初中全等三角形模型總結(jié)-全面完整版2018.5.23

初中全等三角形模型總結(jié)—全面完整版2018.5.23初中全等三角形模型總結(jié)——全面完整版（模型總結(jié)+精選例題+優(yōu)選練習(xí)題）一、公共邊模型在三角形中，如果兩個(gè)三角形有一條邊相等，則這兩個(gè)三角形可能全等。二、公共角模型在三角形中，如果兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等，則這兩個(gè)三角形可能全等。三、平行X型在平行四邊形中，如果一條對(duì)角線把它分成兩個(gè)全等的三角形，則這兩個(gè)三角形可能全等。四、非平行X型在梯形中，如果一條斜線把它分成兩個(gè)全等的三角形，則這兩個(gè)三角形可能全等。第一部分模型總結(jié)在三角形中，如果有兩個(gè)三角形的一條邊和一個(gè)角分別相等，則這兩個(gè)三角形可能全等。在三角形中，如果有兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和一條邊分別相等，則這兩個(gè)三角形可能全等。在平行四邊形中，如果兩個(gè)三角形有一條邊和一個(gè)角分別相等，則這兩個(gè)三角形可能全等。在梯形中，如果兩個(gè)三角形有一條邊和一個(gè)角分別相等，則這兩個(gè)三角形可能全等。在等腰三角形中，如果一個(gè)等腰三角形和它的子等腰三角形有一條邊和一個(gè)角分別相等，則這兩個(gè)三角形可能全等。在三角形中，如果一個(gè)三角形通過旋轉(zhuǎn)變成了另一個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形可能全等。第二部分精選例題例1．如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，F(xiàn)在DC的延長線上，AM=CF，F(xiàn)M交DA的延長線上于E.交BC于N,求證:AE=CN.思路分析：欲證AE=CN，找到兩個(gè)全等的三角形即可。由于已知AB∥CD，AD∥BC，可以找到兩對(duì)角相等。因此，可以證明△AME≌△FCN，從而得出AE=CN。例2.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過C的一條直線CE⊥AE于E，BD⊥CE的延長線于D，求證：AE=BD+DE.思路分析：觀察圖形，發(fā)現(xiàn)△ACE與△CBD可能全等。通過證明這兩個(gè)三角形全等，可以得出AE=BD+DE。例3．如圖，AD是△ABC的中線，DE，DF分別平分∠ADB和∠ADC，連接EF，求證：EF<BE+CF.思路分析：觀察圖形，發(fā)現(xiàn)BE，CF，EF不在一個(gè)三角形中，需要將它們集中在一個(gè)三角形中。通過將△BDE沿角平分線翻轉(zhuǎn)到△BEF上，可以得出EF<BE+CF。已知△ABD與△CBD相似，且BF⊥AC，求證：BF是BC的中線。證明：由相似可知，$\frac{AB}{BD}=\frac{CB}{BD}$，即$AB=CB$。又因?yàn)?BF\perpAC$，所以$\angleBFA=\angleCFB$，即$\triangleBFA\cong\triangleCFB$。因此，$BF=CF$。又因?yàn)?AB=CB$，所以$BF$是$BC$的中線。證畢。B4．已知：如圖，$AD$是$\angleBAC$的平分線，$DE\perpAB$，$DF\perpAC$，求證：$EF\parallelBC$。證明：因?yàn)?AD$是$\angleBAC$的平分線，所以$\angleBAD=\angleCAD$。又因?yàn)?DE\perpAB$，$DF\perpAC$，所以$\angleADE=\angleADF=90^\circ$。因此，$\triangleADE\cong\triangleADF$。因?yàn)?AD$為公共邊，所以$AE=AF$。又因?yàn)?\angleBAE=\angleCAF$，所以$\triangleABE\sim\triangleACF$。因此，$\frac{BE}{AB}=\frac{CF}{AC}$，即$BE\cdotAC=AB\cdotCF$。又因?yàn)?AE=AF$，所以$BE\cdotAC=AB\cdotCF=CE\cdotAB$。因此，$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}$，即$\triangleBEF\sim\triangleCEF$。因此，$\angleEBF=\angleECF$，即$EF\parallelBC$。證畢。C4.已知：如圖，$\triangleABC$中，$AB=AC$，$DB=DC$，$F$是$DA$延長線上的一點(diǎn)，求證：點(diǎn)$F$到$AB$，$AC$的距離相等。要證明$F$到$AB$和$AC$的距離相等，即證明$F$到$AB$的距離等于$F$到$AC$的距離。由于$AB=AC$，$DB=DC$，所以$BD$是$\triangleABC$中的中線，$BD\parallelAC$，$BD\parallelAB$。因此，$F$到$AB$的距離等于$FD$，$F$到$AC$的距離等于$FE$。由于$\triangleADF\cong\triangleAEF$（公共邊$AF$，$AD=AE$，$\angleADF=\angleAEF=90^\circ$），所以$FD=FE$，即點(diǎn)$F$到$AB$，$AC$的距離相等。B5.已知：如圖，在$\triangleABC$中，$AD$為$\angleA$的平分線，$E$為$BC$的中點(diǎn)，過$E$作$EF\parallelAD$交$AB$于$G$，交$CA$的延長線于$F$，求證：$BG=CF$。連接$AF$，$DG$，則$\triangleADF\cong\triangleEGF$（$AD=AE$，$\angleADF=\angleEGF$，$\angleAFD=\angleEGF$）。因此，$DF=EF$，$DG=BG$。又因?yàn)?\triangleACF\sim\triangleDCF$，所以$\dfrac{CF}{AC}=\dfrac{CF+AF}{AD}$，即$CF=\dfrac{AC\cdotAF}{AD-AC}$。同理，$\triangleABD\sim\triangleGBD$，所以$\dfrac{BG}{AB}=\dfrac{DG}{AD}$，即$BG=\dfrac{AB\cdotDG}{AD-AB}$。由于$AD=AC+CD=AC+CE=AC+BE$，$DG=EF$，$AB=2BE$，代入上式得$BG=CF$。C6.如圖，已知，在$\triangleABC$中，$\angleA=2\angleB$，$CD$是$\angleC$的平分線，求證：$BC=AC+AD$。在$\triangleACD$中，$\angleCAD=\angleACD$，所以$AD=CD\cdot\dfrac{\sin\angleCAD}{\sin\angleACD}=CD\cdot\dfrac{\sin\angleB}{\sin\angleC}$。由正弦定理得$AB=2R\sin\angleB$，$AC=2R\sin\angleC$，$BC=2R\sin\angleA=4R\sin\angleB$。因此，$BC=2AB=AC+AD$。A7.已知$BD=CE$，$AD=AE$，$\angle1=\angle2$，（1）說明$\triangleABC\cong\triangleACE$的理由？（2）$\angleD=\angleE$嗎？為什么？由已知條件，$BD=CE$，$AD=AE$，$\angle1=\angle2$，所以$\triangleABD\cong\triangleACE$（SAS），從而$AB=AC$，$\angleABD=\angleACE$，$BD=CE$。因此，$\triangleABC\cong\triangleACE$（SAS）。由于$\triangleABC\cong\triangleACE$，所以$\angleD=\angleE$。A8.如圖，將$\triangleABC$繞其頂點(diǎn)$A$順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$30^\circ$后，得$\triangleADE$。（1）$\triangleABC$與$\triangleADE$的關(guān)系如何？（2）求$\angleBAD$的度數(shù)。（1）$\triangleABC$經(jīng)過$30^\circ$的旋轉(zhuǎn)得到$\triangleADE$，因此$\triangleABC$與$\triangleADE$是旋轉(zhuǎn)同構(gòu)的，即$\triangleABC\cong\triangleADE$。（2）將$\triangleABC$繞$A$順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$30^\circ$得到$\triangleADE$，則$\angleBAC+\angleBAD=30^\circ$，$\angleBAC=\angleDAE$。因此，$\angleBAD=15^\circ$。A9.如圖所示：$\triangleABC\cong\triangleADC$，$\angleD=\angleB$，$AD=CB$，那么，$\angleDAC=\angleDCA$，$DA\parallelBC$。由已知條件，$\triangleABC\cong\triangleADC$，所以$AB=AC$，$\angleBAC=\angleCAD$，$BC=CD$。又因?yàn)?\angleD=\angleB$，$AD=CB$，所以$\triangleADB\cong\triangleCDA$（SAS），從而$\angleADB=\angleCAD$，$\angleBAD=\angleCDA$。因此，$\angleDAC=\angleDCA$。又因?yàn)?\triangleADB\cong\triangleCDA$，所以$DA\parallelBC$。B10.如圖所示：$BD\perpAB$，$ED\perpBD$，$AB=CD$，$BC=DE$。求證：$AC\perpCE$。連接$AE$，$EC$，$BD$，$BC$，$DE$。由已知條件，$AB=CD$，$BC=DE$，所以$\triangleABC\cong\triangleEDC$（SSS），從而$\angleABC=\angleEDC$，$\angleBAC=\angleEDC$。又因?yàn)?BD\perpAB$，$ED\perpBD$，所以$ED\parallelAC$。因此，$AC\perpCE$。C11.過$\triangleABC$的頂點(diǎn)$A$，在$\angleA$內(nèi)作任一射線，過$B$，$C$分別向此射線作垂線$BP$，$CQ$，$P$，$Q$為垂足，設(shè)$M$為$BC$中點(diǎn)。求證：$MP=MQ$。連接$AM$，$AP$，$AQ$，$BC$。由于$M$是$BC$的中點(diǎn)，所以$BM=MC$。又因?yàn)?BP\perpAP$，$CQ\perpAQ$，所以$\angleBPM=\angleAPM$，$\angleCQM=\angleAQM$。因此，$\triangleBPM\cong\triangleAPM$，$\triangleCQM\cong\triangleAQM$（$PM=AM$，$QM=AM$，$\angleBPM=\angleAPM$，$\angleCQM=\angleAQM$）。因此，$MP=MQ$。C13.如圖，$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$分別是$BC$，$AC$的中點(diǎn)，$F$是$\trian