函數(shù)的性質(zhì)綜合講義

函數(shù)的性質(zhì)綜合講義一、函數(shù)的單調(diào)性1.定義函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，如果都有f(x1)＜f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當x1＜x2時，如果都有f(x1)＞f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。2.單調(diào)區(qū)間若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間。單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“和”或“，”連結(jié)。3.定義變式設(shè)任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)。②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]＞?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]＜?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)。4.函數(shù)單調(diào)性的證明步驟（1）取值：設(shè)x1，x2是所研究的區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1x2。（2）作差：f(x1)f(x2)（3）變形：將f(x1)f(x2)通過因式分解、配方、通分、有理化等方法變形為有利于判斷它的符號的形式。（4）判斷符號。（5）結(jié)論。5.函數(shù)單調(diào)性的常見結(jié)論（1）函數(shù)y＝－f(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反；（2）函數(shù)f(x)與函數(shù)f(x)＋c（c為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性；（3）當c＞時，函數(shù)y＝cf(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相同；當c＜時，函數(shù)y＝cf(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反；（4）若f(x)≠0，則函數(shù)f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性；f(x)≥0，則函數(shù)f(x)與1/f(x)具有相同的單調(diào)性；（6）若f(x)和g(x)具有相同的單調(diào)性，則f(x)+g(x)和f(x)-g(x)具有相同的單調(diào)性；（7）若f(x)和g(x)具有相反的單調(diào)性，則f(x)-g(x)和f(x)+g(x)具有相同（與g(x)相反）的單調(diào)性?？键c一、函數(shù)單調(diào)性的判斷。下列四個函數(shù)中，在(0,+∞)上為增函數(shù)的是哪一個？解析：選C。當x>0時，f(x)=3-x為減函數(shù)；當x∈(-∞，+∞)時，f(x)=x^2-3x為減函數(shù)；當x∈(0，+∞)時，f(x)=-x/(x+1)為增函數(shù)；當x∈(0，+∞)時，f(x)=-|x|為減函數(shù)。討論函數(shù)f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的單調(diào)性。解：法一（定義法）：設(shè)-1<x1<x2<1，f(x)=a(x-1)/(x+1)，f(x1)-f(x2)=a(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)-a，由于-1<x1<x2<1，所以x2-x1>0，x1-1<0，x1-1<x2-1，x2-1>0，故(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)<0，即f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減；當a<0時，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞增。法二（導(dǎo)數(shù)法）：f'(x)=a(x+1)/(x+1)^2-a(x-1)/(x+1)^2=-2a/(x+1)^2。當a>0時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減；當a<0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞增。判斷函數(shù)y=(x+2)/(x+1)在(-1，+∞)上的單調(diào)性。解：法一：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2，則y1-y2=-1/(x1+1)+1/(x2+1)=-(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)<0。∴y1>y2，∴函數(shù)y=(x+2)/(x+1)在(-1，+∞)上單調(diào)遞減。法二：y'(x)=-1/(x+1)^2。由于y'(x)<0，函數(shù)y=(x+2)/(x+1)在(-1，+∞)上遞減。法二：因為$y=x+1$在$(-1,+\infty)$上是增函數(shù)，所以$y=1+\frac{1}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上是減函數(shù)?？键c二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例4、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)$y=-x^2+2|x|+1$；(2)$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$。解：(1)由于$y=\begin{cases}-x+2|x|+1,&x\geq0\\-x-2|x|+1,&x<0\end{cases}$在$(-1,+\infty)$上是減函數(shù)。即函數(shù)$y=1+\frac{1}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上單調(diào)遞減。畫出函數(shù)圖像如下圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,-1]$和$[0,1]$，單調(diào)遞減區(qū)間為$[-1,0]$和$[1,+\infty)$。(2)令$u=x^2-3x+2$，則原函數(shù)可以看作$y=\log_{\frac{1}{2}}u$與$u=x^2-3x+2$的復(fù)合函數(shù)。令$u=x^2-3x+2>0$，則$x<1$或$x>2$。所以函數(shù)$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$的定義域為$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$。又$u=x^2-3x+2$的對稱軸$x=\frac{3}{2}$，且開口向上。所以$u=x^2-3x+2$在$(-\infty,1)$上是單調(diào)減函數(shù)，在$(2,+\infty)$上是單調(diào)增函數(shù)。而$y=\log_{\frac{1}{2}}u$在$(0,+\infty)$上是單調(diào)減函數(shù)，所以$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)$的單調(diào)遞減區(qū)間為$(2,+\infty)$，單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,1)$。考點三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用常見的命題角度有：(1)求函數(shù)的值域或最值；(2)比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大??；(3)解函數(shù)不等式；(4)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值。角度一：求函數(shù)的值域或最值例4、函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2},&x\geq1\\-x+2,&x<1\end{cases}$的最大值為$\underline{\qquad}$。解析：當$x\geq1$時，函數(shù)$f(x)=\frac{x}{2}$是增函數(shù)，所以$f(x)$在$x=1$處取得最大值，為$f(1)=\frac{1}{2}$；當$x<1$時，易知函數(shù)$f(x)=-x+2$在$x=\frac{1}{2}$處取得最大值，為$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$。所以函數(shù)$f(x)$的最大值為$\frac{3}{2}$。角度二：比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小例5、已知函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=1$對稱，當$x_2>x_1>1$時，$[f(x_2)-f(x_1)](x_2-x_1)<0$恒成立，設(shè)$a=f(-1)$，$b=f(2)$，$c=f(e)$，則$a$，$b$，$c$的大小關(guān)系為$\underline{\qquad}$。解析：由于函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于直線$x=1$對稱，所以$f(0)=f(2)$，$f(-1)=f(3)$。又因為$x_2>x_1>1$，所以$2>x_1>1$，$3>x_2>1$。所以$[f(x_2)-f(x_1)](x_2-x_1)<0$恒成立等價于$f(2)-f(1)<0$，$f(3)-f(1)>0$，即$b<a<c$。所以選項為$\textbf{(C)}$。題目：給定函數(shù)y=x-x^2(x≥0)，求其最大值。解析：令t=x，則t≥0，所以y=t-t^2=-t^2+t，結(jié)合圖像可知，當t=0.5時，y取得最大值為0.25。三、函數(shù)的奇偶性1.奇函數(shù)定義如果函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)，其圖像特點是關(guān)于原點對稱。2.偶函數(shù)定義如果函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)，其圖像特點是關(guān)于y軸對稱。3.判斷奇偶性的方法（1）定義法：首先考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則繼續(xù)求f(-x)；最后比較f(-x)和f(x)的關(guān)系，如果有f(-x)=f(x)，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有f(-x)=-f(x)，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。(2)圖像法(3)性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”。4.函數(shù)奇偶性的函數(shù)特征(1)奇函數(shù)的圖像特征：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，其特點是f(x)=m時，f(-x)=-m。(2)偶函數(shù)的圖像特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，其特點是當f(x)=n時，f(-x)=n。(3)由函數(shù)圖像的對稱性可知：奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反。考點一、函數(shù)奇偶性的判斷例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=1-x^2+x^2-1；(2)f(x)=3-2x+2x-3；(3)f(x)=4-x^2，x>0；(4)f(x)=|x|，x∈R；(5)(易錯題)f(x)=|x+3|-3，x<0。解：(1)由f(-x)=f(x)可知，f(x)是偶函數(shù)；(2)由f(-x)=-f(x)可知，f(x)是奇函數(shù)；(3)由f(-x)=f(x)可知，f(x)是偶函數(shù)；(4)由f(-x)=f(x)可知，f(x)是偶函數(shù)；(5)當x<0時，f(-x)=|-x+3|-3=|x-3|-3=-f(x)，當x>-3時，f(-x)=|x+3|-3=f(x)，因此f(x)是奇函數(shù)。x3＋2x，求f（x）在[0，1]上的平均值。解析：由于f（x）是奇函數(shù)，故f（﹣x）＝﹣f（x），故f（0）＝0，所以f（x）在[0，1]上的平均值為：$\frac{1}{1-0}\int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2}\int_0^1(x^3+2x)dx=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=\frac{3}{8}$。1.解析：因為函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，所以必定有f(0)=0。此時f(x)=x，即f(x)=x，所以f(-x)=-x，證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。2.解析：已知函數(shù)的定義域為R，并且是奇函數(shù)，所以f(0)=0，即f(x)中不含常數(shù)項。由f(x)=ax+b，代入f(-x)=-f(x)得到-a(x)+b=-ax-b，解得a=0，所以f(x)=b，即f(x)是一個常數(shù)函數(shù)。3.解析：設(shè)x<0，則-x>0，所以f(-x)=-f(x)。又因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0。當x>0時，f(x)=x(1+1/x)=2x，所以f(-x)=-2x，代入f(-x)=-f(x)得到-2x=-2x，恒成立。所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。4.解析：因為函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，所以必定有f(0)=0。設(shè)x>0，則-x<0，所以f(-x)=-f(x)。又因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0。當x>0時，f(x)=x(1-1/x)=x-1，所以f(-x)=-(x-1)=-x+1，代入f(-x)=-f(x)得到-x+1=-x+1，恒成立。所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。5.解析：因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以必定有f(0)=0。設(shè)x>0，則-x<0，所以f(-x)=-f(x)。當x>0時，f(x)=x(1+1/x)=2x，所以f(-x)=-2x，代入f(-x)=-f(x)得到-2x=-2x，恒成立。所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。由f(x)=mx+n，代入f(0)=0得到n=0，所以f(x)=mx，即f(x)是一個一次函數(shù)。6.解析：由f(x)-g(x)=x^2-x，得到f(-x)-g(-x)=x^2+x，再代入f(-x)=-f(x)和g(-x)=g(x)，得到-f(x)-g(x)=x^2+x，聯(lián)立兩式得到f(x)=-x^2/2-x/2，g(x)=x^2/2-x/2，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)。7.解析：由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=x/2，得到f(x)=2f(x/2)，再令x=2^n，得到f(2^n)=2f(2^(n-1))=...=2^nf(1)，所以f(x)=xf(1)。又因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0，即f(1)=0，所以f(x)=0，即函數(shù)f(x)是一個零函數(shù)，為奇函數(shù)。解析：首先根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，f(0)=0。又因為f(x)是