全國高考數(shù)學(xué)-函數(shù)概念及其性質(zhì)學(xué)案文

教材復(fù)習(xí)課“函數(shù)”有關(guān)基礎(chǔ)知識一課過函數(shù)的基本觀點[過雙基]1．函數(shù)與映照的觀點函數(shù)映照兩會合A，B設(shè)A，B是非空的數(shù)集設(shè)A，B是非空的會合假如依照某種確立的對應(yīng)關(guān)系f，使假如按某一個確立的對應(yīng)關(guān)系f，對應(yīng)關(guān)系f：對于會合A中的隨意一個數(shù)x，在集使對于會合A中的隨意一個元素→合B中都有獨一確立的數(shù)f()與之x，在會合B中都有獨一確立的元ABx對應(yīng)素y與之對應(yīng)名稱稱f：A→B為從會合A到會合B的稱對應(yīng)f：A→B為從會合A到集一個函數(shù)合B的一個映照記法y＝(x)，∈A對應(yīng)f：→fxAB2．函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的會合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．函數(shù)的三因素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．3．表示函數(shù)的常用方法列表法、圖象法和分析法．4．分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不一樣取值區(qū)間，有著不一樣的對應(yīng)關(guān)系，這類函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．[小題速通]1．若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()答案：B2．以下函數(shù)中，與函數(shù)y＝x同樣的函數(shù)是()x2323A．y＝xB．y＝(x)2C．y＝lg10xD．y＝2log2xx2分析：選CA．y＝x＝x(x≠0)與y＝x的定義域不一樣，故不是同樣的函數(shù)；323B．y＝(x)＝|x|與y＝x的對應(yīng)關(guān)系不同樣，故不是同樣的函數(shù)；C．y＝lg10x＝x與y＝x的定義域、值域與對應(yīng)關(guān)系均同樣，故是同樣的函數(shù)；D．y＝2log2x與y＝x的對應(yīng)關(guān)系不同樣，故不是同樣的函數(shù)．11logx，x>1，3．已知函數(shù)f(x)＝2則ff4＝()x2＋16，x≤1，A．－2B．4C．2D．－1因為函數(shù)f(x)＝log1分析：選A2x，x>1，x2＋16，x≤1，所以f114＝2＋16＝4，411則ff4＝f(4)＝log24＝－2.14．已知f2x－1＝2x－5，且f(a)＝6，則a等于()77A.4B．－4C.4D．－4331分析：選A令t＝2x－1，則x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，則4a－1＝6，7解得a＝4.[清易錯]1．解決函數(shù)有關(guān)問題時，易忽略“定義域優(yōu)先”的原則．2．易混“函數(shù)”與“映照”的觀點：函數(shù)是特別的映照，映照不必定是函數(shù)，從A到B的一個映照，A，B若不是數(shù)集，則這個映照便不是函數(shù)．1．(2018·合肥八中模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，則()A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)分析：選B因為f()＝2＋1，所以f(x－1)＝2－1.因為函數(shù)f(x)的定義域為[1,3]，xxx所以1≤x－1≤3，即2≤x≤4，故f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)．2．以下對應(yīng)關(guān)系：①＝{1,4,9}，＝{－3，－2，－1,1,2,3}，：→x的平方根；ABfxA＝R，B＝R，f：x→x的倒數(shù)；③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；④A＝{－1,0,1}

，B＝{－1,0,1}

，f：A中的數(shù)平方．此中是

A到

B的映照的是

(

)A．①③

B．②④C．③④

D．②③分析：選

C

由映照的觀點知①中會合

B中有兩個元素對應(yīng)，②中會合

A中的

0元素在會合

B中沒有對應(yīng)，③④是映照．應(yīng)選

C.函數(shù)定義域的求法[過雙基

]函數(shù)y＝f(x)的定義域[小題速通]1.函數(shù)f(x)＝1－|x－1|(a＞0且a≠1)的定義域為________．a(chǎn)x－11－|x－1|≥0，0≤x≤2，分析：由x??0＜x≤2，a－1≠0x≠0故所求函數(shù)的定義域為(0,2]．答案：(0,2]2．函數(shù)

y＝lg(1

－2x)＋

x＋3的定義域為

________．1－2x>0，分析：由題意可知

求解可得－3≤

x<0，x＋3≥0，所以函數(shù)

y＝lg(1

－2x)＋

x＋3的定義域為

[－3,0)

．答案：[－3,0)[清易錯

]1.求復(fù)合型函數(shù)的定義域時，易忽略其知足內(nèi)層函數(shù)存心義的條件.2.求抽象函數(shù)的定義域時，易忽略同一個對應(yīng)關(guān)系后的整體范圍.2x21．(2018·遼寧錦州模擬)已知函數(shù)f(x－3)＝lgx2－4，則f(x)的定義域為________．22t＋3t＋3t＋3分析：設(shè)t＝x－3(t≥－3)，則x＝t＋3，所以f(t)＝lgt＋3－4＝lgt－1，由t－1>0，得t>1或t<－3，因為t≥－3，所以t>1，即f(x)＝lg＋3的定義域為(1，＋∞)．x－1x答案：(1，＋∞)2．已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,2]，則函數(shù)g(x)＝f(2x)＋8－2x的定義域為________．分析：因為函數(shù)f(x)的定義域為[0,2]，所以對于函數(shù)f(2x)，0≤2x≤2，即0≤x≤1，又因為8－2x≥0，所以x≤3，所以函數(shù)g(x)＝f(2x)＋8－2x的定義域為[0,1]．答案：[0,1]函數(shù)的單一性與最值[過雙基]1．函數(shù)的單一性(1)單一函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：假如對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的隨意兩個自變量的值x1，x2定義當(dāng)x1212<x時，都有f(x)<f(x)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)圖象描繪

當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)自左向右看圖象是上漲的自左向右看圖象是降落的單一區(qū)間的定義假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單一性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單一區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，假如存在實數(shù)M知足條件(1)對于隨意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)對于隨意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈，使得f(x0)＝M(4)存在0∈，使得f(x0)＝MIxI結(jié)論

M為最大值

M為最小值[小題速通]1．(2018·珠海摸底)以下函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()A．y＝2－xB．y＝xC．y＝logx1x2分析：選B－x與y＝x的定義域為R，且只有y＝x在R上是增函數(shù)．由題知，只有y＝22．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單一減區(qū)間是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)分析：選Ax2－2x，x≥2，因為f(x)＝|x－2|x＝x，x<2.－x2＋2作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，則聯(lián)合圖象可知函數(shù)的單一減區(qū)間是[1,2]．3．(2018·長春質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f()＝|x＋|在(－∞，－1)上是單一函數(shù)，則axa的取值范圍是()A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)分析：選A因為函數(shù)f(x)在(－∞，－a)上是單一函數(shù)，所以－a≥－1，解得a≤1.114．若函數(shù)f(x)＝x－1在區(qū)間[a，b]上的最大值是1，最小值是3，則a＋b＝________.分析：易知f()在[，]上為減函數(shù)，xabfa＝1，1a－1＝1，a＝2，∴1即1∴∴a＋b＝6.fb＝，1b＝4.3b－1＝3，答案：615．函數(shù)f(x)＝x，x≥1，的最大值為________．－x2＋2，x<11分析：當(dāng)x≥1時，函數(shù)f(x)＝x為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處獲得最大值，為f(1)＝1；當(dāng)x<1時，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處獲得最大值，為f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案：2[清易錯]1．易混雜兩個觀點：“函數(shù)的單一區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單一”，前者指函數(shù)具備單一性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集．2．若函數(shù)在兩個不一樣的區(qū)間上單一性同樣，則這兩個區(qū)間要分開寫，不可以寫成并集．例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù)，但在(－1,0)∪(0,1)上卻不必定是減函數(shù)，如函數(shù)1f(x)＝.xx1．函數(shù)f(x)＝1－x在()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函數(shù)B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是減函數(shù)C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是減函數(shù)x11分析：選C函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1}．f(x)＝1－x＝1－x－1，依據(jù)函數(shù)y＝－x的單一性及有關(guān)性質(zhì)，可知f()在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)．x2．設(shè)定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如下圖，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為________．答案：[－1,1]

，[5,7]函數(shù)的奇偶性[過雙基

]1．定義及圖象特色奇偶性

定義

圖象特色假如對于函數(shù)

f(x)的定義域內(nèi)隨意一偶函數(shù)

個x，都有

f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)

f(x)

對于

y軸對稱是偶函數(shù)假如對于函數(shù)

f(x)的定義域內(nèi)隨意一奇函數(shù)

個x，都有

f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)

對于原點對稱f(x)是奇函數(shù)2．函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論(1)假如一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)存心義，那么必定有f(0)＝0.(2)假如函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種種類，即f(x)＝0，∈，此中定義域D是xD對于原點對稱的非空數(shù)集．奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上擁有同樣的單一性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上擁有相反的單一性．[小題速通]1．以下函數(shù)中的偶函數(shù)是()A．y＝2x1B．y＝xsinx－x2xxD．y＝x2＋sinxC．y＝ecos分析：選B因為f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故選B.2．定義在R上的奇函數(shù)f(x)知足fx(x－2)＝f(x＋2)，且當(dāng)x∈[－2,0]時，f(x)＝3－1，則f(9)＝()A．－2B．222C．－3D.3分析：選D因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝－f(－x)＝－3－x＋1；設(shè)x－2＝t，則x＝t＋2，則f(x－2)＝f(x＋2)可化為f(t)＝f(t＋4)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(9)＝f(1)2＝3.3．(2018·綿陽診療)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單一遞加，則知足f(2x－11)<f3的x的取值范圍是()A.12B.123，，3331212C.2，3D.2，3分析：選A∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)，1112f(|2x－1|)<f3，再依據(jù)f(x)的單一性，得|2x－1|<3，解得3<x<3，應(yīng)選A.4．若函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，函數(shù)A．函數(shù)f(x)－g(x)是奇函數(shù)

g(x)(

x∈R)是偶函數(shù)，則

(

)B．函數(shù)f(x)·g(x)是奇函數(shù)C．函數(shù)f[g(x)]是奇函數(shù)D．函數(shù)g[f(x)]是奇函數(shù)分析：選B因為函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)(x∈R)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，故f(x)·g(x)是奇函數(shù)．[清易錯]1．判斷函數(shù)的奇偶性，易忽略判斷函數(shù)定義域能否對于原點對稱．定義域?qū)τ谠c對稱是函數(shù)擁有奇偶性的一個必需條件．2．判斷分段函數(shù)奇偶性時，誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否認(rèn)函數(shù)在整個定義域上的奇偶性．1．已知函數(shù)f(x)＝x2－m2上的奇函數(shù)，則()是定義在區(qū)間[－3－m，m－m]A．f(m)<f(1)B．f(m)>f(1)C．()＝f(1)D．()與f(1)大小不可以確立fmfm分析：選A2由題意可知－3－m＋m－m＝0，所以m＝3或m＝－1，又因為函數(shù)f()＝2－m是定義在區(qū)間[－3－，2－]上的奇函數(shù)，xxmmm所以2－m是奇數(shù)，且2－m>0，所以m＝－1，則f(x)＝x3，定義域為[－2,2]且在[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(m)<f(1)．log2x，x>0，2．函數(shù)f(x)＝的奇偶性為________．log2－x，x<0分析：∵x≠0，故f(x)的定義域?qū)τ谠c對稱．當(dāng)x>0時，－x<0，f(－x)＝log2x＝f(x)．當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝log2(－x)＝f(x)．故f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．答案：偶函數(shù)函數(shù)的周期性[過雙基]1．周期函數(shù)對于函數(shù)y＝(x)，假如存在一個非零常數(shù)，使適當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有fTf(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．2．最小正周期假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期．3．重要結(jié)論周期函數(shù)的定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的x是恒建立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|.11若在定義域內(nèi)知足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝fx，f(x＋a)＝－fx(a>0)．則f(x)為周期函數(shù)，且T＝2a為它的一個周期．4．對稱性與周期的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)的圖象對于直線x＝a和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期．(2)若函數(shù)f(x)的圖象對于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期．(3)若函數(shù)f(x)的圖象對于點(a,0)和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個周期．[小題速通]sinxπ，x>0，1．已知函數(shù)f(x)＝4x＋2，x≤0，A．02B.2C．1D.2由f(x)＝sinx分析：選B4π，x>0，fx＋2，x≤0，

則f(－5)的值為()可得f(－5)＝f(1)＝sinπ24＝2.2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)知足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(31)＝()A．0B．1C．－1D．2分析：選C由f(－x)＝－f(x)可得函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－(x－1)．令x－1＝t，則x＝t＋1，所以f(t＋2)＝－f(t)，則f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，即函數(shù)f(x)的最小正周期為4.又因為當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(31)＝f(31－4×8)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.3．(2018·晉中模擬)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，f(1)＝2，且對隨意x∈R都有f(x＋＝f(x)＋f(3)建立，則f(2017)＝________.分析：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又對隨意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴當(dāng)x＝－3時，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期為6.故f(2017)＝f(1)＝2.答案：2[清易錯]在利用周期性定義求解問題時，易忽略定義式fx＋T＝fxT≠0的使用而致誤.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，而且f(x＋2)＝－f1，當(dāng)2≤x≤3時，f(x)x＝x，則f(105.5)＝________.分析：由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f1＝－1＝f(x)．x＋21－fx故函數(shù)f(x)的周期為4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．2≤2.5≤3，∴f(2.5)＝2.5.f(105.5)＝2.5.答案：2.5一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝lg(x－1)－4－的定義域為()xA．(－∞，4]B．(1,2)∪(2,4]C．(1,4]D．(2,4]x－1>0，分析：選C由題意可得解得1<x≤4，所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,4]．4－x≥0，2．(2017·唐山期末)已知f(x)＝＋1－1，()＝2，則f(－)＝()xxfaaA．－4B．－2C．－1D．－31分析：選A∵f(a)＝a＋a－1＝2，1∴a＋a＝3.11f(－a)＝－a－a－1＝－a＋a－1＝－3－1＝－4.x，x≥0，3．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a的值為()x，x<0，A．－3B．±3C．－1D．±1分析：選D當(dāng)≥0時，f(a)＝a，由已知得a＋1＝2，得a＝1；當(dāng)a<0時，f()aa＝－a，由已知得－a＋1＝2，得a＝－1，綜上，a＝±1.應(yīng)選D.4．以下幾個命題正確的個數(shù)是()(1)若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一個正根，一個負(fù)根，則a<0；函數(shù)y＝x2－1＋1－x2是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；函數(shù)f(x＋1)的定義域是[－1,3]，則f(x2)的定義域是[0,2]；若曲線y＝|3－x2|和直線y＝a(a∈R)的公共點個數(shù)是m，則m的值不行能是1.A．1B．2C．3D．4分析：選B(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知，(1)正確；函數(shù)y＝x2－1＋1－x2的定義域為{－1,1}，值域為{0}，明顯該函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，(2)錯誤；(3)函數(shù)f(x＋1)的定義域是[－1,3]，所以0≤x＋1≤4，則函數(shù)f(x)的定義域是[0,4]，222，(3)錯誤；對于函數(shù)f(x)可得0≤x≤4，則－2≤x≤2，即f(x)的定義域是[－2,2]由二次函數(shù)的圖象，易知曲線y＝|3－x2|和直線y＝a(a∈R)的公共點個數(shù)可能是0,2,3,4，(4)正確．應(yīng)選B.5．假如二次函數(shù)f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在區(qū)間(－∞，1)上是減函數(shù)，則()A．a(chǎn)＝－2B．a(chǎn)＝2C．≤－2D．≥2aa分析：選C函數(shù)f(x)的對稱軸方程為a－1x＝－，3a－1由題意知－3≥1，即a≤－2.6．(2018·天津模擬)若函數(shù)f(x)知足“對隨意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時，都有f(x)>f(x)”，則f(x)的分析式能夠是()12A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝ex1C．f(x)＝x

D．f(x)＝ln(

x＋1)分析：選

C

依據(jù)條件知，

f(x)在(0，＋∞)上單一遞減．對于對于

A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上單一遞加，清除xB，f(x)＝e在(0，＋∞)上單一遞加，清除B；

A；1對于

C，f(x)＝x在(0，＋∞)上單一遞減，

C正確；對于

D，()＝ln(

＋1)在(0，＋∞)上單一遞加，清除

D.7．已知函數(shù)

1f(x)＝log3(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上單一遞減，則實數(shù)

a的取值范圍是(

)A．(－∞，2]

B．[2，＋∞)1

1C.－2，2

D.－2，2分析：選

D

令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知

y＝log

1

t

在其定義域上單一遞減，要使

f(x)3＝log

13(x2－ax＋3a)在[1

，＋∞)上單一遞減，則

t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上單一－aa≤2，2－2≤1，所以11遞加，且t＝g(x)＝x－ax＋3a>0，即即－<a≤2.g1>0，a>－，22x2＋＋12，若f(a)＝3，則f(－a)＝()8．(2018·長春調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋122A.B．－3344C.3D．－3分析：選Cf(x)＝x2＋x＋1＝1＋2x，而h(x)＝2x2＋1是奇函數(shù)，故f(－a)＝1＋h(－x＋1xx＋124a)＝1－h(huán)(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，應(yīng)選C.二、填空題3(2－x)＋1(a，b∈R)，若f(lg(log3＝5，則f(lg(lg9．f(x)＝asinx－blogx＋110))3))＝________.分析：令g(x)＝asinx－blog(2，xx3因為g(－x)＝－asinx－blog3(x2＋1＋x)＝－asinx－blog31x2＋1－x＝－asin32x＋blog(x＋1－x)＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，因為lg(log31＋lg(lg3)＝0，即10)＋lg(lg3)＝lglg3lg(log10)與lg(lg3)互為相反數(shù)，f(lg(lg3))＝(lg(lg3))＋1＝－(lg(log10))＋133＝－[f(lg(log310))－1]＋1＝－3.答案：－310．設(shè)a為實常數(shù)，＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＝9＋a2＋7，若yxxf(x)≥a＋1對全部x≥0建立，則a的取值范圍為________．分析：因為y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時，f(0)＝0，則0≥a＋1，a2a2所以a≤－1，又設(shè)x>0，則－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝－9－x＋－x＋7＝9x＋x－＋a2·a27.由基本不等式得9－7≥29x－7＝－6－7，由f(x)≥＋1對全部x≥0建立，xxxaa88只要－6a－7≥a＋1，即a≤－7，聯(lián)合a≤－1，所求a的取值范圍是－∞，－7.答案：－∞，－8711．設(shè)f(x)＝3＋log2(x＋2＋1)，則對隨意實數(shù)，，a＋≥0是f(a)＋f()≥0xxabbb的________條件(填“充分不用要，必需不充分，充要，既不充分也不用要)．分析：因為f(－x)＝－x3＋log2(－x＋x2＋1)＝－x3＋log21＝－x3－log2(xx＋x2＋1＋x2＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，易知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，因為a＋b≥0，所以a≥－b，所以f(a)≥f(－b)＝－f(b)，即f(a)＋f(b)≥0，反之亦建立，所以，對隨意實數(shù)a，，a＋≥0是f(a)＋()≥0的充要條件．bbfb答案：充要12．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時知足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(xx135＋2)；③當(dāng)0≤x<1時，f(x)＝2－1，則f2＋f(1)＋f2＋f(2)＋f2＝________.分析：依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，則f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f1＋f(1)＋f3＋f(2)＋f5222111＝f2＋0＋f－2＋f(0)＋f2111＝f2－f2＋f(0)＋f2＝f1＋f(0)2122－1＋20－12－1.答案：2－1三、解答題ax＋b，x<0，13．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x，x≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．求f(x)的分析式；畫出f(x)的圖象．解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得－2a＋b＝3，解得a＝－1，b＝1，a＋b＝2，x＋1，x<0，所以f(x)＝2x，x≥0.f(x)的圖象如下圖：14．設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x.求f(π)的值；當(dāng)－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．從而可知函數(shù)y＝f(x)的圖象對于直線x＝1對稱．又當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象對于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示．設(shè)當(dāng)－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，1則S＝4S△OAB＝4×2×2×1＝4.高考研究課一函數(shù)的定義域、分析式及分段函數(shù)[全國卷5年命題剖析]考點考察頻度考察角度函數(shù)的觀點5年1考函數(shù)定義問題分段函數(shù)5年4考分段函數(shù)求值及不等式恒建立問題函數(shù)的定義域問題lgx＋1的定義域是()[典例](1)(2018·長沙模擬)函數(shù)y＝x－2A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1,2)∪(2，＋∞)D．[－1,2)∪(2，＋∞)(2)若函數(shù)f(x)＝2x2+2ax-a－1的定義域為R，則a的取值范圍為________．[分析](1)由題意知，要使函數(shù)存心義，需x－2≠0，即－1<x<2或x>2，所以函x＋1>0，數(shù)的定義域為(－1,2)∪(2，＋∞)．應(yīng)選C.(2)因為函數(shù)f(x)的定義域為R，所以2x2＋2ax－a－1≥0對x∈R恒建立，即2x2＋2ax－≥1，2＋2－≥0恒建立，所以有＝(2a)2＋4≤0，解得－1≤≤0.axaxaaa[答案](1)C(2)[－1,0][方法技巧]函數(shù)定義域問題的3種?？挤N類及求解策略已知函數(shù)的分析式：建立使分析式存心義的不等式(組)求解．抽象函數(shù)：①若已知函數(shù)f()的定義域為[a，]，則復(fù)合函數(shù)f(())的定義域由a≤(x)≤b求xbgxg出．②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．實質(zhì)問題：既要使建立的函數(shù)分析式存心義，又要考慮實質(zhì)問題的要求．[即時操練]1．函數(shù)f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6的定義域為()x－3A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6]4－|x|≥0，分析：選C由題意得x2－5＋6解得2<x<3或3<x≤4，所以函數(shù)的定義域為>0，x－3(2,3)∪(3,4]．2．已知函數(shù)f(2－x)＝4－x2，則函數(shù)f(x)的定義域為()A．[0，＋∞)B．[0,16]C．[0,4]D．[0,2]分析：選B由4－x2≥0可得－2≤x≤2，令2－x＝t，則0≤t≤4，函數(shù)f(2－x)＝4－x2可化為函數(shù)即函數(shù)f(

f(t)＝4－x)的定義域為

2－t[0,16]

2，0≤t≤4，所以函數(shù)．

f(

x)知足

0≤

x≤4，則

0≤x≤16，函數(shù)分析式的求法函數(shù)的分析式是函數(shù)的基礎(chǔ)知識，高考取重視對待定系數(shù)法、換元法、利用函數(shù)性質(zhì)求分析式的考察.題目難度不大，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).[典例](1)如圖，修筑一條公路需要一段環(huán)湖曲折路段與兩條直道光滑連結(jié)(相切)．已知環(huán)湖曲折路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的分析式為

(

)A．y＝12x3－21x2－xB．y＝21x3＋21x2－3x131312C．y＝4x－xD．y＝4x＋2x－2x定義在R上的函數(shù)f(x)知足f(x＋1)＝2f(x)．若當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝________.13(3)(2018·合肥模擬)已知f(x)的定義域為{x|x≠0}，知足3f(x)＋5fx＝x＋1，則函數(shù)f(x)的分析式為________．[分析](1)用“待定系數(shù)法”解題設(shè)所求函數(shù)分析式為f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，1f0＝＝0，a＝2，df2＝8a＋4b＋2c＋d＝0，1由題意知解得b＝－，f′0＝c＝－1，2f′2＝12a＋4b＋c＝3，c＝－1，d＝0，12f(x)＝2x－2x－x.(2)用“代入法”解題∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，111∴f(x)＝2f(x＋1)＝2(x＋1)[1

－(x＋1)]

111＝－2x(x＋1)＝－2x2－2x.(3)用“函數(shù)方程法”解題1

13令x取代

3f(x)＋5f

x＝x＋1中的

x，1得3fx＋5f(x)＝3x＋1，3fx＋5f13x＝x＋1，①∴13fx＋5fx＝3x＋1，②①×3－②×5得f(x)＝15x－9x＋1.16168121[答案](1)A(2)－2x－2x1591f(x)＝16x－16x＋8[方法技巧]求函數(shù)分析式的常有方法若已知函數(shù)的種類(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，依據(jù)函數(shù)種類設(shè)出函數(shù)分析式，待定系數(shù)法依據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可換元法已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)時，常常可設(shè)h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進(jìn)行換元，求出f(t)的分析式，再將t替代為x即可結(jié)構(gòu)法已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的問題，常常把右側(cè)的g(x)整理結(jié)構(gòu)成只含h(x)的式子，用x將h(x)替代函數(shù)方程法已知f(x)知足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其余未知量，如1f(－x)，fx，則可依據(jù)已知等式再結(jié)構(gòu)其余等式構(gòu)成方程組，經(jīng)過解方程組求出f(x)[即時操練]1x1．假如fx＝1－x，則當(dāng)x≠0且x≠1時，f(x)等于()11A.xB.x－111C.1－xD.x－111分析：選B令x＝t，得x＝t(t≠1)，1t＝1，∴f(x)＝1.∴f(t)＝t－1x－111－t2．已知f(x)是一次函數(shù)，且知足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________.分析：設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x17無論x為什么值都建立，a＝2，

a＝2，∴

解得

∴f(x)＝2x＋7.5a＋b＝17，

b＝7，答案：2x＋7分段函數(shù)分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考的命題熱門，

多以選擇題或填空題的形式體現(xiàn)，

試題難度不大，多為低檔題或中檔題.常有的命題角度有：分段函數(shù)求值問題；求參數(shù)值或自變量的取值范圍；研究分段函數(shù)的性質(zhì).角度一：分段函數(shù)求值問題log2x＋1，x≥1，1．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，x<1，則f[f(ln2)]＝________.分析：由題意知，f(ln2)＝eln2－1＝1，所以f[f(ln2)]＝log22＝1.答案：1角度二：求參數(shù)或自變量的取值范圍21－x，x≤1，2．設(shè)函數(shù)f(x)＝2則知足f(x)≤2的x的取值范圍是________．log2x，x>1，1－x，x≤1，2x≤1，分析：因為f(x)＝2所以f(x)≤2等價于1－x或log2，x>1，2≤2xx>1，x≤1，x>1，即0≤x≤1或x>1，則知足f(x)≤2的x的2即或2log2x≤2，1－x≤1x≤4，取值范圍是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)3．(2018·廈門模擬)已知函數(shù)f(x)＝1－2ax＋3a，x<1，的值域為R，則實數(shù)2x－1，x≥1a的取值范圍是________．分析：當(dāng)x≥1時，f(x)＝2x－1≥1，∵函數(shù)f(x)＝1－2ax＋3a，x<1，的值域為R，2x－1，x≥11－2>0，∴當(dāng)x<1時，(1－2a)x＋3a一定取遍(－∞，1)內(nèi)的全部實數(shù)，則a1－2a＋3a≥1，1解得0≤a<2.答案：0，12角度三：研究分段函數(shù)的性質(zhì)x2＋1，x>0，則以下結(jié)論正確的選項是()4．已知函數(shù)f(x)＝cosx，x≤0，A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是增函數(shù)C．f(x)是周期函數(shù)D．f(x)的值域為[－1，＋∞)分析：選D因為f(π)＝π2＋1，(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函數(shù)f(x)f不是偶函數(shù)，清除A；因為函數(shù)f(x)在(－2π，－π)上單一遞減，清除B；函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單一遞加，所以函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)，清除C；因為x＞0時，f(x)＞1，x≤0時，－1≤f(x)≤1，所以函數(shù)f(x)的值域為[－1，＋∞)，應(yīng)選D.2－x－1，x≤0，若方程f(x)＝x＋a5．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝fx－1，x>0，有兩個不一樣實根，則

a的取值范圍為

(

)A．(－∞，1)

B．(－∞，

1]C．(0,1)

D．(－∞，＋∞)分析：選A當(dāng)x≤0時，f(x)＝2－x－1，當(dāng)0<x≤1時，－1<x－1≤0，(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.故x>0時，f(x)是周期函數(shù)，如下圖．若方程f(x)＝x＋a有兩個不一樣的實數(shù)根，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個不同交點，故a<1，即a的取值范圍是(－∞，1)．[方法技巧]分段函數(shù)問題的3種種類及求解策略依據(jù)分段函數(shù)分析式求函數(shù)值第一確立自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的分析式代入求解．已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍應(yīng)依據(jù)每一段的分析式分別求解，但要注意查驗所求自變量的值或范圍能否切合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．研究分段函數(shù)的性質(zhì)可依據(jù)分段函數(shù)逐段研究其性質(zhì)，也可依據(jù)選項利用特別值法作出判斷．1．(2016·全國卷Ⅱ)以下函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域同樣的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1xlgx分析：選D函數(shù)y＝10的定義域與值域均為(0，＋∞)．函數(shù)y＝lgx的定義域為(0，＋∞)，值域為(－∞，＋∞)．x1函數(shù)y＝的定義域與值域均為(0，＋∞)．應(yīng)選D.x1＋log2

2－x

，x<1，2．(2015·全國卷Ⅱ

)設(shè)函數(shù)

f(x)＝

2x－1，x≥1，

則f(－2)＋f(log

212)＝(

)A．3

B．6

C．9

D．12分析：選C∵－2<1，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log212＝6.2∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.x－1－2，x≤1，3．(2015·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2－log2x＋1且f(a)＝－3，則f(6，x>1，－a)＝()75A．－4B．－431C．－4D．－4分析：選A因為f(a)＝－3，①若a≤1，則2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.因為2x>0，所以2a－1＝－1無解；②若a>1，則－log2(a＋1)＝－3，解得a＋1＝8，a＝7，所以f(6－a)＝f(－－1－171)＝2－2＝－4.7綜上所述，f(6－a)＝－4.－x2＋2，≤0，4．(2013·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝xx若|f(x)|≥，則a的lnx＋1，x＞0.ax取值范圍是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]分析：選D當(dāng)x≤0時，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化簡為x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因為x≤0，所以a＋2≥x恒建立，所以a≥－2；當(dāng)x＞0時，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化簡為ln(x＋1)＞ax恒建立，由函數(shù)圖象可知a≤0，綜上，當(dāng)－2≤≤0時，不等式|f(x)|≥ax恒建立，應(yīng)選D.a一、選擇題1．(2018·廣東模擬)設(shè)函數(shù)f(x)知足f1－x＝1＋x，則f(x)的表達(dá)式為()1＋xA.2B.21＋x1＋x21－x21－xC.1＋x2D.1＋x1－x1－t1－x1－t2分析：選A令1＋x＝t，則x＝1＋t，代入f1＋x＝1＋x，得f(t)＝1＋1＋t＝1＋t，2即f(x)＝1＋x，應(yīng)選A.2．函數(shù)f(x)＝1的定義域是()2xln＋111∪(0，＋∞)A.－，＋∞B.－，0221C.－2，＋∞D(zhuǎn)．[0，＋∞)2x＋1>0，1分析：選B由題意，得2x＋1≠1，解得－2<x<0或x>0.3．(2018·福建調(diào)研)設(shè)函數(shù)f：R→R知足f(0)＝1，且對隨意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，則f(2017)＝()A．0B．1C．2017D．2018分析：選D令x＝y(tǒng)＝0，則f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y＝0，則f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，將f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2017)＝2018.4．若f(x)對于隨意實數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則f(1)＝()A．2B．0C．1D．－1分析：選A令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①令x＝－1，得2(－1)－(1)＝－2，②ff聯(lián)立①②得f(1)＝2.5．若二次函數(shù)g(x)知足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的分析式為()A．(x)＝22－3xB．()＝32－2gxgxxxC．g(x)＝3x2＋2xD．g(x)＝－3x2－2x分析：選B設(shè)g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，a＋b＋c＝1，a＝3，∴a－＋c＝5，＝－2，b解得bc＝0，c＝0，g(x)＝3x2－2x.2x，x≤0，6．(2018·青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝則使f(x)＝2的x的會合是|log2x|，x>0，()A.1，4B.{1，4}4C.1，1D.1，1，444x|log2x|＝2，12＝2，分析：選A由題意可知，f(x)＝2，即x≤0或x>0，解得x＝4或4，應(yīng)選A.f2的7．(2018·萊蕪模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為[3,6]，則函數(shù)y＝12－xlog2定義域為()33A.，＋∞B.，22231C.2，＋∞D(zhuǎn).2，23≤2≤6，x21分析：選B存心義，需知足log2－x>0，要使函數(shù)y＝12－x2log2－x>023≤x≤3，23?2－x<1，?2≤x<2.應(yīng)選B.2－x>0sinπx2，－1<x<0，8．(2018·武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x－1知足f(1)＋f(a)＝2，e，x≥0則a的全部可能取值為()22A．1或－2B．－22C．1D．1或2分析：選A1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2，∵f(1)＝ef(a)＝1，當(dāng)－1<a<0時，f(a)＝sin(πa2)＝1，0<a2<1，∴0<πa2<π，2π2∴πa＝2?a＝－2；當(dāng)a≥0時，f(a)＝ea－1＝1?a＝1.2故a＝－

2

或

1.二、填空題9．已知函數(shù)

y＝f(x2－1)的定義域為

[－

3，

3]，則函數(shù)

y＝f(x)的定義域為

________．分析：∵y＝f(x2－1)的定義域為[－3，3]，x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，y＝f(x)的定義域為[－1,2]．答案：[－1,2]10．已知函數(shù)y＝lg(kx2＋4x＋k＋3)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍是________．分析：∵函數(shù)y＝lg(kx2＋4x＋k＋3)的定義域為R，∴kx2＋4x＋k＋3>0對隨意實數(shù)x恒建立，3若k＝0，不等式化為4x＋3>0，即x>－4，不合題意；>0，若k≠0，則解得k>1.16－4kk＋3<0，∴實數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)111．擁有性質(zhì)：fx＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為知足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．以下函數(shù)：x，0<<1，x110，x＝1，①f(x)＝x－x；②f(x)＝x＋x；③f(x)＝1－x，x>1.此中知足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是________．(填序號)111分析：對于①，f(x)＝x－x，fx＝x－x＝－f(x)，知足題意；對于②，f對于③，f1即fx＝答案：①③

11＝x＋x＝f(x)≠－f(x)，不知足題意；11x，0<x<1，11x＝0，x＝1，1－x，x>1，1x，x>1，故f10，＝，x＝－f(x)，知足題意．x1x，0<x<1.x3－3，≤，12．(2016·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝－2x，x>a.①若＝0，則f(x)的最大值為________；a②若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是________．分析：當(dāng)x≤a時，由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.如圖是函數(shù)y＝x3－3x與y＝－2x在沒有限制條件時的圖象．①若a＝0，則f(x)max＝f(－1)＝2.②當(dāng)a≥－1時，f(x)有最大值；當(dāng)a<－1時，＝－2x在>時無最大值，且－2a>(x3－3)max，所以a<－1.yxax答案：①2②(－∞，－1)三、解答題13．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝

x－1，x>0，2－x，x<0.求f(g(2))與g(f(2))；求f(g(x))與g(f(x))的表達(dá)式．解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，所以f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.當(dāng)x>0時，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；當(dāng)x<0時，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.x2－2x，x>0，所以f(g(x))＝x2－4x＋3，x<0.當(dāng)x>1或x<－1時，f(x)>0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；當(dāng)－1<x<1時，f(x)<0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.x2－2，x>1或x<－1，所以g(f(x))＝3－x2，－1<x<1.14．水庫的儲水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，以年初為起點，依據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的儲水量(單位：億立方米)對于t的近似函數(shù)關(guān)系式為：12＋15t－51t＋50，0<t≤9，v(t)＝240－te4t－93t－41＋50，9<t≤12.該水庫的儲水量小于50的時期稱為枯水期，問：一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？求一年內(nèi)該水庫的最大儲水量．(取21的值為4.6計算，e3的值為20計算)解：(1)當(dāng)0<≤9時，v()＝1(－t2＋15t－51)et＋50<50，即t2－15t＋51>0.tt24015＋2115－21解得t>或t<2，215－21≈5.2.從而0<<2當(dāng)9<t≤12時，v(t)＝4(t－9)(3t－41)＋50<50，即(t－9)(3t－41)<0，解得9<t<41，所以9<t≤12.3綜上，0<t<5.2或9<t≤12，故枯水期分別為：1月，2月，3月，4月，5月，10月，11月，12月．(2)由(1)知，水庫的最大蓄水量只好在6～9月份．v′(t)＝1(－t2＋13t－36)et＝－1et(t－4)(t－9)，240240令v′(t)＝0，解得t＝9或t＝4(舍去)，又當(dāng)t∈(6,9)時，v′(t)>0，v(t)單一遞加；當(dāng)t∈(9,10)時，v′(t)<0，v(t)單一遞減．19所以當(dāng)t＝9時，v(t)的最大值v(9)＝×3×e＋50＝150(億立方米)，故一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是150億立方米．2x－1，0≤x≤1，1．已知函數(shù)f(x)＝x－1在定義域[0，＋∞)上單一遞加，且對于任f＋m，x>1意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一個實數(shù)解，則函數(shù)n*g(x)＝f(x)－x在區(qū)間[0,2](n∈N)上的全部零點的和為()A.nn＋1B．22n－1＋2n－12n2C.1＋2D．2n－12分析：選B因為函數(shù)f(x)＝2x－1，0≤x≤1，在定義域[0，＋∞)上單一遞加，fx－1＋m，x>1所以m≥1.又因為對于隨意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一個實數(shù)解，且函數(shù)f(x)＝2x－1，0≤x≤1，在定義域[0，＋∞)上單一遞加，且圖象連續(xù)，所以m＝1.fx－1＋m，x>1如下圖，函數(shù)g(x)＝f(x)－x在區(qū)間n∈N*)上的全部零點分別為n[0,2](0,1,2,3，，2，n2n1＋2n2n－1n－1所以全部的零點的和等于2＝2＋2.x－[x]，x≥0，此中[x]表示不超出x的最大整數(shù)，如[－1.5]2．設(shè)函數(shù)f(x)＝，x<0，fx＋1＝－2，[2.5]＝2，若直線y＝k(x－1)(k<0)與函數(shù)y＝f(x)的圖象只有三個不一樣的交點，則k的取值范圍為()1111A.－2，－3B.－2，－3C.－1，－1D.－1，－122x－[x]，x≥0，分析：選C作出函數(shù)f(x)＝x＋1的圖象如下圖．f，x<0因為直線y＝k(x－1)(k<0)與函數(shù)y＝f(x)的圖象只有三個不一樣的交點，k0－1<1，1所以k－1－1≥1，解得－1<k≤－2.高考研究課二函數(shù)的單一性、奇偶性及周期性[全國卷

5年命題剖析

]考點函數(shù)的單一性函數(shù)的奇偶性

考察頻度考察角度5年3考利用單一性解不等式、比較大小、求最值5年6考奇偶性的判斷及應(yīng)用求值函數(shù)的周期性

未考察函數(shù)的單一性高考對函數(shù)單一性的考察多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也應(yīng)用于解答題中的某一問中.,常有的命題角度有：確立函數(shù)的單一性；求函數(shù)的值域或最值；比較兩個函數(shù)值；解函數(shù)不等式；利用單一性求參數(shù)的取值范圍.角度一：確立函數(shù)的單一性1．(2018·昆明調(diào)研)以下函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單一遞減的是()1A．y＝x－x

B．y＝x2－xC．y＝ln

x－x

D．y＝ex－x分析：選

A

對于選項

1A，y＝x在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，

y＝x在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，1則y＝x－x在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)；B、C選項中的函數(shù)在(0，＋∞)內(nèi)的單一性不確立；x在(0，＋∞)內(nèi)恒建立，故x－x在(0，＋∞)上單一遞加，故對于選項D，y′＝e－1>0y＝e選A.2．以下函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()x2A．y＝2B．y＝(x－1)C．y＝2－xD．y＝log0.5xx2分析：選Ay＝2在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，A項切合題意；y＝(x－1)在(0,1)上為減函數(shù)，y＝2－x，y＝log0.5x在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，故B、C、D選項都不切合題意．a(chǎn)x3．(2018·廣東佛山聯(lián)考)議論函數(shù)f(x)＝x2－1(a>0)在(－1,1)上的單一性．解：法一：(定義法)設(shè)－1<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝ax1－ax222x1－1x2－122＝ax1x2－ax1－ax2x1＋ax2x221－1x2－1＝ax2－x1x1x2＋1.22－1x1－1x2∵－1<x1<x2<1，2x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x2－1)>0.又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，故函數(shù)f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)．法二：(導(dǎo)數(shù)法)ax′x2－1－axx2－1′f′(x)＝x2－12ax2－1－2ax2a－x2－1ax2＋12.＝x2－12＝x2－12＝－x2－1a>0，x∈(－1,1)，∴f′(x)<0.∴f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．[方法技巧]確立函數(shù)單一性的常用方法定義法先確立定義域，再依據(jù)取值、作差、變形、定號的次序得結(jié)論若函數(shù)是以圖象形式給出的，或許函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、圖象法降寫出它的單一性導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo)，再確立導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單一性[提示]復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的單一性能夠利用口訣——“同增異減”來判斷，即內(nèi)外函數(shù)的單一性同樣時，為增函數(shù)；單一性不一樣時為減函數(shù)．角度二：求函數(shù)的值域或最值4．函數(shù)y＝22＋2的值域為()xx1B．[2，＋∞)，＋∞A.21C.0，2D．(0,2]分析：選A因為x2＋2x≥－1，且y＝2t是增函數(shù)，1所以y＝2x＋2x≥2，21所以函數(shù)y＝2x＋2x的值域是2，＋∞.x5．(2016·北京高考)函數(shù)f(x)＝x－1(x≥2)的最大值為________．分析：f′(x)＝x－1－x12，x－12＝－1x－當(dāng)x≥2時，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是減函數(shù)，故f(x)22－1max2.答案：2[方法技巧]利用單一性求函數(shù)的最值的重點是正確判斷其單一性，而判斷方法常用定義法及導(dǎo)數(shù)法．角度三：比較兩個函數(shù)值6．(2017·天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf()．若＝(－xag2，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()log5.1)A．a(chǎn)<b<cB．c<b<aC．<<D．<<abacbc分析：選C由f(x)為奇函數(shù)，知g(x)＝xf(x)為偶函數(shù)．因為f(x)在R上單一遞加，f(0)＝0，所以當(dāng)x>0時，f(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單一遞加，且g(x)>0.又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，084<log5.1<log8＝3，2．<2＝log222所以b<a<c.7．(2018·哈爾濱聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象對于直線1f(x1)](x2－x1)<0恒建立，設(shè)a＝f－2，b＝f(2)，c＝f(e)A．c>a>bB．c>b>aC．>>bD．>>acbac分析：選D由f(x)的圖象對于直線x＝1對稱，可得f

x＝1對稱，當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)，則a，b，c的大小關(guān)系為()－1＝f521222.由x>x>1時，[f(x)－(x1)]·(2－1)<0恒建立，知f(x)在(1，＋∞)上單一遞減．fxx5f(2)>f5>(e)，∵1<2<<e，∴22fb>a>c.[方法技巧]比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)變到同一個單一區(qū)間內(nèi)，而后利用函數(shù)的單一性解決．角度四：解函數(shù)不等式8．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單一遞減，則知足f(2x－1)<f(5)的x的取值范圍是()A．(－2,3)B．(－∞，－2)∪(3，＋∞)C．[－2,3]D．(－∞，－3)∪(2，＋∞)分析：選B因為偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單一遞減，且f(2x－1)<f(5)，所以|2x－1|>5，即x<－2或x>3.．已知函數(shù)f(x)＝{x2＋x，x≥0，x－x2，x<0，若f(a)>f(2－a)，則a的取值范9圍是________．分析：作出函數(shù)f(x)＝{x2＋x，x≥0，x－x2，x<0的圖象，如下圖，明顯函數(shù)f(x)是增函數(shù)，所以不等式f(a)>f(2－a)等價于a>2－a，則a>1.答案：(1，＋∞)[方法技巧]在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，常常是利用函數(shù)的單一性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)變?yōu)樵敿?xì)的不等式求解．此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．角度五：利用單一性求參數(shù)的取值范圍xa10．(2018·濟(jì)寧模擬)函數(shù)f(x)＝a，x>1，4－2x＋2，x≤1，知足對隨意的fx1－fx2a的取值范圍為____________．實數(shù)x1≠x2都有>0建立，則實數(shù)x1－x2分析：由題意，函數(shù)f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函數(shù)，且f(x)在(－∞，1]aa上的最高點不高于其在(1，＋∞)上的最低點，即a>1，4－2>0，a≥4－2＋2，解得a∈[4,8)．答案：[4,8)[方法技巧]利用函數(shù)單一性求參數(shù)的策略視參數(shù)為已知數(shù)，依照函數(shù)的圖象或單一性定義，確立函數(shù)的單一區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單一的，則該函數(shù)在此區(qū)間的隨意子集上也是單一的．函數(shù)的奇偶性[典例](1)(2018·重慶適應(yīng)性測試)以下函數(shù)為奇函數(shù)的是()32ex＋e－xA．y＝x＋3xB．y＝2C．y＝xsinx3－xD．y＝log23＋x(2)(2018·湖北武漢十校聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)知足f(x)＋()＝ex，則(x)＝()gxgA．ex－e－xB.1(ex＋e－x)21－xx1x－xC.2(e－e)D.2(e－e)(3)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________.[分析](1)依題意，對于選項A，注意到當(dāng)x＝－1時，y＝2；當(dāng)x＝1時，y＝4，因此函數(shù)y＝x3＋3x2不是奇函數(shù)．對于選項B，注意到當(dāng)x＝0時，y＝1≠0，所以函數(shù)y＝ex＋e－x2不是奇函數(shù)．對于選項C，注意到當(dāng)π時，y＝πππyx＝－；當(dāng)x＝時，y＝，所以函數(shù)22223－x3－x＝xsinx不是奇函數(shù)．對于選項D，由3＋x>0得－3<x<3，即函數(shù)y＝log23＋x的定義域是(－3－－x3－x3－－x3，3)，對于原點對稱，且log23＋－x＋log23＋x＝log21＝0，即log23＋－x＝－3－x3－xlog23＋x，所以函數(shù)y＝log23＋x是奇函數(shù)．綜上所述，選D.∵f(x)＋g(x)＝ex，①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)－g(x)＝e－x，②由①②可解得g(x)＝ex－e－x.應(yīng)選D.2(3)函數(shù)f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax為偶函數(shù)，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化簡得ln12ax，即12ax，整理得2ax＋3x＝1，所以2＋33x＝2＝lne3x＝eeeaxeaxx3＝0，解得a＝－2.3[答案](1)D(2)D(3)－2[方法技巧]應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的4類問題判斷函數(shù)奇偶性①定義法：②圖象法：③性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．求分析式先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)變到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性結(jié)構(gòu)對于f(x)的方程(組)，從而獲得f(x)的分析式．求函數(shù)分析式中參數(shù)的值利用待定系數(shù)法求解，依據(jù)f(x)±f(－x)＝0獲得對于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，從而得出參數(shù)的值．利用函數(shù)的奇偶性求值第一判斷函數(shù)分析式或分析式的一部分的奇偶性，而后聯(lián)合已知條件經(jīng)過化簡、變換求值．[即時操練]2x＋11．若函數(shù)f(x)＝2x－a是奇函數(shù)，則使f(x)>3建立的x的取值范圍為()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)分析：選C∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，2－x＋12x＋1，化簡可得＝1，即－x＝－x2－a2－aaxxx2＋12＋1－3×2＋3則2x－1>3，即2x－1>0，2x－2x∴2x－1<0，∴1<2<2，解得0<x<1.π2．已知函數(shù)f(x)＝asinx－btanx＋4cos3，且f(－1)＝1，則f(1)＝()A．3B．－3C．0D．43－1分析：選Af()＝sinx－tanx＋2，易知函數(shù)(x)＝sinx－tanx是奇函數(shù)，xabgab因為f(－1)＝asin(－1)－btan(－1)＋2＝1，所以asin1－btan1＝1，則f(1)＝asin1－btan1＋2＝3.3．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函數(shù)，且其定義域為[6a－1，a]，則a＋b＝()1A.7B．－1C．1D．71分析：選A因為偶函數(shù)的定義域?qū)τ谠c對稱，所以6a－1＋a＝0，所以a＝7.又f(x)為偶函數(shù)，所以3(－x2bx－5a＋＝32bx－5＋b，解得b＝0，所以a＋1)－＋＝.abaxab7函數(shù)的周期性[典例](1)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)知足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝2－x2，則f(0)＋(1)＋(2)＋＋f(2018)＝________.xff(2)(2018·煙臺模擬)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的分析式為f(x)＝{x1－x，0≤x≤1，πx，1<x≤2，2941sin則f4＋f6＝________.[分析](1)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝2.又當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝＝f(2016)＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝＝f(2015)＝f(2017)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋＋f(2018)＝1009.(2)因為函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以f29＋f41＝f3＋f2×4－7462×4－＝463737315f－4＋f－6＝－f4－f6＝－16＋2＝16.5[答案](1)1009(2)16[方法技巧]函數(shù)周期性問題的求解策略判斷函數(shù)的周期只要證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其余性質(zhì)綜合命題．依據(jù)函數(shù)的周期性，能夠由函數(shù)局部的性質(zhì)獲得函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決詳細(xì)問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．[即時操練]1．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且知足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝e－x，設(shè)a＝f(－2)，＝(3)，＝(8)，則a，，的大小關(guān)系為()bfcfbcA．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．>>D．>>baccba分析：選C由f(x－1)＝f(x＋1)可知，函數(shù)的最小正周期為2，由f(x＋1)＝f(1－x)可知，函數(shù)的圖象對于直線x＝1對稱，又因為當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝e－x，所以a＝f(－2)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝e2－2，＝f(3)＝(－1)＝e，＝f(8)＝(0)＝1，則>>.bfcfbac2．(2016·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)259＝x＋a，－1≤x＜0，5－x，0≤x＜1，此中a∈R.若f－2＝f2，則f(5a)的值是________．分析：因為函數(shù)f(x)的周期為2，聯(lián)合在[－1,1)上f(x)的分析式，得－5＝f－2－1＝f－1＝－1＋a，2222911211f2＝f4＋2＝f2＝5－2＝10.59113由f－＝f2，得－2＋a＝10，解得a＝5.232所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋5＝－5.2答案：－5函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用高考對于函數(shù)性質(zhì)的考察，一般不會純真地考察某一個性質(zhì)，而是對奇偶性、周期性、單一性的綜合考察.常有的命題角度有：單一性與奇偶性聯(lián)合；周期性與奇偶性聯(lián)合；單一性、奇偶性與周期性聯(lián)合.角度一：單一性與奇偶性聯(lián)合1．定義在R上的奇函數(shù)f(x)知足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函數(shù)，則有()113A．f4<f－4<f2B．－11<3f4<f2f4131C．f4<f2<f－4D．1<3<1f－2f44f分析：選B由題設(shè)知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函數(shù)f(x)的圖象對于直線x＝1對稱．又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象對于坐標(biāo)原點對稱，因為函數(shù)綜上函數(shù)

()在[0,1]上是增函數(shù)，故f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)，在

()在[－1,0]上也是增函數(shù)，[1,3]上是減函數(shù)．3

3

1又f2＝f2－2＝f2，1113所以f－4<f4<f2＝f2.2．已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－2,2]，且在區(qū)間[－2,0]上遞減，則知足f(1－m)＋2f(1－m)<0的實數(shù)m的取值范圍為________．分析：∵f(x)的定義域為[－2,2]，∴{－2≤1－m≤2，2解得－1≤m≤3.①－2≤1－m≤2，又f(x)為奇函數(shù)，且在[－2,0]上遞減，f(x)在[－2,2]上遞減，∴(1－)<－(1－2(22)＝－1)?1－>－1，fmfmfmmm解得－2<m<1.②綜合①②可知，－1≤m<1.即實數(shù)m的取值范圍是[－1,1)．答案：[－1,1)角度二：周期性與奇偶性聯(lián)合3．設(shè)f(x)是周期為0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f52的奇函數(shù)，當(dāng)－2＝()11A.2B．－411C.4D．－2分析：選D因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，所以55111－2＝f－2＋2＝f－2＝－f2＝－2.角度三：單一性、奇偶性與周期性聯(lián)合4．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)知足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)<f(11)分析：選D∵f(x)知足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且知足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)f(1)．f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．[方法技巧]函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的3種常有種類及求解策略單一性與奇偶性聯(lián)合注意函數(shù)單一性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．周期性與奇偶性聯(lián)合此類問題多考察求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知分析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．周期性、奇偶性與單一性聯(lián)合解決此類問題往常先利用周期性轉(zhuǎn)變自變量所在的區(qū)間，而后利用奇偶性和單一性求解．1．(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單一遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則知足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]分析：選D∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)單一遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.2．(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則以下結(jié)論中正確的選項是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)分析：選Cf(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，故f(x)g(x)為奇函數(shù)，|f(x)|g(x)為偶函數(shù)，f(x)|(x)|為奇函數(shù)，|f()(x)|為偶函數(shù)，應(yīng)選C.gxg2a＝________.3．(2015·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋a＋x)為偶函數(shù)，則分析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)－f(x)＝0恒建立，∴－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒建立，∴xlna＝0恒建立，lna＝0，即a＝1.答案：14．(2014·全國卷Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單一遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．分析：由題可知，當(dāng)－2<x<2時，f(x)>0.f(x－1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移1個單位長度獲得的，若f(x－1)>0，則－1<<3.x答案：(－1,3)5．(2014·全國卷Ⅱ)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象對于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________.分析：因為f(x)的圖象對于直線x＝2對稱，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，則f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案：3一、選擇題x1x1．(2017·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝3－3，則f(x)()A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)分析：選A因為f(x)＝3x－1x，且定義域為R，3所以f(－x)＝3－x－1－x＝1x－3x＝－[3x－1x＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函333數(shù)．x1xx1x又y＝3在R上是增函數(shù)，y＝3在R上是減函數(shù)，所以f(x)＝3－3在R上是增函數(shù)．2．(2018·遼寧階段測試)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函數(shù)，則()A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù)B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是減函數(shù)C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù)D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是減函數(shù)分析：選B因為函數(shù)()＝ln(1＋)＋ln(1－)是偶函數(shù)，所以1＝－1，則fxxf2f2xm(m－1)ln3＝0，即m＝1，則f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，因為x∈(0,1)時，y＝1－x2是減函數(shù)，故f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，應(yīng)選B.3．已知x，y∈R，且x>y>0，則()11x－siny>0A.x－y>0B．sinC.1x－1y<0D．lnx＋lny>0221分析：選CA項，考察的是反比率函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上單一遞減，因為x>y>0，所11y＝sinx在(0，＋∞)上的單一性，y＝以x－y<0，所以A錯誤；B項，考察的是三角函數(shù)sinx在(0，＋∞)上不但一，所以不必定有sinx>siny，所以B錯誤；C項，考察的是指1x1x1y1x1y數(shù)函數(shù)y＝2在(0，＋∞)上單一遞減，因為x>y>0，所以有2<2，即2－2<0，所以C正確；D項，考察的是對數(shù)函數(shù)y＝lnx的性質(zhì)，lnx＋lny＝lnxy，當(dāng)x>y>0時，xy>0，不必定有l(wèi)nxy>0，所以D錯誤．4．(2016·山東高考)已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當(dāng)x＜0時，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤111＝fx－1，則f(6)＝()時，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x＞時，fx＋222A．－2B．－1C．0D．2分析：選D由題意可知，當(dāng)－1≤x≤1時，(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)1時，(x＋1)＝(x)，>fx2ff所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故選D.5．(2018·湖南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單一遞加，若a＝f2π，b＝f5π，c＝f5π，則a，b，c的大小關(guān)系為(sin7cos7tan7)A．b<a<cB．c<b<aC．<<aD．<<bcabc分析：選Bπ5π3π，∴tan5π5π2π5π5π∵<<4<－1<cos<0，又sin>0，∴tan7<cos2777772π.∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間f(x)是R<sin7[0，＋∞)上單一遞加，∴函數(shù)上的增函數(shù)，∴c<b<a，應(yīng)選B.6．若函數(shù)f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在區(qū)間[3，＋∞)和[－2，－1]上均為增函數(shù)，