2022～2022年北京市各區(qū)期末考試（包括期中）模擬試題分類解析二創(chuàng)新題1

二十、創(chuàng)新題1.（2022年西城區(qū)高三期末考試文8）有限集合中元素的個數(shù)記作.已知，，，，且，.若集合滿足，且，，則集合的個數(shù)是（A）A．B.C.D.2.（2022年海淀區(qū)高三期末考試文8）點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離.已知點，圓：，那么平面內(nèi)到圓的距離與到點的距離之差為1的點的軌跡是（D）A．雙曲線的一支B.橢圓C.拋物線D.射線3.（2022年西城區(qū)高三期末考試?yán)?）已知點．若曲線上存在兩點，使為正三角形，則稱為型曲線．給定下列三條曲線：①；②；③．其中，型曲線的個數(shù)是（C）A．B.C.D.4.（2022年海淀區(qū)高三期末考試?yán)?）點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離，那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是(D)A．圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線5.（2022年朝陽區(qū)高三期末考試?yán)?）已知集合,.若存在實數(shù)使得成立,稱點為“￡”點，則“￡”點在平面區(qū)域內(nèi)的個數(shù)是(A)A．0B.1C6.（2022年朝陽區(qū)高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試?yán)?）設(shè)集合，在上定義運算：，其中為被4除的余數(shù)，，則使關(guān)系式成立的有序數(shù)對的組數(shù)為（A）A．B.C.D.7.（2022年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)(一)文3）設(shè)函數(shù)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)：取函數(shù)，在下列區(qū)間上單調(diào)遞減的是（D）A.B.C.D.8.（2022年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)(一)理6）規(guī)定若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（D）.2C9.（2022年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)(一)理7）若，，定義：，例如：=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)=-120,則函數(shù)的奇偶性為（A）A.是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)10.（2022年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)(一)理8）非空集合關(guān)于運算滿足：（1）對任意、，都有；（2）存在，使得對一切，都有，則稱關(guān)于運算為“融洽集”?，F(xiàn)給出下列集合和運算：①{非負(fù)整數(shù)}，為整數(shù)的加法；②{偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法；③{平面向量}，為平面向量的加法；④{二次三項式}，為多項式的加法。其中關(guān)于運算為“融洽集”的是（B）A.①②B.①③ C.②③D.②④11.（順義區(qū)2022屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示8）對于任意，表示不超過的最大整數(shù)，如.定義上的函數(shù)，若，則中所有元素的和為（B）B.58C.63分析：，，，，，，，12.（順義區(qū)2022屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示文8）對于任意，表示不超過的最大整數(shù)，如.定義上的函數(shù)，若，則中所有元素的和為（B）B.15C.1713.（2022年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)(一)文3）已知定義域為的函數(shù)，若對于任意，存在正數(shù)，都有成立，那么稱函數(shù)是上的“倍約束函數(shù)”，已知下列函數(shù)：①；②；③；④，其中是“倍約束函數(shù)”的是_____________．（將你認(rèn)為正確的函數(shù)序號都填上）答案：①④。14.（2022年東城區(qū)高三示范校高三綜合練習(xí)(一)理13）定義在上的運算：，若不等式對一切實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.答案：。15.（2022年西城區(qū)高三期末考試?yán)?4）有限集合中元素的個數(shù)記作.已知，，，，且，.若集合滿足，則集合的個數(shù)是_____；若集合滿足，且，，則集合的個數(shù)是_____.（用數(shù)字作答）答案：，.16.（2022年昌平區(qū)高三期末考試?yán)?4）設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在與無關(guān)的正常數(shù)，使對一切實數(shù)均成立，則稱為有界泛函.在函數(shù)①，②，③，④，⑤中，屬于有界泛函的有__________(填上所有正確的序號).答案：①③⑤。17.（2022年西城區(qū)高三期末考試文14）設(shè)，不等式組所表示的平面區(qū)域是．給出下列三個結(jié)論：①當(dāng)時，的面積為；②，使是直角三角形區(qū)域；③設(shè)點,對于有．其中，所有正確結(jié)論的序號是______．答案：①、③.18.（2022年朝陽區(qū)高三期末考試?yán)?4）已知兩個正數(shù),可按規(guī)則擴充為一個新數(shù),在三個數(shù)中取兩個較大的數(shù),按上述規(guī)則擴充得到一個新數(shù)，依次下去，將每擴充一次得到一個新數(shù)稱為一次操作.（1）若,按上述規(guī)則操作三次,擴充所得的數(shù)是__________；（2）若，經(jīng)過6次操作后擴充所得的數(shù)為（為正整數(shù)），則的值分別為______________.答案：19.（2022年昌平區(qū)高三期末考試文20）是具有以下性質(zhì)的函數(shù)的全體：對于任意，，都有，，且.（I）試判斷函數(shù)，是否屬于？（II）證明：對于任意的，且都有；（III）證明：對于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)時，.解：(Ⅰ)由題意可知，若成立則即與已知任意，即相矛盾，故；……2分若成立則即，即成立…..4分故.綜上，，.……5分(II)當(dāng)時，當(dāng)時，故.……9分(III)據(jù)（II），且必有（*）①若，令，則時；②若則存在，使由（*）式可得即當(dāng)綜①、②命題得證。…13分20.（2022年海淀區(qū)高三期末考試文20）若集合具有以下性質(zhì)：①，；②若，則，且時，.則稱集合是“好集”.（Ⅰ）分別判斷集合，有理數(shù)集是否是“好集”，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)集合是“好集”，求證：若，則；（Ⅲ）對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.命題：若，則必有；命題：若，且，則必有；解：（Ⅰ）集合不是“好集”.理由是：假設(shè)集合是“好集”.因為，，所以.這與矛盾.…2分有理數(shù)集是“好集”.因為，,對任意的，有，且時，.所以有理數(shù)集是“好集”.……4分（Ⅱ）因為集合是“好集”，所以.若，則，即.所以，即.………7分（Ⅲ）命題均為真命題.理由如下：………9分對任意一個“好集”，任取，若中有0或1時，顯然.下設(shè)均不為0，1.由定義可知：.所以，即.所以.由（Ⅱ）可得：，即.同理可得.若或，則顯然.若且，則.所以.所以.由（Ⅱ）可得：.所以.綜上可知，，即命題為真命題.若，且，則.所以，即命題為真命題.………14分21.（2022年西城區(qū)高三期末考試?yán)?0）已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.（Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項取出，構(gòu)成數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.（Ⅰ）解：.…3分（Ⅱ）證法一：證明：由已知，，.因此，猜想.…4分①當(dāng)時，，猜想成立；②假設(shè)時，.當(dāng)時，故當(dāng)時猜想也成立.由①、②可知，對于任意正整數(shù)，有.………7分設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，則由以上結(jié)論可知，其中.由于為偶數(shù)，所以，所以，其中.因此，數(shù)列即是數(shù)列.…9分證法二：因為，，，……，由于為偶數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得即，.……7分由于，，根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”.……9分（Ⅲ）證法一：證明：設(shè)數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明即可.…10分由（Ⅱ）中結(jié)論可知，，所以，，即成等差數(shù)列，所以是等差數(shù)列.…13分證法二：因為，所以.所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可.…10分對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，因為，，，……，由于為奇數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得即.設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，因為，，所以，即成等差數(shù)列.同理可證，也成等差數(shù)列.即是等差數(shù)列.所以成等差數(shù)列.………13分22.（2022年海淀區(qū)高三期末考試?yán)?0）已知集合，若集合，且對任意的，存在，使得（其中），則稱集合為集合的一個元基底.（Ⅰ）分別判斷下列集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一個元基底，證明：；（Ⅲ）若集合為集合的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當(dāng)取最小值時的一個基底.解：（Ⅰ）①不是的一個二元基底.理由是；②是的一個二元基底.理由是，.………3分（Ⅱ）不妨設(shè)，則形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)至多有個；形如的正整數(shù)至多有個.又集合含個不同的正整數(shù)，為集合的一個元基底.故，即.…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.當(dāng)時，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個.*假設(shè)為的一個4元基底，不妨設(shè)，則.當(dāng)時，有，這時或.如果，則由，與結(jié)論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時，均不可能是的4元基底.當(dāng)時，的一個基底.綜上，的最小可能值為5.……14分23.（2022年東城區(qū)高三期末考試?yán)?0）已知是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意，①方程有實數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足．（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說明理由；（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為，則對于任，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個實數(shù)根；（Ⅲ）對任意，且，求證：對于定義域中任意的，，，當(dāng)，且時，.解：（Ⅰ）因為①當(dāng)時，，所以方程有實數(shù)根0；②，所以，滿足條件；由①②，函數(shù)是集合中的元素.…………5分（Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根，，則，.不妨設(shè)，根據(jù)題意存在，滿足.因為，，且，所以.與已知矛盾.又有實數(shù)根，所以方程有且只有一個實數(shù)根.…10分（Ⅲ）當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；當(dāng)，不妨設(shè).因為,且所以為增函數(shù)，那么.又因為，所以函數(shù)為減函數(shù)，所以.所以，即.因為，所以，（1）又因為，所以，（2）（1）（2）得即.所以.綜上，對于任意符合條件的,總有成立.……14分24.（2022年海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中練習(xí)文20）已知函數(shù)其中集合是非空數(shù)集.設(shè)，.（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）若，且函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，求集合；（Ⅲ）判斷命題“若，則”的真假，并說明理由.解：（Ⅰ）因為，，所以，.所以.……3分（Ⅱ）因為函數(shù)是的增函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，所以，.同理可知，.因為，所以.……6分（Ⅲ）原命題為真命題.理由如下：…8分假設(shè)存在，且，有.因為，若，則.所以，與矛盾.若且，則，.因為，所以，.所以，.由函數(shù)的定義可得：，即，與矛盾.所以命題“若，則”為真命題.…14分25.（2022年海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中練習(xí)理20）已知函數(shù)其中是非空數(shù)集，且，設(shè)，.（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得,且？若存在，請求出滿足條件的實數(shù)a；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）若，且，是單調(diào)遞增函數(shù)，求集合.解：（Ⅰ）因為，，所以，.所以.…3分（Ⅱ）若，則，不符合要求.所以，從而.因為，所以，得.若，則.因為，所以的原象且.所以得，矛盾！所以.此時可取，，滿足題意.……8分（Ⅲ）因為是單調(diào)遞增函數(shù)，所以對任意，有，所以.所以.同理可證：.若存在，使得，則，于是.記，，…所以.同理可知，…由得.所以.對于，取中的自然數(shù)，則.所以.綜上所述，滿足要求的必有如下表示：，，其中或者，，其中或者，或者，.……14分注：若直接寫出結(jié)論，且正確，給2分.26.（順義區(qū)2022屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示文20）已知函數(shù)，如果存在給定的實數(shù)對（），使得恒成立，則稱為“S-函數(shù)”.（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”；（Ⅱ）若是一個“S-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；（Ⅲ）若定義域為的函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，當(dāng)時，的值域為，求當(dāng)時函數(shù)的值域.解：（Ⅰ）若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)使得(a+x)(a-x)=b.即x2=a2-b時，對xR恒成立.而x2=a2-b最多有兩個解，矛盾.因此不是“S-函數(shù)”.………2分若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a,b使得，即存在常數(shù)對（a,32a因此是“S-函數(shù)”.………………4分（Ⅱ）是一個“S-函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對（a,b）滿足.則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.當(dāng)a=時，tan(a-x)tan(a+x)=-cot2(x)不是常數(shù).…………5分因此，時，則有.即恒成立.………………7分即.當(dāng),時，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1,因此滿足是一個“S-函數(shù)”的常數(shù)（a,b）=.…9分(Ⅲ)函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，于是即,……12分………13分因此為以2為周期的周期函數(shù).當(dāng)時，函數(shù)的值域為.…………14分說明：其它正確解法按相應(yīng)步驟給分.27.（順義區(qū)2022屆高三尖子生綜合素質(zhì)展示20）已知函數(shù)，如果存在給定的實數(shù)對（），使得恒成立，則稱為“S-函數(shù)”.（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”；（Ⅱ）若是一個“S-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；（Ⅲ）若定義域為的函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，當(dāng)時，的值域為，求當(dāng)時函數(shù)的值域.解：（Ⅰ）若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)，使得(a+x)(a-x)=b.即x2=a2-b時，對xR恒成立.而x2=a2-b最多有兩個解，矛盾，因此不是“S-函數(shù)”.……2分若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a,b使得，即存在常數(shù)對（a,32a因此是“S-函數(shù)”…4分（Ⅱ）是一個“S-函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對（a