全微分方程的解法課件

恰當(dāng)方程（全微分方程）

一、概念

二、全微分方程的解法恰當(dāng)方程（全微分方程）一、概念1全微分方程的解法課件2

一、概念若有全微分形式則稱為全微分方程。定義:例1：所以是全微分方程.方程是否為全微分方程？解：通解則為（C為任意常數(shù)）。一、概念若有全微分形式則稱為全微分方程。定義:例1：所以3全微分方程的解法課件4問題:（1）如何判斷全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（3）如何轉(zhuǎn)化為全微分方程？定理1設(shè)函數(shù)

和

在一個矩形區(qū)域是全微分方程中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則

（1）證明必要性

證明：

因為是全微分方程，問題:（1）如何判斷全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（5則存在原函數(shù)，使得

所以

將以上二式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得到

又因為偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，

，即

所以

則存在原函數(shù)，使得

所6（2）證明充分性

設(shè)

，求一個二元函數(shù)使它滿足

即由第一個等式，應(yīng)有

代入第二個等式，應(yīng)有

這里（2）證明充分性

設(shè)

，求一個二元函數(shù)使它滿足

7因此，則因此可以取此時

這里由于，故曲線積分與路徑無關(guān)。因此因此，則因此可以取此時這里由于8

二、全微分方程的解法(1)線積分法:或(2)偏積分法第一個等式對積分

二、全微分方程的解法(1)線積分法:或(2)偏積分法9代入第二個等式求

，即可得

(3)湊微分法直接湊微分得

例2：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。由于

解：代入第二個等式求

，即可得

(3)湊微分法直接湊微分得

例210所以方程為全微分方程。(1)線積分法:故通解為所以方程為全微分方程。(1)線積分法:故通解為11(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有代入可得因此從而即(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有代入可得因12(3)湊微分法:由于

方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗,原方程可寫為(3)湊微分法:由于方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)13例3：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。

由于

解：

所以方程為全微分方程。(1)線積分法:例3：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。由于解：所以14故通解為(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有

所以從而即故通解為(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有所以15(3)湊微分法:方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗,原方程可寫為練習(xí)：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。方程的通解為：

(3)湊微分法:方程的通解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗,原16積分因子法

一、概念

二、積分因子的求法積分因子法一、概念17一、定義:0),(1yxm連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成為全.微分方程則稱),(yxm為方程的積分因子.例1驗證是方程的積分因子，并求方程的通解。

解：是全微分方程。方程通解為一、定義:0),(1yxm連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(181.公式法:求解不容易特殊地:(兩邊同除)a.當(dāng)只與有關(guān)時，

二、積分因子的求法1.公式法:求解不容易特殊地:(兩邊同除)a.當(dāng)19b.當(dāng)只與有關(guān)時，b.當(dāng)只與有關(guān)時，202.觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達(dá)式2.觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達(dá)式21一般可選用的積分因子有等。可選用的積分因子有可選用的積分因子有一般可選用的積分因子有等?？蛇x用的積分因子有可選用的積分因子22例2解則原方程成為.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解為例2解則原方程成為.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解232.觀察法:將方程左端重新組合,有可選用