橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一） 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選修2-1

§2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第二章圓錐曲線與方程

橢圓雙曲線拋物線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：新課講解橢圓的定義:

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距。F1F2M思考：當(dāng)常數(shù)等于|F1F2

|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是什么？當(dāng)常數(shù)小于|F1F2

|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是什么？滿足幾個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓？[1]平面內(nèi)----這是前提[2]動(dòng)點(diǎn)M

到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2

的距離之和是常數(shù)2a

[3]常數(shù)2a

要大于焦距2cF1F2M滿足幾個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓？[1]平面內(nèi)----這是前提[2]動(dòng)點(diǎn)M

到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2

的距離之和是常數(shù)2a

[3]常數(shù)2a

要大于焦距2cF1F2M動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.動(dòng)點(diǎn)M沒(méi)有軌跡.OXYF1F2M步驟一：建立直角坐標(biāo)系步驟二：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)步驟三：列方程步驟四：化簡(jiǎn)方程求曲線方程的步驟:2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程步驟五：完備性檢驗(yàn)解：取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(

c,0)、(c,0).（想一想：下面怎樣化簡(jiǎn)？）由橢圓的定義，代入坐標(biāo)OxyMF1F2將方程移項(xiàng)后平方得：兩邊再平方得：由橢圓定義知：()()aycxycx22222=+-+++∴

這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)，這里

c2=a2-b2

.

如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，用類似的方法，可得出它的方程為：它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。兩邊同除以得：焦點(diǎn)在y軸：焦點(diǎn)在x軸：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1oFyx2FM12yoFFMx

F1（-c，0）、F2（c，0）

F1（0，-c）、F2（0，c）

注意理解以下幾點(diǎn)：①在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有的要求；

②在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，由于，所以可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上；③橢圓的三個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系是，其中大小不確定．（2），焦點(diǎn)在y軸上；（1），焦點(diǎn)在x軸上；課堂練習(xí).寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:思考：觀察圖，你能從中找出表示的線段嗎？由圖可知，變式一:將上題焦點(diǎn)改為(0，-4)、(0，4)，結(jié)果如何？變式二:將上題改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10，結(jié)果如何？

已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；例1.寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)焦點(diǎn)在X軸時(shí)，方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸時(shí)，方程為：變式1.橢圓焦距是4，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求標(biāo)準(zhǔn)方程。解：法1：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為∵

c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P∴……②∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

xyF1F2P聯(lián)立①②可求得：變式1.橢圓焦距是4，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求標(biāo)準(zhǔn)方程。解：法1：若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為∵

c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P∴……②∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

xyF1F2P法2：橢圓的定義求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：（1）先判斷焦點(diǎn)的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；（先定位）（2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a,b.

（后定量)法3：橢圓在坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)解方法一①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，∴a2＝1，b2＝9不合題意，即焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的方程不存在.②當(dāng)橢