中職教育數(shù)學(xué)《雙曲線》教案

授課3.2雙曲線題目授課4課時(shí)時(shí)長(zhǎng)

選用教材授課類型

高等教育出版社《數(shù)學(xué)》〔拓展模塊一上冊(cè)〕授課本課以“廣州塔”為例創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生形成對(duì)雙曲線的直觀感受，然后通過(guò)一個(gè)試驗(yàn)展現(xiàn)了雙曲線形成的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生分析雙曲線上的點(diǎn)所滿足教學(xué) 的幾何條件，為建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程制造條件.然后，與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)提示 類比進(jìn)展雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，有理化過(guò)程學(xué)生課后自行完成，在類比介紹焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.最終，借助雙曲線的圖像，分別爭(zhēng)論焦點(diǎn)不同坐標(biāo)軸的雙曲線的幾何性質(zhì).知道雙曲線的概念及形成過(guò)程，知道如何化簡(jiǎn)形成雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能教學(xué)區(qū)分不同焦點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的不同方程；會(huì)依據(jù)雙曲線的方程說(shuō)出雙曲線的幾何性目標(biāo)質(zhì)，能依據(jù)條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；逐步提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).教學(xué)依據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分析雙曲線的幾何性質(zhì)．重點(diǎn)教學(xué) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)．難點(diǎn)教師學(xué)生教師學(xué)生設(shè)計(jì)活動(dòng)活動(dòng)意圖提出思考幫助問(wèn)題學(xué)生分析形成引發(fā)思考答復(fù)雙曲線形狀的直觀感受講解理解通過(guò)試驗(yàn)展現(xiàn)說(shuō)明思考畫雙教學(xué)內(nèi)容環(huán)節(jié)廣州塔是目前世界上已經(jīng)建成情境導(dǎo)入 的最高的塔桅建筑,廣州塔的兩側(cè)輪廓線是什么圖形？有什么特點(diǎn)？可以看出，廣州塔兩側(cè)的輪廓線是關(guān)于塔中軸對(duì)稱的兩條曲線，它們分別從塔的腰部向上下兩個(gè)方向延長(zhǎng)，人們稱這樣的曲線為雙曲線．那么，如何畫出雙曲線呢？我們可以通過(guò)一個(gè)試驗(yàn)來(lái)完成.(1)取一條拉鏈,把它拉開(kāi)分成兩條，將其中一條剪短.曲線把長(zhǎng)的一條的端點(diǎn)固定在點(diǎn)F1的過(guò)知F2處；(2)M處，隨著拉鏈的拉開(kāi)或閉程，為建探究 合筆尖就畫出一條曲線(圖中右邊的曲線)；(3)再把拉鏈短的一條的端點(diǎn)固定在點(diǎn)F1處，長(zhǎng)的一

立雙展現(xiàn)結(jié)合曲線圖形圖形的標(biāo)引發(fā)思考準(zhǔn)方思考問(wèn)題條的端點(diǎn)固定在點(diǎn)F2處.類似 程創(chuàng)地，筆尖可面出另一條曲線 造條(圖中左邊的曲線). 件1 (即點(diǎn)M)在移動(dòng)過(guò)程中與兩個(gè)點(diǎn)FF 的距離之差確實(shí)定值始終保特不變1 F 一般地，把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕F 1 2對(duì)值為常數(shù)(對(duì)值為常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)焦距.3.2.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程提出思考滲透情境我們利用橢圓的對(duì)稱性建立了平面直角坐標(biāo)系，并推問(wèn)題類比導(dǎo)入導(dǎo)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.引發(fā)分析的思求它的方程呢？思考答復(fù)想、Fx軸，以線段以經(jīng)過(guò)雙曲線兩焦點(diǎn)F1 2講解理解通過(guò)F1F2y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所把幾示.何問(wèn)說(shuō)明思考題轉(zhuǎn)化為代數(shù)展現(xiàn)領(lǐng)悟問(wèn)題從而使幾何問(wèn)題可講解理解以通過(guò)代數(shù)運(yùn)M(x,y)為雙曲線上的任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為算來(lái)2c(c>0)，則焦點(diǎn)F1 F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0).、解決探究又設(shè)雙曲上的點(diǎn)M2a知(a>0)，即||MF1|-|MF2||=2a，則有|MF1|-|MF2|=±2a.于是，有展現(xiàn)結(jié)合(xc)2y2 (xc)2y22a，圖形圖形移項(xiàng)得 (xc)2y2 (xc)2y22a引發(fā)思考思考兩邊平方得(xc)2y2(xc)2y24a (xc)2y24a2，整理得 cxa2a (xc)2y2，兩邊再平方，整理得a4+c2x2a2x2a2c2a2y2，移項(xiàng)并整理得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).由雙曲線的定義可知 2c＞2a＞0，即a＞c＞0，因此c2a20.令c2a2b2(b0)，則上式可化為b2x2a2y2a2b2.兩邊同時(shí)除以a2b得 展現(xiàn)數(shù)形x2y2

1

圖形結(jié)合a2 b2方程稱為雙曲的標(biāo)準(zhǔn)方程.此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)F1和F2x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-c,0)和(c,0).

引發(fā)爭(zhēng)論思考問(wèn)題如下圖以經(jīng)過(guò)雙曲線兩焦點(diǎn)FF的直線為y軸, 類比1 2 介紹線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.類 焦點(diǎn)似地，可以求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 在y軸上的雙y2x21 (a＞0,b＞0).的雙a2 b2F1

的坐標(biāo)分別為(0,-c)、(0,c). 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1依據(jù)條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)x14，雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)6；提問(wèn)引導(dǎo)思考分析例1讓學(xué)(2焦點(diǎn)為F1(06和F2(0,6M的坐標(biāo)講解解決解求為(2,-5).強(qiáng)調(diào)溝通雙曲解(1由于2=1aa3b=-24.線的x軸上，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y2

指導(dǎo)主動(dòng) 標(biāo)準(zhǔn)求解 方程9

1； 的關(guān)(2)由雙曲線的定義知，||MF1|-|MF2||=2a，即 鍵是求出2a 202562典型例題 化簡(jiǎn)得2a4 5，即a2 5.

，

a2和b2c=6b2c2-a2=36-20=16.y軸上.標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x2

1.20 162雙曲線的方程，求焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距.例3(1)

x2y2

1；(2)x2-y2=-8. 是求32 4 焦點(diǎn)解(1)由于含x項(xiàng)的系數(shù)為正所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上， 和焦并且a2=32，b2=4.于是有 距的a2+b2=32+4=36， 問(wèn)從而可得 c=6，2c=12． 題，引導(dǎo)(2)將雙曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，為 學(xué)生y2y2

先將1．8 8 雙曲由于含y項(xiàng)的系數(shù)為正所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上， 線方并且a2=8，b2=8.于是有 c2=a2+b2=16， 為標(biāo)從而可得 c=4，2c=8. 準(zhǔn)形所以，雙曲線的焦點(diǎn)分別為(0,-4)、(0,4)，焦距為8. 式溫馨提示要推斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，可將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.xy項(xiàng)的符號(hào)，哪項(xiàng)的符號(hào)為正，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上.3.2.11.1.依據(jù)條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.提問(wèn)思考準(zhǔn)時(shí)(2)b=3y軸上，且分別為F1(0,-5)、F2(0,5).把握學(xué)生2.213，雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦巡察動(dòng)手把握點(diǎn)的距離之差確實(shí)定值為4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.求解狀況練習(xí) 3.寫出以下雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距. 查漏(1)9x2-7y2=63；(2)

y2x2

補(bǔ)缺1.4 x2

指導(dǎo)溝通4.求證雙曲線 1與橢圓9x2+25y2=225的焦點(diǎn)一樣.3.2.2點(diǎn)一樣.3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)提出思考提示前面，我們借助于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程爭(zhēng)論了橢圓的幾何問(wèn)題分析學(xué)生性質(zhì).那么，如何借助與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)爭(zhēng)論雙曲線引發(fā)答復(fù)與橢的幾何性質(zhì)呢？思考圓類比情境導(dǎo)入x2a2

y2b2

1a0，b0為例．范圍探究知 將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程化為x2a2

1y2b2

.由于

y2≥0，b2x2≥1x2a2.于是有a2x≤-a或x≥a.x=-a講解理解橢圓x=a的右側(cè)，如下圖.說(shuō)明思考的范圍和對(duì)稱性易展現(xiàn)領(lǐng)悟展現(xiàn)領(lǐng)悟于直觀推斷運(yùn)用講解理解代數(shù)方法進(jìn)展界定可以幫助學(xué)生習(xí)得講解理解幾何類似于前面關(guān)于橢圓對(duì)稱性的爭(zhēng)論，借助于方程x2y2a2 b2

1a0，b0可以覺(jué)察，雙曲線關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點(diǎn)都是對(duì)稱的.xy軸都稱為雙曲線的對(duì)稱軸,坐標(biāo)原點(diǎn)稱為雙曲線的對(duì)稱中心(簡(jiǎn)稱中心).頂點(diǎn)探究y=0，得到x=±a.因此，雙曲線與x軸有兩個(gè)交知A1(-a,0)A2(a,0)(如圖).雙曲線與它的對(duì)稱軸的兩個(gè)交A1、A2稱為雙曲線的頂點(diǎn)，線段A1A2稱為雙曲線的實(shí)軸2a，a是雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng).x=0，得到y(tǒng)2=-b2，這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.因此，雙y軸沒(méi)有交點(diǎn).我們?nèi)詫Ⅻc(diǎn)B1(0,-b)B2(0,b)畫在y軸上，如下圖.線段B1B2稱為雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等2b，b是雙曲線的虛半軸長(zhǎng).明顯,雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)與實(shí)軸都在同一個(gè)坐標(biāo)軸上．AA問(wèn)題代數(shù)說(shuō)明AA問(wèn)題代數(shù)說(shuō)明思考化的思想方展現(xiàn)領(lǐng)悟法，培育學(xué)生講解理解科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神．經(jīng)過(guò)點(diǎn) 、1

2分別作y軸的 雙曲B1平行線x=-a，x=a,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、2 線范B1分別作x軸的平行線-y=.這 圍的四條直線圍成一個(gè)矩形，如下圖. 矩 目的形的兩條對(duì)角線所在直線的方 是用b程為y x. 描點(diǎn)a 法畫觀看右圖可以看出雙曲線 圖時(shí)的兩支向外延長(zhǎng)時(shí)分別與這兩 可以條直線漸漸接近但又永不相交，我們把這兩條直線 不取范圍x2a2

y2b2

1的漸近線.借助雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以更嚴(yán)格地描述漸進(jìn)線的性質(zhì).將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程變?yōu)閎|x|無(wú)限增大時(shí)，y的值無(wú)限接近于x或abx的值這說(shuō)明，當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，雙曲線與直線ab by x或y x無(wú)限接近(但不能相交).a a離心率c雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比稱為雙曲線的離心率，ae.即ce .ac＞a＞0e＞1.由b c2a2 c2 1 e21a a a2

b越大，的值越大，從而漸近線

by xa a.因此，離e反映了雙曲線的“張口”大小.探究與覺(jué)察為什么冷卻塔的塔身大多是雙曲線的外形？例3 求雙曲線4y2-16x2=64實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率與漸近線方程.

表達(dá)外的點(diǎn)，外的點(diǎn)，這為后續(xù)介紹畫雙曲線的大致曲線奠定基礎(chǔ)在介紹頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸講解理解的同時(shí)，要幫說(shuō)明思考助學(xué)生理展現(xiàn)領(lǐng)悟清ab、c在圖形講解理解中的呈現(xiàn)數(shù)學(xué)圖片圖形學(xué)問(wèn)引發(fā)特征的應(yīng)思考爭(zhēng)論用溝通提問(wèn)思考 強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)分析 先將解x2y2

雙曲1.由此可知，雙典型 16 4

講解解決 線化為標(biāo)b=2，c=2 5. 準(zhǔn)方于是，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=8，虛軸長(zhǎng)2b=4，焦點(diǎn)坐標(biāo) 程，為0,-2 心率 解題步驟ec 5yb2x.a 2 a例4求滿足以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 提問(wèn)思考 再次一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,0)，一條漸近線的方程為 引導(dǎo)分析 強(qiáng)調(diào)3x-4y=0； 先確312,

講解解決 定雙2離心率為. 強(qiáng)調(diào)溝通2曲線解(1)由題設(shè)可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，漸近線的方 的焦程為 y3x. 點(diǎn)位4 置，于是有 再求a2b2

100, 出 b 3 a2 . a 4 和解得 b2a28,b6.因此，所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2

1；64 36c 3(2)由條件可知2c=12，因此c=6.又e ，故a 2a=4b2=c2-a2=20.x軸上時(shí)，所求雙曲線的標(biāo)x2y21.y軸上時(shí)，所求雙16 20y2x2

1.16 205x2y21的圖形.

提問(wèn)思考 留意引導(dǎo)分析引導(dǎo)分析強(qiáng)化學(xué)生講解解決動(dòng)手強(qiáng)調(diào)溝通作圖的能力，特別要介紹雙曲線分析雙曲線具有對(duì)稱性,因此只需先畫出雙曲線在第一象限內(nèi)的圖形,然后對(duì)稱性地畫出全部圖形.解y≥0y34

x216(x≤-4x≥4).在[4,+∞,x的值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值，列表以表中的x值為橫坐標(biāo),對(duì)應(yīng)的y值為縱坐標(biāo)，在直角 大致坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(diǎn)(x,y)，用光滑的曲線順次鏈接 圖像各點(diǎn)得到雙曲線在第一象限中的圖形.然后利用對(duì)稱性， 的畫畫出全部圖形. 法溫馨提示我們可以利用雙曲線的頂點(diǎn)和漸近線，畫出雙曲線的大致圖像.具體步驟如下：a2=16a=4，得到雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)A1(-4,0)、A2(4,0)；b2=9b=3B1(0,-3)、B2(0,3)；x=±4、y=±3所圍成的矩形,畫出矩形兩條對(duì)角線所在的直線,即雙曲線的兩條漸近線；依據(jù)雙曲線經(jīng)過(guò)實(shí)軸端點(diǎn)，且漸漸接近漸近線這一特點(diǎn)，畫出大致圖像.例6A、B兩個(gè)哨所相距1600m，在A哨所聽(tīng)到炮彈提問(wèn)思考表達(dá)爆炸聲比在B哨所晚3s.求炮彈爆炸點(diǎn)全部可能位置構(gòu)成引導(dǎo)分析學(xué)問(wèn)的曲線的方程(聲速為340m/s). 分析依據(jù)題意，由A、B兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差可算出講解解決際應(yīng)A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離差，它是一個(gè)定值.因此，爆炸強(qiáng)調(diào)溝通用點(diǎn)全部可能的位置都在某雙曲線上，又由于爆炸點(diǎn)距離AB處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在該雙曲線中靠近B處的一支上.解A、B兩點(diǎn)在xAB的中點(diǎn).M的坐標(biāo)為(x,y)，則|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有2a=1020，a=510，a2=260100.由于 |AB|=1600，所以 2c=1600，c=800，b2=c2-a2=379900.又|MA|-|MB|=1020>0.M在雙曲線的右支x≥510.因此，所求曲線方程為探究與覺(jué)察能否用一根無(wú)彈性細(xì)繩、一把直尺、幾顆圖釘和一支筆畫出雙曲線？3.2.2求以下雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，離心率與漸近線方程.(1)x2-9y2=81；(2)9x2-4y2=-36.求滿足以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.4x8