北京永樂第二中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

北京永樂第二中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的不等式的解集為

(

)

A．

B．

C．

D． 參考答案：D2.對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x,y)、B(x，y)，定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.給出下列三個(gè)命題：①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.其中真命題的個(gè)數(shù)為A.0

B.1 C.2

D.3參考答案：B3.設(shè)f（x）是R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，若x1＜0且x1+x2＞0，則（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2） B．f（﹣x1）=f（﹣x2）C．f（﹣x1）＜f（﹣x2） D．f（﹣x1）與f（﹣x2）大小不確定參考答案：A【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．

【專題】綜合題．【分析】先利用偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性得出f（x）在（﹣∞，0）上是增函數(shù)；然后再利用x1＜0且x1+x2＞0把自變量都轉(zhuǎn)化到區(qū)間（﹣∞，0）上即可求出答案．【解答】解：f（x）是R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)故

在（﹣∞，0）上是增函數(shù)因?yàn)閤1＜0且x1+x2＞0，故0＞x1＞﹣x2；所以有f（x1）＞f（﹣x2）．又因?yàn)閒（﹣x1）=f（x1），所以有f（﹣x1）＞F（﹣x2）．故選

A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．抽象函數(shù)是相對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．抽象函數(shù)的抽象性賦予它豐富的內(nèi)涵和多變的思維價(jià)值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創(chuàng)新精神．4.已知函數(shù)的值域?yàn)?，且圖像在同一周期內(nèi)過兩點(diǎn)，則的值分別為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】先利用可求出的值，再利用、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為周期的一半，計(jì)算出周期，再由可計(jì)算出的值，從而可得出答案?！驹斀狻坑深}意可知，，、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為周期的一半，則，，因此，，，故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的解析式的求解，求解步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據(jù)題中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：將對(duì)稱中心點(diǎn)和最高、最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，若選擇對(duì)稱中心點(diǎn)，還要注意函數(shù)在該點(diǎn)附近的單調(diào)性。5.在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球，現(xiàn)從甲乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球，球的標(biāo)號(hào)分別記做a，b，每個(gè)球被取出的可能性相等，則|a﹣b|≤1的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】計(jì)算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】所有的數(shù)對(duì)（a，b）共有5×5=25個(gè)，而滿足|a﹣b|≤1的數(shù)對(duì)用列舉法求得有13個(gè)，由此求得所求事件的概率．【解答】解：所有的數(shù)對(duì)（a，b）共有5×5=25個(gè)，而滿足|a﹣b|≤1的數(shù)對(duì)（a，b）有（1，1），（1，2），（2，1）、（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5）共計(jì)13個(gè)，故|a﹣b|≤1的概率為故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考主要查古典概型問題，可以列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，列舉法，是解決古典概型問題的一種重要的解題方法，屬于基礎(chǔ)題．6.變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()A．r2<0<r1

B.0<r2<r1

C.r2<r1<0

D．r2＝r1參考答案： A因?yàn)樽兞縓與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；所以Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)正相關(guān)，即因?yàn)閁與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，所以U與V之間的線性相關(guān)系數(shù)負(fù)相關(guān)，即因此選A.

7.在數(shù)列中，，，則

（

）A． B． C． D．參考答案：C8.設(shè),,,則有(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.已知函數(shù)g（x）=ax﹣f（x）（a＞0且a≠1），其中f（x）是定義在[a﹣6，2a]上的奇函數(shù)，若g(﹣1)=，則g（1）=（）A．0 B．﹣3 C．1 D．﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得出a=2，再結(jié)合函數(shù)解析式、計(jì)算的定義，即可求出g（1）的值．【解答】解：奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；∴a﹣6=﹣2a∴a=2；∵，函數(shù)g（x）=2x﹣f（x），∴+g（1）=﹣f（﹣1）+2﹣f（1），∵f（x）是定義在[a﹣6，2a]上的奇函數(shù)，則f（﹣1）+f（1）=0，∴g（1）=0，故選A．【點(diǎn)評(píng)】考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，原點(diǎn)處的函數(shù)值為0，以及已知函數(shù)求值的方法．10.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且滿足，若．則在下列區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)的是

（A)（1，3)

(B)(3,5)

(C)(2,4)

(D)(3,4)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則=

．參考答案：12.設(shè)為空間的兩條直線，為空間的兩個(gè)平面，給出下列命題：（1）若m∥,m∥

,則∥；

（2）若⊥，⊥β，則∥;（3）若∥，∥，則∥；

（4）若⊥，⊥，則∥;上述命題中，所有真命題的序號(hào)是

▲

．參考答案：（2）（4）13.給出下列命題：①若，則；②若，，則；③若，則；④；⑤若，，則，；⑥正數(shù)，滿足，則的最小值為．其中正確命題的序號(hào)是__________．參考答案：②③④⑤①令，，，，，不符合．②若，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），又，，∴，綜上，．③若，則，，因此，，故③正確．④，，故④正確．⑤若，，∴，則，∴，，⑤正確．⑥正數(shù)，滿足，則，，⑥錯(cuò)，∴②③④⑤正確．14.方程解的個(gè)數(shù)為__________．參考答案：2略15.

.參考答案：— 14.15.16.16.已知x，y滿足，則z=2x﹣y的最小值

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出y=2x，的圖象，平移函數(shù)y=2x，由圖象知當(dāng)曲線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，曲線在y軸上的截距最大，此時(shí)z最小，由得，即A（1，3），此時(shí)z=21﹣3=﹣1，故答案為：﹣1．17.不等式的解集為

▲

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.本小題滿分12分）隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖.（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;（Ⅱ）計(jì)算甲班的樣本方差參考答案：(1)乙

（2）57.2

略19.已知兩個(gè)不共線的向量a，b滿足，，．（1）若，求角θ的值；（2）若與垂直，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)不同的θ使得成立，求正數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）（2）（3）【分析】（1）由題得，再寫出方程的解即得解；（2）先求出，再利用向量的模的公式求出；（3）等價(jià)于在有兩解，結(jié)合三角函數(shù)分析得解.【詳解】（1）由題得所以角的集合為.（2）由條件知，，又與垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有兩解，結(jié)合三角函數(shù)圖象可得，，即，又因?yàn)?，所?即m的范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行垂直的坐標(biāo)表示，考查向量的模的計(jì)算，考查三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.20.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）求的函數(shù)解析式；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，，又，所以的函數(shù)解析式為．（2）當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以恒成立，恒成立，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即

21.對(duì)于給定數(shù)列{cn}，如果存在實(shí)常數(shù)p，q使得cn+1=pcn+q對(duì)于任意n∈N*都成立，我們稱數(shù)列{cn}是“Q類數(shù)列”．（1）若an=3n，bn=3?5n，n∈N*，數(shù)列{an}、{bn}是否為“Q類數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p，q，若不是，請說明理由；（2）證明：若數(shù)列{an}是“Q類數(shù)列”，則數(shù)列{an+an+1}也是“Q類數(shù)列”；（3）若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+an+1=3t?2n（n∈N*），t為常數(shù)．求數(shù)列{an}前2015項(xiàng)的和．并判斷{an}是否為“Q類數(shù)列”，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）an=3n，則an+1=an+3，n∈N*．由bn=3?5n，n∈N*，可得bn+1=5bn，n∈N*．利用“Q類數(shù)列”定義即可判斷出；（2）若數(shù)列{an}是“Q類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q，使得an+1=pan+q對(duì)于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q對(duì)于任意n∈N*都成立，即可證明；（3）an+an+1=3t?2n（n∈N*），t為常數(shù)，可得a2+a3=3t?22，a4+a5=3t?24，…，a2014+a2015=3t?22014．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得數(shù)列{an}前2015項(xiàng)的和S2015=2+t?．若數(shù)列{an}是“Q類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q．使得an+1=pan+q對(duì)于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q對(duì)于任意n∈N*都成立，因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q對(duì)于任意n∈N*都成立，可得3t?2n+1=3t?2n+2q對(duì)于任意n∈N*都成立，可以得到t（p﹣2）=0，q=0，分類討論即可得出．【解答】（1）解：∵an=3n，則an+1=an+3，n∈N*，故數(shù)列{an}是“Q類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1，3．∵bn=3?5n，n∈N*，則bn+1=5bn，n∈N*．故數(shù)列{bn}是“Q類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為5，0．（2）證明：若數(shù)列{an}是“Q類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q，使得an+1=pan+q對(duì)于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q對(duì)于任意n∈N*都成立，因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q對(duì)于任意n∈N*都成立，故數(shù)列數(shù)列{an+an+1}也是“Q類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為p，2q．（3）解：an+an+1=3t?2n（n∈N*），t為常數(shù)，則a2+a3=3t?22，a4+a5=3t?24，…，a2014+a2015=3t?22014．故數(shù)列{an}前2015項(xiàng)的和S2015=2+3t（22+24+…+22014）=2+=2+t?．若數(shù)列{an}是“Q類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q．使得an+1=pan+q對(duì)于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q對(duì)于任意n∈N*都成立，因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q對(duì)于任意n∈N*都成立，而，且an+1+an+2=3t?2n+1，則3t?2n+1=3t?2n+2q對(duì)于任意n∈N*都成立，可以得到t（p﹣2）=0，q=0，（1）當(dāng)p=2，q=0時(shí)，an+1=2an，，t=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．（2）當(dāng)t=0，q=0時(shí)，an+1=﹣an，an=2（﹣1）n﹣1，p=﹣1經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．因此當(dāng)且僅當(dāng)t=1或t=0，時(shí)，數(shù)列{an}也是“Q類數(shù)列”．對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2，0，或﹣1，0．22.已知函數(shù)（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；（2）若f（x）的定義域?yàn)閇α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）在定義域上的增減性，并加以證明；（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域?yàn)閇logmm（β﹣1），logmm（α﹣1）]的定義域區(qū)間[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【專題】綜合題．【分析】（1）先求得f（x）的定義域?yàn)椋ī仭?，?）∪（3，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．再驗(yàn)證，從而可得f（x）為奇函數(shù)；（2）f（x）的定義域?yàn)閇α，β]（β＞α＞0），則[α，β]?（3，+∞）．設(shè)x1，x2∈[α，β]，則x1＜x2，且x1，x2＞3，作差f（x1）﹣f（x2）==，從而可知當(dāng)0＜m＜1時(shí)，logm，即f（x1）＞f（x2）；當(dāng)m＞1時(shí)，logm，即f（x1）＜f（x2），故當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）為減函數(shù)；m＞1時(shí)，f（x）為增函數(shù)．

（3）由（1）得，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在[α，β]為遞減函數(shù)，故若存在