初中數(shù)學湘教版九上4.1 第1課時 正弦 課件

4.1

正弦和余弦

第4章銳角三角函數(shù)第1課時正弦

為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上建一座揚水站，對坡面綠地進行噴灌.先測得斜坡的坡角(∠A)為30°，為使

出水口的高度達到

35m，需要準備多

長的水管？情境引入30°正弦的概念

從上述情境中，你可以發(fā)現(xiàn)一個什么數(shù)學問題呢？能否結合數(shù)學圖形把它描述出來？ABC30°35m?合作探究ABC30°35m

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求

AB.根據“直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半”，可知∴

AB=2BC=2×35=70(m).故需要準備70m長的水管.如果出水口的高度為50m，那么需要準備多長的水管？

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么無論這個直角三角形大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于.歸納：

任意畫Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關系？你能解釋一下嗎？ABCA'B'C'因為∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.所以

這說明，在有一個銳角等于

α

的所有直角三角形中，角α

的對邊與斜邊的比值是一個常數(shù)，與直角三角形的大小無關.歸納：

如圖，在直角三角形中，我們把銳角

α

的對邊與斜邊的比叫作∠

α

的正弦，記作sin

α

，即例如，當∠α

＝30°

時，我們有α

cab對邊斜邊歸納：

角

α

的對邊斜邊sin

α

=(2)∠B的對邊是

AC，根據勾股定理，得

AC2=AB2-

BC2=52-

32=16.

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5.（1）求sinA

的值；（2）求sinB的值.ABC53典例精析解：(1)∠A的對邊

BC=3，斜邊

AB=5，于是因此于是

AC

=

4.sinA=()

sinA=()

1.如圖，判斷對錯：A10m6mBC√×練一練sinB=()

×sinA=0.6()

sinB=0.8()

√√2.在Rt△ABC中，銳角A的對邊和斜邊同時擴大100倍，sinA的值()A.擴大100倍B.縮小C.不變D.不能確定C例

2

如圖，在平面直角坐標系內有一點P(3，4)，連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值.解：如圖，過點

P

作

PA⊥x軸于點

A，則點A(3，0)，AP=4．A(3，0)在Rt△APO中，由勾股定理得因此α方法總結：結合平面直角坐標系求某角的正弦函數(shù)值，一般過已知點向

x軸或

y軸作垂線，構造直角三角形，再結合勾股定理求解.如圖，已知點P的坐標是(a，b)，則sinα等于()OxyP(a，b)αA.B.C.D.練一練D正弦的簡單應用例3

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面積.ABC提示：已知sinA

及∠A的對邊BC的長度，可以求出斜邊AB的長，然后再利用勾股定理，求出AC的長度，進而求出sinB及Rt△ABC的面積.解：∵∠C=90°，∴∴

AB=3BC=3×3=9.∴∴∴

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，則BC=ck，AC=ch.

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，則AB=AC=歸納：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則

AB的長為

()DA.4B.6C.8D.102.

在△ABC

中，∠C

=90°，如果sin

A=，AB

=

6，那么

BC

=_____.2練一練例

4

在△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

24

cm，sinA

=，求這個三角形的周長．解：由sinA=，設

BC=7xcm，則

AB=25xcm.即24x=24，解得x=1.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.∴△ABC的周長為BC+AC+AB=7+24+25=56(cm).在Rt△ABC中，由勾股定理得方法總結：已知一邊及其鄰角的正弦值時，一般需結合方程思想和勾股定理解決問題.1.在直角三角形ABC中，若三邊長都擴大為原來的2倍，則銳角A的正弦值將

(

)A.擴大為原來的2倍B.不變

C.縮小為原來的D.無法確定B2.如圖，在△ABC中，∠B=90°，sinA的值為(

)7ACB3A.B.

C.D.A3.如圖，在正方形網格中有△ABC，則sin∠ABC

的值為

.解析：∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2＝BC2＋AC2．∴∠ACB＝90°．∴

sin∠ABC＝5.如圖，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=，求△ABC的面積.D55CBA解：作

BD⊥AC于點

D．∵sin

A=，∴又∵AB

=AC，BD⊥AC，∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC·BD÷2=12.6.

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB.(1)sinB可以由哪兩條