平面向量培優(yōu)訓(xùn)練

平面向量培優(yōu)訓(xùn)練一、三點(diǎn)共線定理在平面內(nèi)，若三點(diǎn)A、B、P共線，則對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)O，存在唯一的一對實(shí)數(shù)x、y，使得OP=xOA+yOB且x+y=1。例如，在下圖中，設(shè)P、Q、R、S為線段AB的五等分點(diǎn)，則OP=OA+OB，OQ=OA+2OB，OR=OA+3OB，OS=OA+4OB。例1：在△ABC中，AN=1/3NC，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，若AP=3mAB/2+2AC，則m=1/11。例2：在△ABC中，AM:AB=1:3，AN:AC=1:4，BN與CM相交于點(diǎn)P，且AB=a，AC=b，求AP。例3：在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若AB=mAM，AC=nAN，則m+n=1。二、三角形面積比問題1.若O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AO=mAB+nAC（0<m<1,0<n<1），則△OAC:△ABC=m:1-n-m,△OAB:n,△OBC:1-n-m。2.若mOA+nOB+pOC=k（k≠0,m+n+p≠0），則△OBC:m,△OAC:n,△OAB:p,△ABC:(m+n+p)/k。例4：設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，且S△ABC:S△AOC=1:2，求S△BOC:S△ABC。例5：已知點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5AM=2AB，求S△AMB:S△ABC。練習(xí)：在△ABC所在平面上一點(diǎn)P滿足S△PAB:S△ABC=1:3，求S△PBC:S△ABC。1.設(shè)點(diǎn)O在三角形ABC的內(nèi)部，且滿足AB+AC=BC，則三角形AOB的面積與三角形ABC的面積之比為2。如果點(diǎn)M是三角形ABC所在平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，并且滿足MA+MB=MC，則三角形ABM的面積與三角形ABC的面積之比為3。2.已知O是正三角形ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，并且滿足AO:BO:CO=1:2:3。如果三角形OAB的面積與三角形OBC的面積之比為3，則CO:BO:AO=3:2:1。3.向量中的最值問題：基本不等式：對于任意實(shí)數(shù)a和b，有a+b≥2ab。二次函數(shù)、三角函數(shù)最值問題。例6：已知向量a、b、c在同一平面內(nèi)，其中b和c是相互垂直的單位向量，并且a?b=-1。求||a+2b+3c||的最大值。例7：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0)，E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且||EF||=2。求||AE+BF||的最小值。例8：如圖所示，在三角形ABC中，AD=DB，F(xiàn)在線段CD上，且AF:FB=1:2，CF:FD=2:1。求||AE+BF||的最小值。練習(xí)：1.已知點(diǎn)P在圓x^2+y^2=1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，O為原點(diǎn)。求向量OP?OA的最大值。2.已知向量a=(cosθ,sinθ)，b=(1,-1)。求|2a-b|的最大值。3.已知向量a=(2,2)，b=(4,1)，在x軸上一點(diǎn)P，使得向量AP+BP有最小值。求點(diǎn)P的坐標(biāo)。4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果直線y=k(x-3)上存在一點(diǎn)P，圓x^2+(y-1)^2=1上存在一點(diǎn)Q，并且PQ=3。求實(shí)數(shù)k的最小值。5.在直角三角形ABC中，AB=1，AC=2，M是三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，并且MA+MB=2MC。如果，則λ+2μ的最大值為多少？6.在三角形ABC中，O是中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AM=2。求|