，雙門間隙CO的距離為2寸，點C和點。距離門檻AB都為1尺（1尺=10寸）,

圖2

三、解答題（本大題共8個小題。共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

演算步驟)

16.(1)計算：|1-V2-2sin45°+(-2020)°.

2

(2)先化簡，再求值：(2-二1)+三+6兇+9,其中》=3.

x+1x2_i

17.如圖，/A=N。，BF=EC,AB//DE.

求證：AC—DF.

18.為了解疫情期間學(xué)生網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)效果，盂縣某中學(xué)隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，

要求每位學(xué)生從“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四個等次中，選擇一項作為自我

評價網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給

的信息解答下列問題:

(1)這次活動共抽查了人.

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整，并計算出扇形統(tǒng)計圖中，學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生人數(shù)所

在扇形的圓心角度數(shù)；

(3)張老師在班上隨機抽取了4名學(xué)生，其中學(xué)習(xí)效果“優(yōu)秀”的1人，“良好”的2

人，“一般”的1人，若再從這4人中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法，求出抽取的2人

學(xué)習(xí)效果是“一個優(yōu)秀，一個良好”的概率.

19.人字折疊梯完全打開后如圖1所示，B,C是折疊梯的兩個著地點，。是折疊梯最高級

踏板的固定點.圖2是它的示意圖，AB=AC,BD=\40cm,NBAC=40°,求點。離地

面的高度DE.(結(jié)果精確到(Mc/n；參考數(shù)據(jù)sin70°-0.94,cos70°-0.34,sin20°g

20.期中考試后，某班班主任對在期中考試中取得優(yōu)異成績的同學(xué)進行表彰.她到商場購買

了甲、乙兩種筆記本作為獎品，購買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，共花費250

元.已知購買一個甲種筆記本比購買一個乙種筆記本多花費5元.

(1)求購買一個甲種、一個乙種筆記本各需多少元？

(2)兩種筆記本均受到了獲獎同學(xué)的喜愛，班主任決定在期末考試后再次購買兩種筆記

本共35個，正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整，甲種筆記本售價比上一次購買時減價2

元，乙種筆記本按上一次購買時售價的8折出售.如果班主任此次購買甲、乙兩種筆記

本的總費用不超過上一次總費用的90%,求至多需要購買多少個甲種筆記本？并求購買

兩種筆記本總費用的最大值.

21.先閱讀下面材科，再完成任務(wù)：

材料一：我們可以將任意三位數(shù)記為:羨，(其中4、b、C分別表示該數(shù)的百位數(shù)字，十

位數(shù)字和個位數(shù)字，且a#0).顯然芯=100a+10/，+c.

材料二：若一個三位數(shù)的百位數(shù)字，十位數(shù)字和個位數(shù)字均不為0,則稱之為原始數(shù)，比

如123就是一個原始數(shù)，將原始數(shù)的三個數(shù)位上的數(shù)字交換順序，可產(chǎn)生出5個新的原

始數(shù)，比如由123可以產(chǎn)生出132,213、231、312、321這5個新原始數(shù)，將這6個數(shù)

相加，得到的和1332稱為由原始數(shù)123生成的終止數(shù).

任務(wù)：

(1)分別求出由下列兩個原始數(shù)生成的終止數(shù)：248,659；

(2)若由一個原始數(shù)生成的終止數(shù)為1110,求滿足條件的所有原始數(shù).

22.如圖1,在等腰三角形4BC中，ZA=120°,AB=AC,點。、￡分別在邊AB、AC上，

AD=AE,連接BE,點M、N、P分別為。E、BE、BC的中點.

(1)觀察猜想.

圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是,NMNP的大小為.

(2)探究證明

把△?!￡>￡繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE,判斷△MNP

的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸

把△4DE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=1,AB=3,請求出△加%「面積的最大值.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=62+版-2交x軸于4，8兩點，交y軸于點C,

且OA=2OC=8OB.點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)PC//AB,求點尸的坐標(biāo)；

(3)連接AC,求△aic面積的最大值及此時點尸的坐標(biāo).

2021年山西省陽泉市盂縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.2021的相反數(shù)是（）

A.-2021B.2021C.—」D.--」

20212021

【分析】利用相反數(shù)的定義分析得出答案，只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

【解答】解：2021的相反數(shù)是：-2021.

故選：A.

2.下面四個化學(xué)儀器示意圖中，是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

8、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

。、是軸對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

【分析】直接利用平行線的性質(zhì)得出/1=N2,進而得出答案.

【解答】解：?..直線AB〃C￡>,

.*.Z1=Z2,

VZ3=70°,

；./l=N2=180°-70°=110°.

故選：C.

4.對于無理數(shù)添加關(guān)聯(lián)的數(shù)或者運算符號組成新的式子，其運算結(jié)果能成為有理數(shù)的

是（）

A.273-372B.V3+V3c.（V3）3D.0X73

【分析】選項A、8根據(jù)二次根式的加減法法則判斷即可；

選項C根據(jù)乘方的定義以及二次根式的性質(zhì)判斷即可；

選項D根據(jù)任何數(shù)與0相乘得0判斷即可.

【解答】解：A.2T與-哂不是同類二次根式，所以不能合并，故本選項不合題意；

區(qū)?班=2?，故本選項不合題意；

C.（、巧）3=哂，故本選項不合題意；

D.0X73=0,故本選項符合題意.

故選：D.

5.如圖，△ABC與△OEF位似，點O為位似中心.已知04：00=1：2,則△48（7與4

OE尸的面積比為（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

【分析】根據(jù)位似圖形的概念求出△48C與△OEF的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計

算即可.

【解答】解：?:△ABC與△DEF是位似圖形，。40￡>=1：2,

AABC與/\DEF的位似比是1：2.

.?.△45C與△￡>￡/的相似比為1：2,

.?.△ABC與△OEF的面積比為1：4,

故選：c.

6.計算：（-4?丫）3=（）

3

5

A.-2/）3B.導(dǎo)6y3c.-導(dǎo)6y3D.-Xx-/

【分析】根據(jù)積的乘方運算法則計算即可，積的乘方，等于每個因式乘方的積.

【解答】解:（-知）3=（?）3.（x2）3.y3=*x6y3.

故選：C.

7.2020年初以來，紅星消毒液公司生產(chǎn)的消毒液在庫存量為m噸的情況下，日銷售量與產(chǎn)

量持平.自1月底抗擊“新冠病毒”以來，消毒液需求量猛增，該廠在生產(chǎn)能力不變的

情況下，消毒液一度脫銷，下面表示2020年初至脫銷期間，該廠庫存量y（噸）與時間

f（天）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

【分析】根據(jù)開始庫存量與銷量持平，后來脫銷即可確定庫存量y（噸）與時間f（天）

之間函數(shù)關(guān)系.

【解答】解：根據(jù)題意：庫存量y（噸）與時間/（天）之間函數(shù)關(guān)系的圖象為先平，再

逐漸減小，最后為0.

故選：D.

8.下列說法錯誤的是（）

A.定義反映出事物的本質(zhì)屬性.既可以做性質(zhì)，也可以做判定

B.證明兩個等邊三角形全等，具需證明--邊相等即可

C.有一個角是45°的等腰三角形是等腰直角三角形

D.在放大鏡下，一個字可以變大，一條線段可以變長，但是一個角的大小是不變的

【分析】A、根據(jù)判定、定義的概念判斷即可;

8、根據(jù)三角形全等進行判斷即可；

C、根據(jù)等腰直角三角形判斷即可；

。、根據(jù)角的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：A、定義反映出事物的本質(zhì)屬性.既可以做性質(zhì)，也可以做判定，是真命題；

8、證明兩個等邊三角形全等，具需證明一邊相等即可，是真命題；

C、有一個角是45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，若45°是頂角，原命題是

假命題；

。、在放大鏡下，一個字可以變大，一條線段可以變長，但是一個角的大小是不變，是真

命題；

故選：C.

9.將關(guān)于x的一元二次方程，-px+q=O變形為*=px-q,就可以將/表示為關(guān)于x的一

次多項式，從而達到“降次”的目的，又如(px-q)=…，我們將這種方法

稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：/

-X-1=0,且x>0,則丁+1的值為()

A.1+75B.1-V5C.3-75D.3+泥

【分析】利用f=x+l,得/+x+l=(x+1)+x+\=2x+2,用一元二次方程求根公式得x

土返,且x>0,所以x取上詆，代入即可求得.

22

【解答】解：-1=0,

.,.X=\土丘且x2=x+l,

2

.\x5+l=x*x2+\=x(x+1)+l=x2+x+l=(x+1)+x+l=2x+2,

Vx>0,

Ax3+l=2x+2=2?^^-+2=75+3'

故選：D.

10.觀察下列圖形，它們是一組有規(guī)律的圖案，各圖形是由大小相同的黑點組成.圖1中有

2個點，圖2中有7個點，圖3中有14個點，…，按此規(guī)律，第10個圖中黑點的個數(shù)是

()

圖1圖2圖3圖4

A.119B.120C.121D.122

【分析】根據(jù)已知圖形得出第"個圖形中黑點的個數(shù)為2〃(M+1)+2+1)=/+2〃

-1,據(jù)此求解可得.

【解答】解???圖1中黑點的個數(shù)2X1X(1+1)4-2+(1-1)=2,圖2中黑點的個數(shù)2

X2X(1+2)4-2+(2-1)=7,圖3中黑點的個數(shù)2X3X(1+3)4-2+(3-1)=14,

...第〃個圖形中黑點的個數(shù)為2〃(〃+1)+2+(n-1)=n2+2n-1,

.?.第10個圖形中黑點的個數(shù)為102+2X10-1=119.

故選：A.

二.填空題(共5小題)

11.2020年6月23日9時43分，“北斗三號”最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星發(fā)射成功，它的授時

精度小于0.00000002秒，則0.00000002用科學(xué)記數(shù)法表示為2X10T.

【分析】由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定10的負(fù)指數(shù)，把較小

的數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法即可.

【解答】解：0.00000002=2X10-8,

則0.00000002用科學(xué)記數(shù)法表示為2X108.

故答案為：2X108

12.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/(單位：A)與電阻R(單位：￡1)成

反比例函數(shù)關(guān)系，圖象如圖所示，則這個反比例函數(shù)解析式為/=壁?

【分析】直接利用反比例函數(shù)解析式求法得出答案.

【解答】解：由圖象經(jīng)過(8,6),則/R=48,即/=9.

R

故答案為：/=壁.

R

13.定義：如圖，點C、點。把線段AB分割成AC、CDBD,若以AC、CD、8。為邊

的三角形是一個直角三角形，則稱點C、點。是線段A8的勾股分割點.已知點M、點、N

是線段AB的勾股分割點，AM=2,MN=3,則BN=_泥或

?---?-----------??

ACDB

【分析】①當(dāng)MN為最長線段時，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最長線段時，由勾股

定理求出BN即可.

【解答】解：①當(dāng)MN為最長線段時，

???點M、N是線段A3的勾股分割點，

?*-B?V=VMN2-AM2=V5；

②當(dāng)BN為最長線段時，

；點M、N是線段AB的勾股分割點，

BN=R+AM2r9+4=71^.

綜上所述：BN=加或5.

故答案為：或皆13.

14.如圖，木工師傅在板材邊角處做直角時，往往使用“三弧法”，其做法是：

(1)作線段AB,分別以為A、8為圓心，4B長為半徑作弧，兩弧的交點為C;

(2)以C為圓心，仍以AB長為半徑做弧，交AC的延長線于點Q；

(3)連接3D、BC.

下列說法正確的是：①⑵⑶(把所有正確的序號都寫出來)

222

?ZCBD=30°；②SABDC=VL1B；③點C是△ABO的外心；(4)sinA+cosD=1

【分析】①根據(jù)尺規(guī)作圖的過程即可得結(jié)論;

②根據(jù)①和勾股定理即可得結(jié)論;

③根據(jù)直角三角形的外接圓的性質(zhì)即可得結(jié)論;

④根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得結(jié)論.

【解答】解：①根據(jù)題意的作圖過程，可知

△4BC是等邊三角形，乙48。=90°,

AZCfiD=30°.

故①正確.

@VZABD=90",ZCfiD=30°.

.?.248=AO,

根據(jù)勾股定理，得

B￡>=VAD2-AB2=^4B,

是△ABO的中線，

S^ABC—S^BCD—^SMBD=—（—AB-BD）

222

4

故②正確.

③?點C是直角三角形48。斜邊A￡>的中點，

二點C是△AB。的外心.

故③正確.

④在RhABD中，sinA=刈l,cosD=—

ADAD

sin2A+cos2f）=BD+BD=.2BDw?

AD2AD2AD2

故④不正確.

故答案為①②③.

15.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去闌（讀kUn,門檻的意思）

一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推

開雙門，雙門間隙C。的距離為2寸，點C和點。距離門檻AB都為1尺（1尺=10寸）,

則AB的長是101寸.

【分析】取AB的中點0,過。作于E,根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論.

【解答】解：取AB的中點。，過。作。ELAB于E,如圖2所示：

由題意得：OA=OB=AO=8C,

設(shè)OA=O8=AO=8C=r寸，

則AB=2r(寸)，￡>E=10寸，OE=」C￡>=1寸，

2

：.AE=-1)寸，

在RtZiAOE中，

AE1+DE2=Ab2,即(r-1)2+102=^,

解得：r=50.5,

/.2r=101(寸),

/.AB=101寸，

故答案為：101.

圖2

三.解答題

16.(1)計算：|1-V2I-2sin45°+(-2020)°,

2

(2)先化簡，再求值：(2-工工)7+6三+9,其中X=3.

x+1x2-l

【分析】(1)根據(jù)絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)累可以解答本題；

(2)根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即

可解答本題.

【解答】解：(1)|1-V3-2sin450+(-2020)°

=?一一2X返+1

2

=V2-1-V2+1

=0；

2

(2)(2-^zl)+x+6x+9

x+1x2-l

=2(x+l)-(x-l).(x+1)(x-1)

x+l(x+3)2

=2x+2-x+lx-l

1'(x+3)2

=x+3x-l

1(x+3)2

—X-l

'x+3'

當(dāng)x=3時.原式=m=』.

3+33

17.如圖，NA=ND,BF=EC,AB//DE.

求證：AC=DF.

【分析】由已知AB〃ED,可得NB=NE,由BF=EC,可得BCBC=EF,易證AABC

沿叢DEF,即可得出AC=D￡

【解答】證明：

:.NB=NE,

：.BC=EF,

在△ABC和△OEF中，

rZA=ZD

(NB=/E，

BC=EF

」.△ABC絲△OEf(A45A

：.AC=DF.

18.為了解疫情期間學(xué)生網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)效果，盂縣某中學(xué)隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，

要求每位學(xué)生從“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四個等次中，選擇一項作為自我

評價網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給

的信息解答下列問題：

(1)這次活動共抽查了200人.

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整，并計算出扇形統(tǒng)計圖中，學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生人數(shù)所

在扇形的圓心角度數(shù)；

(3)張老師在班上隨機抽取了4名學(xué)生，其中學(xué)習(xí)效果“優(yōu)秀”的1人，“良好”的2

人，“一般”的1人，若再從這4人中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法，求出抽取的2人

學(xué)習(xí)效果是“一個優(yōu)秀，一個良好”的概率.

【分析】(1)根據(jù)良好的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)；

(2)用總?cè)藬?shù)減去其它學(xué)習(xí)效果的人數(shù)，求出不合格的人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖；用360。

乘以學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生所占的百分比即可得出圓心角度數(shù)；

(3)根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)與抽取的2人學(xué)習(xí)效果是“一個優(yōu)秀，一個

良好”的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案.

【解答】解：(1)這次活動共抽查的學(xué)生人數(shù)為80?40%=200(人)；

故答案為:200；

(2)“不合格”的學(xué)生人數(shù)為200-40-80-60=20(人)，補全條形統(tǒng)計圖如下:

一般不合格學(xué)習(xí)效果

學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生人數(shù)所在扇形的圓心角度數(shù)為360。X型_=108°；

200

(3)把學(xué)習(xí)效果“優(yōu)秀”的記為A,“良好”記為B,“一般”的記為C,

畫樹狀圖如圖：

一開始、

ABBC

不Zl\/l\/l\

BBCABCABCABB

共有12個等可能的結(jié)果，抽取的2人學(xué)習(xí)效果是“一個優(yōu)秀、一個良好”的結(jié)果有4個,

則抽取的2人學(xué)習(xí)效果是“一個優(yōu)秀、一個良好”的概率=_￡=▲.

123

19.人字折疊梯完全打開后如圖1所示，B,C是折疊梯的兩個著地點，。是折疊梯最高級

踏板的固定點.圖2是它的示意圖，AB=AC,140c7”，/8AC=40°,求點。離地

面的高度DE.(結(jié)果精確到0.1cm；參考數(shù)據(jù)sin70°七0.94,cos70°^0.34,sin20°弋

【分析】過點A作AFLBC于點F,根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)得/BAF的度數(shù),

進而得/80E的度數(shù)，再解直角三角形得結(jié)果.

【解答】解：過點A作AFLBC于點尸，則A尸〃DE,

：.ZBDE=ZBAF,

'：AB=AC,ZBAC=40°,

.?.N8OE=NBA尸=20°,

：.DE=BD-cos2Q°140X0.94=131.6(cm).

答：點。離地面的高度。E約為131.6a/.

20.期中考試后，某班班主任對在期中考試中取得優(yōu)異成績的同學(xué)進行表彰.她到商場購買

了甲、乙兩種筆記本作為獎品，購買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，共花費250

元.已知購買一個甲種筆記本比購買一個乙種筆記本多花費5元.

（1）求購買一個甲種、一個乙種筆記本各需多少元？

（2）兩種筆記本均受到了獲獎同學(xué)的喜愛，班主任決定在期末考試后再次購買兩種筆記

本共35個，正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整，甲種筆記本售價比上一次購買時減價2

元，乙種筆記本按上一次購買時售價的8折出售.如果班主任此次購買甲、乙兩種筆記

本的總費用不超過上一次總費用的90%,求至多需要購買多少個甲種筆記本？并求購買

兩種筆記本總費用的最大值.

【分析】（1）設(shè)購買一個甲種筆記本需要x元，購買一個乙種筆記本需要y元，根據(jù)“購

買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，共花費250元；購買一個甲種筆記本比購買一

個乙種筆記本多花費5元”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購買，〃個甲種筆記本，則購買（35-加）個乙種筆記本，根據(jù)總價=單價X數(shù)量

結(jié)合此次購買甲、乙兩種筆記本的總費用不超過上一次總費用的90%,即可得出關(guān)于相

的一元一次不等式，解之即可得出，"的取值范圍，結(jié)合〃，為正整數(shù)可得出最多購買甲種

筆記本的個數(shù)，設(shè)購買兩種筆記本總費用為卬元，根據(jù)總價=單價X數(shù)量，即可得出卬

關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

【解答】解：（1）設(shè)購買一個甲種筆記本需要x元，購買一個乙種筆記本需要y元，

依題意，得：，5x+20y=250,

[x-y=5

解得：尸0.

Iy=5

答：購買一個甲種筆記本需要10元，購買一個乙種筆記本需要5元.

（2）設(shè)購買，"個甲種筆記本，則購買（35-〃?）個乙種筆記本，

依題意，得：(10-2)%+5X0.8(35-m)<250X90%,

解得：，“W21」，

4

又???，〃為正整數(shù)，

.'.m可取的最大值為21.

設(shè)購買兩種筆記本總費用為w元，則卬=（10-2）m+5X0.8（35-m）=4〃?+140,

"：k=4>0,

二卬隨，"的增大而增大，

當(dāng)〃?=21時，w取得最大值，最大值=4X21+140=224.

答：至多需要購買21個甲種筆記本，購買兩種筆記本總費用的最大值為224元.

21.先閱讀下面材科，再完成任務(wù)：

材料一：我們可以將任意三位數(shù)記為:羨，（其中心仄c分別表示該數(shù)的百位數(shù)字，十

位數(shù)字和個位數(shù)字，且aWO）.顯然芯=100a+106+c.

材料二：若一個三位數(shù)的百位數(shù)字，十位數(shù)字和個位數(shù)字均不為0,則稱之為原始數(shù)，比

如123就是一個原始數(shù)，將原始數(shù)的三個數(shù)位上的數(shù)字交換順序，可產(chǎn)生出5個新的原

始數(shù)，比如由123可以產(chǎn)生出132,213、231、312、321這5個新原始數(shù)，將這6個數(shù)

相加，得到的和1332稱為由原始數(shù)123生成的終止數(shù).

任務(wù)：

（1）分別求出由下列兩個原始數(shù)生成的終止數(shù)：248,659；

（2）若由一個原始數(shù)生成的終止數(shù)為1110,求滿足條件的所有原始數(shù).

【分析】（1）先寫出每個數(shù)產(chǎn)生的原始數(shù)，相加得到它們的終止數(shù).

（2）終止數(shù)為1110的原始數(shù)一定是個三位數(shù)，可根據(jù)各個原始數(shù)的和與終止數(shù)相等，

得到原始數(shù)各個數(shù)位的數(shù)字和，然后寫出滿足條件的所有原始數(shù).

【解答】解：（1）由248可以產(chǎn)生出284,428、482、842、824這5個新原始數(shù)，

將這6個數(shù)相加，得248+284+428+482+842+824=3108,

所以由原始數(shù)248生成的終止數(shù)為3108；

由659可以產(chǎn)生出695,569、596、965、956這5個新原始數(shù)，

將這6個數(shù)相加，得659+695+596+569+965+956=4440,

所以由原始數(shù)659生成的終止數(shù)為4440.

（2）若原始數(shù)為abc=1。0a+106+，，

可以產(chǎn)生出的5個新原始數(shù)，它們是100〃+10c+4100方+10〃+c,100h+10c、+〃，100c+10〃+4

100c+10h+af

將它們相加：

100“+106+C+100。+10c+b+100"1Oa+c?+1006+1Oc+a+100c+1Oa+b+100c+1Ob+a=222

(a+h+c),

因為終止數(shù)為1110,

所以222(a+b+c)=1110,

所以a+b+c—5.

所以滿足條件的原始數(shù)有：113,122,131,212,221,311.

22.如圖1,在等腰三角形A8C中，ZA=120°,AB=AC,點。、E分別在邊AB、AC上，

AO=AE,連接3E,點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點.

(1)觀察猜想.

圖1中，線段MW、NP的數(shù)量關(guān)系是NM=NP,NMNP的大小為60°.

(2)探究證明

把△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE,判斷△MNP

的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸

把△?!￡>￡繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若A￡>=1,AB=3,請求出△“可尸面積的最大值.

圖1圖2

【分析】(1)先證明由48=4C,AD=AE,得B/)=CE,再由三角形的中位線定理得MW

與NP的數(shù)量關(guān)系，由平行線性質(zhì)得NMNP的大小；

(2)先證明△ABO絲ZsACE得BO=CE,再由三角形的中位線定理得NM=NP,由平行

線性質(zhì)得NMNP=60°,再根據(jù)等邊三角形的判定定理得結(jié)論；

(3)由BOWAB+AD,得MNW2,再由等邊三角形的面積公式得△MNP的面積關(guān)于

的函數(shù)關(guān)系式，再由函數(shù)性質(zhì)求得最大值便可.

【解答】解：(1)'：AB=AC,AD=AE,

：.BD=CE,

：點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點，

:.MN=、BD,PN=LCE,MN//AB,PN//AC,

22

：.MN=PN,NENM=NEB