2016年全國3卷高考理科數(shù)學(xué)真題及詳細解析(解析版,學(xué)生版,精校版,新課標Ⅲ卷)

2016年全國3卷高考理科數(shù)學(xué)真題及詳細解析(解析版,學(xué)生版,精校版,新課標Ⅲ卷)2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅲ）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.（5分）設(shè)集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x>0}，則S∩T=（）A.[2,3]B.（-∞，2]∪[3，+∞）C.[3，+∞）D.（-∞，2)∪[3，+∞）答案：A2.（5分）若z=1+2i，則|z+1|的值為（）A.1B.2C.iD.-i答案：23.（5分）已知向量$\vec{a}=(1,1,\sqrt{2})$，$\vec=(\sqrt{2},1,1)$，則$\angle{ABC}$的大小為（）A.30°B.-45°C.45°D.120°答案：60°4.（5分）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖，圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃，下面敘述不正確的是（）A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個答案：A5.（5分）若$\tan{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，則$\cos{2\alpha}+2\sin{2\alpha}$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.1D.0答案：$\frac{1}{2}$6.（5分）已知$a=\sqrt{3}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，$c=2$，則下列說法正確的是（）A.$b<a<c$B.$a<b<c$C.$b<c<a$D.$c<b<a$答案：$b<a<c$7.（5分）執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的a=4，b=6，那么輸出的n=（）A.3B.4C.5D.6答案：58.（5分）在△ABC中，$\angle{B}=120^\circ$，BC邊上的高等于BC，則$\cos{A}$等于（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$答案：$-\frac{1}{2}$9.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）A.18+36B.54+18C.90D.81答案：54+1810.（5分）在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是（）A.4πB.$\frac{4}{3}\pi$C.6πD.$\frac{8}{3}\pi$答案：$\frac{8}{3}\pi$11.（5分）已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點。P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E。若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（）A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$12.（5分）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中1的個數(shù)不少于0的個數(shù)。則當(dāng)m=3時，符合條件的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）A.7B.8C.9D.10答案：8【考點】9R：向量的模及其運算；F4：進行簡單的合情推理．【專題】11：計算題；41：向量法；4A：數(shù)學(xué)模型法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的模及其運算，根據(jù)三角形的性質(zhì)進行推理判斷即可得出答案．【解答】解：設(shè)向量為，則∴∴∴∴故有即∴∴∴∴故有∴∴∴∴故有∴∴故有故有所以，b＜a＜c，故選：B．【點評】本題考查向量的模及其運算，以及三角形的性質(zhì)，是較難的計算題．【考點】冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用；程序框圖；三角形中的幾何計算。【分析】7.根據(jù)程序框圖模擬執(zhí)行程序，依次計算每次循環(huán)得到的變量值，當(dāng)s=20時滿足條件s＞16，退出循環(huán)，輸出n的值為4。8.根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)三角形中的幾何計算可得cosθ=3/5，sinθ=4/5，利用兩角和的余弦公式即可求得cosA的值。【解答】7.模擬執(zhí)行程序，可得：a=4，b=6，n=0，s=0執(zhí)行循環(huán)體，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不滿足條件s＞16，執(zhí)行循環(huán)體，a=?2，b=6，a=4，s=10，n=2不滿足條件s＞16，執(zhí)行循環(huán)體，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不滿足條件s＞16，執(zhí)行循環(huán)體，a=?2，b=6，a=4，s=20，n=4滿足條件s＞16，退出循環(huán)，輸出n的值為4。故選B。8.如圖，設(shè)∠DAC=θ，則∠BAC=90°-θ，∠ABC=90°，根據(jù)正弦定理可得：$\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}$$\frac{a}{\sin(90°-\theta)}=\frac{c}{\sin90°}$$\frac{a}{\cos\theta}=\frac{c}{1}$$c=a\cos\theta$再根據(jù)直角三角形中的幾何計算可得：$\sin\theta=\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{a}{2c}$$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\frac{\sqrt{5}}{5}$根據(jù)兩角和的余弦公式可得：$\cosA=\cos(B+C)=\cosB\cosC-\sinB\sinC=-\frac{a^2-c^2-b^2}{2bc}=-\frac{1}{5}$故選C。【點評】本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用、程序框圖、三角形中的幾何計算等知識點，難度適中。需要注意計算過程中的細節(jié)，尤其是在8題中計算cosA時要注意正負號。題目已經(jīng)沒有格式錯誤和明顯有問題的段落了，以下是改寫后的文章：9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為多少？【考點】利用三視圖求解幾何體的面積和體積?！痉治觥扛鶕?jù)三視圖可以判斷該幾何體是一個以主視圖為底面的直四棱柱，進而求出表面積?！窘獯稹扛鶕?jù)已知的三視圖可以得到，該幾何體是一個以主視圖為底面的直四棱柱，其底面面積為3×6=18，側(cè)面的面積為(3×3+3×8)×2=54，因此該棱柱的表面積為18×2+54=90，故選B。【點評】本題考查的知識點是利用三視圖求解幾何體的面積和體積，需要根據(jù)已知的三視圖判斷幾何體的形狀。10.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是多少？【考點】計算直棱柱、棱錐、棱臺的體積?！痉治觥扛鶕?jù)已知可以得到直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)切球半徑，代入球的體積公式即可求解?！窘獯稹扛鶕?jù)已知可以得到AB⊥BC，AB=6，BC=8，因此AC=10。由AA1=3可得直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)切圓半徑r=1，此時V的最大值為4/3πr3=4/3π，故選A。【點評】本題考查的知識點是直棱柱的幾何特征，需要根據(jù)已知求出球的半徑，進而求解體積。11.已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的左焦點，C的右頂點為B，左頂點為A，P為C上一點，且PF⊥x軸。過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E。若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為多少？【考點】橢圓的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)橢圓的性質(zhì)，可以得到離心率與橢圓的焦點、頂點等元素有關(guān)系，根據(jù)已知求解即可得到答案?！窘獯稹扛鶕?jù)已知可以得到橢圓的左焦點F和左頂點A，因此橢圓的右焦點為F'(-2,0)，右頂點為B(2,0)。根據(jù)PF⊥x軸可以得到P在x軸上的坐標為a，因此P的坐標為(a,b√(a2-b2))。過點A的直線l與線段PF交于點M，因此M的坐標為((a+b2/a),0)。過點A和M可以得到直線l的方程為y=-(b/a)x+2b，與y軸交點為E(0,2b)。直線BM經(jīng)過OE的中點，因此O、E、B、M四點共線，可以得到a=3b，因此橢圓的離心率為√(a2-b2)/a=√(9-1)/3=2/3，故選C。【點評】本題考查的知識點是橢圓的性質(zhì)，需要根據(jù)已知求解橢圓的焦點、頂點等元素，進而求解離心率。表示f（x）在x＝1處的切線斜率為﹣3，又因為切線過點（1，﹣3），所以切線方程為y﹣（﹣3）＝﹣3（x﹣1），即2x＋y＋1＝0．故答案為：2x＋y＋1＝0．【點評】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，需要注意偶函數(shù)的定義和求導(dǎo)的過程，屬于難度適中的題目。16．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式是．【考點】HJ：函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象及解析式．【專題】33：函數(shù)思想；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)圖象可以看出是正弦函數(shù)的圖象，且振幅為2，周期為2π，垂直方向上的平移為3，因此可以得到y(tǒng)＝2sin（x）＋3．【解答】解：根據(jù)圖象，可以看出是正弦函數(shù)的圖象，且振幅為2，周期為2π，垂直方向上的平移為3，因此可以得到y(tǒng)＝2sin（x）＋3．故答案為：y＝2sin（x）＋3．【點評】本題考查了正弦函數(shù)的圖象及解析式的求法，需要注意振幅、周期和垂直方向上的平移的影響，屬于簡單的題目。17.(12分)已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=1+λa_n，其中λ≠0。(1)證明{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S_5=-3，求λ?！究键c】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式?！痉治觥?1)根據(jù)數(shù)列通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系進行遞推，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行證明求解即可。(2)根據(jù)條件建立方程關(guān)系進行求解就可。【解答】(1)∵S_n=1+λa_n，λ≠0?！郺_n≠0。當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=1+λa_n-1-λa_n-1=λa_n-1，即(λ-1)a_n=λa_n-1，∴λ≠1，即a_n≠a_n-1?！唳?1≠0，即λ≠1，即a_n/a_n-1=λ，n≥2，∴{a_n}是等比數(shù)列，公比q=λ。當(dāng)n=1時，S_1=1+λa_1=a_1，即a_1=S_1。∴通項公式為a_n=a_1q^(n-1)=S_1q^(n-1)，n≥1。(2)若S_5=-3，則1+λa_5=-3，即λa_5=-4，又a_5=a_1q^4，∴λa_1q^4=-4，代入S_1=a_1+λa_1=(1+λ)a_1，∴λ=(-3-S_1)/S_1q^4。【解答】解：（1）如圖所示，連接BN，由題意可知BN=NC=1.5，又因為MN∥AD，所以MN∥BC，所以MN∥BN，又因為BN∥PA，所以MN∥PA，故MN∥平面PAB．（2）由（1）可知，直線AN與平面PAB平行，所以直線AN與平面PMN所成角等于直線AN與平面PAB所成角，設(shè)其為α，則有sinα=AN/PA=2/4=0.5．【點評】本題考查的是空間幾何中直線與平面的位置關(guān)系和角的計算，需要運用數(shù)形結(jié)合法，注意細節(jié)．（1）證明：法一、如圖，取PB中點G，連接AG，NG。由三角形的中位線定理可得NG∥BC，且NG=1/2BC。又因為AM=BC=4，且AD∥BC，所以AM∥BC，且AM=BC。因此，NG∥AM，且NG=AM，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM∥AG。由線面平行的判定可得MN∥平面PAB。法二、在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME。由已知PA⊥底面ABCD可得PA∥AD。又因為AD∥BC，所以PA∥BC，從而PA∥NE。通過求解直角三角形可得ME∥AB。由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，因此MN∥平面PAB。（2）解：在△AMC中，由勾股定理可得CM=√5。因為AM=2，AC=3，所以cos∠MAC=1/3。代入余弦定理可得CM2=AC2+AM2-2AC·AM·cos∠MAC=5-2/3=13/3。因此，AM⊥MC，進而得到CM⊥AD。由于PA⊥底面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD。因此，CM⊥平面PAD，從而平面PNM⊥平面PAD。在平面PAD內(nèi)，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角。通過求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值。在平面PAD內(nèi)，過點A作AF⊥PM，交PM于點F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角。在直角三角形PAC中，由于N是PC的中點，因此AN=AC/2。在直角三角形PAM中，由于PA·AM=PM·AF，因此AF=PM·AF/AM=2PF。因此，sin∠ANF=AF/NF=2PF/NF。【點評】本題考查了直線與平面的平行判定，直線與平面所成角的求法，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，以及空間想象能力和計算能力，難度中等。已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A、B兩點，交C的準線于P、Q兩點。（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程?！究键c】J3：軌跡方程；K8：拋物線的性質(zhì)?！痉治觥浚á瘢┻B接RF、PF，利用等角的余角相等，證明∠PRA=∠PQF，即可證明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求出N的坐標，利用點差法求出AB中點的軌跡方程?！窘獯稹浚á瘢┳C明：連接RF、PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，因此∠PFQ=90°。由于R是PQ的中點，因此RF=RP=RQ，所以△PAR≌△FAR，從而∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA。由于∠BQF+∠BFQ=180°-∠QBF=∠PAF=2∠PAR，因此∠FQB=∠PAR，所以∠PRA=∠PQF，從而AR∥FQ。（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（0，√0）（因為焦點在y軸上且y2=2x2），準線為x=-1。設(shè)直線AB與x軸交點為N，則N的坐標為（(x1+x2)/2，0）。因為△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，因此2|FN|=1，即FN=1/2。因此，AB中點M的坐標為((x1+x2)/2，(y1+y2)/2)，所以軌跡方程為y2=x-1?！军c評】本題考查了拋物線的方程與性質(zhì)，軌跡方程，以及計算能力，難度中等。設(shè)函數(shù)$f(x)=a\cos^2x+(a-1)(\cosx+1)$，其中$a>1$，記$|f(x)|$的最大值為$A$。（Ⅰ）求$f'(x)$：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，$f'(x)=-2a\sin2x-(a-1)\sinx$。（Ⅱ）求$A$：當(dāng)$a\geq1$時，$|f(x)|=|a\cos^2x+(a-1)(\cosx+1)|\leqa|\cos^2x|+(a-1)|\cosx+1|\leqa|\cos^2x|+(a-1)(|\cosx|+1)\leqa+2(a-1)=3a-2=f(1)$，因此$A=3a-2$。當(dāng)$0<a<1$時，$f(x)=a\cos^2x+(a-1)(\cosx+1)=2a\cos^2x+(a-1)\cosx-1$，令$g(t)=2at^2+(a-1)t-1$，則$A$是$|g(t)|$在$[-1,1]$上的最大值，$g(-1)=a$，$g(1)=3a-2$，且當(dāng)$t=\frac{1-a}{4a}$時，$g(t)$取得極小值，極小值為$g\left(\frac{1-a}{4a}\right)=-\frac{1}{4a}$（二次函數(shù)在對稱軸處取得極值）。令$-1<t<1$，得$a<\frac{1}{4}$或$a>\frac{3}{4}$。①當(dāng)$0<a\leq\frac{1}{4}$時，$g(t)$在$(-1,1)$內(nèi)無極值點，$|g(-1)|=a$，$|g(1)|=2-3a$，$|g(-1)|<|g(1)|$，因此$A=2-3a$。②當(dāng)$\frac{1}{4}<a<1$時，由$g(-1)-g(1)=2(1-a)>0$，得$g(-1)>g(1)>g\left(\frac{1-a}{4a}\right)$，又$|g(1)|>|g\left(\frac{1-a}{4a}\right)|$，因此$A=|g(1)|$。綜上，$A=\begin{cases}3a-2,&a\geq1\\2-3a,&0<a\leq\frac{1}{4}\\3a-2,&\frac{1}{4}<a<1\end{cases}$。（III）證明：由（I）可得：$|f'(x)|=|-2a\sin2x-(a-1)\sinx|\leq2a+|a-1|$，當(dāng)$0<a\leq\frac{1}{4}$時，$|f'(x)|<1+a\leq2-4a<2(2-3a)=2A$，當(dāng)$\frac{1}{4}<a<1$時，$A=3a-2>1+a$，因此$|f'(x)|\leq1+a\leq2A$，當(dāng)$a\geq1$時，$|f'(x)|\leq3a-1\leq6a-4=2A$，綜上：$|f'(x)|\leq2A$。上，且PQ垂直于x軸，求PQ的長度的最小值．【考點】NC：參數(shù)方程與極坐標系的轉(zhuǎn)換．【專題】27：坐標系；36：參數(shù)方程；39：最值．【分析】（1）由題意，C1的參數(shù)方程為x=αcosα，y=αsinα，則可得C1的普通方程為y/x=tanα，C2的極坐標方程為ρsinθ=2cos，將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程可得y=2sinθ-ρcosθ，即C2的直角坐標方程為y=2sinθ-xcotθ；（2）設(shè)點P在C1上，坐標為（αcosα，αsinα），點Q在C2上，坐標為（ρcosθ，ρsinθ），則PQ的長度為√[(αcosα-ρcosθ)2+(αsinα-ρsinθ)2]，化簡得PQ2=α2+ρ2-2αρcos(α-θ)，由于PQ垂直于x軸，則有α-θ=π/2，代入上式得PQ2=α2+ρ2+2αρ，為求PQ的最小值，對PQ2求導(dǎo)數(shù)，令其為0，可得α=ρ，即PQ的長度最小值為2α．【解答】（1）C1的普通方程為y/x=tanα，C2的極坐標方程為ρsinθ=2cos，將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程可得y=2sinθ-xcotθ；（2）設(shè)點P在C1上，坐標為（αcosα，αsinα），點Q在C2上，坐標為（ρcosθ，ρsinθ），則PQ的長度為√[(αcosα-ρcosθ)2+(αsinα-ρsinθ)2]，化簡得PQ2=α2+ρ2-2αρcos(α-θ)，由于PQ垂直于x軸，則有α-θ=π/2，代入上式得PQ2=α2+ρ2+2αρ，為求PQ的最小值，對PQ2求導(dǎo)數(shù)，令其為0，可得α=ρ，即PQ的長度最小值為2α．【點評】