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5.4廣義積分的概念5.4.1無窮限的廣義積分定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,+8)上連續(xù)，取b>a，若極限glim存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間［a,+8)上的廣義積分，記作『六g，即jy(g=^“g° ⑴4-0& -to這時也稱廣義積分1'⑴辦收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積分￡Ex發(fā)散。類似地，若極限螞 存在，則稱廣義積分f/g收斂。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,+8)上連續(xù)，如果廣義積分匕六對辦和E'⑴辦都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-8,+8)上的廣義積■Hd -Hd +(d分，記作⑴辦，也稱廣義積分L了⑴辦收斂；否則就稱廣義積分L了⑴必上述廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分。嚴(yán)dx例1證明廣義積分'工?(a>0)當(dāng)p>1時收斂，當(dāng)p<1時發(fā)散。證當(dāng)p=1時，

因此，當(dāng)p>1時，這廣義積分收斂，其值為"1；當(dāng)p<1時，這廣義積分發(fā)散。5.4.2無界函數(shù)的廣義積分現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形。定義2設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b］上連續(xù)，而在點a的右領(lǐng)域內(nèi)無界，取￡>。，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b］上的廣義積分，仍然記作"沔，這時也稱廣義積分"g收斂。類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上除點c(a<c<b)外連續(xù)，而在點c的領(lǐng)域內(nèi)無界，如果兩個廣義積分￡了⑴辦與f川物都收斂，則定義(2)￡了(對必=+ =螞「了3)必+史盤廈了3)必否則，就稱廣義積分發(fā)散。(2)?dx例2證明廣義積分當(dāng)q<1時收斂，當(dāng)q>1時發(fā)散。證當(dāng)q=1時，基；0_瀘因此，當(dāng)q

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