推廣23年乙卷導數壓軸的八種方式（原卷版）

推廣23年乙卷導數壓軸的八種方式1.圖像交點個數與轉化典例（2023年乙卷21題）.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在，使得曲線關于直線對稱，若存在，求的值，若不存在，說明理由.（3）若在存在極值，求的取值范圍.推廣1.圖像交點個數與零點轉化例1．已知且，函數．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．

基本原理：1.已知，且的兩個具體的根，求根的個數，或者根據解的個數求參數范圍.解法剖析：換元，最終轉化為根的個數，這類問題由于一元二次方程的根最終可以求解，所以實際就轉化成函數作圖后找到交點個數，或者根據交點個數求參數即可，且知一元二次型方程根的個數，求參數的取值范圍.解法剖析：換元，最終轉化為一元二次方程根的分布.3.一元二次方程根的分布對一元二次方程（其中）和二次函數，有：（1）方程的個根都比小的充要條件是（2）方程的個根都比大的充要條件是（3）方程的一根都在內，另一根在內的充要條件是（4）方程的個根都在內的充要條件是（5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要條件是.（6）方程的個根都在外，且一根比小，另一根比大的充要條件是4.求解復合函數零點問題的技巧:（1）此類問題與函數圖象結合較為緊密，在處理問題的開始要作出的圖像（2）若已知零點個數求參數的范圍,則先估計關于的方程中解的個數，再根據個數與的圖像特點,分配每個函數值被幾個所對應,從而確定的取值范圍,進而決定參數的范圍.二．典例分析例1.函數，方程有6個不同的實根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．例2．已知函數，關于的方程有三個不相等的實數根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．

推廣3.函數的對稱性與零點問題一．基本原理1點關于點對稱：點關于對稱的點坐標為，一般地，若點關于直線對稱的點為，可連接交于點，則垂直平分，所以，且為的中點，又因為在直線上，可得.進一步，我們可以通過上式算得：點關于直線對稱的點的坐標可計算為.特別地：（1）點關于直線對稱的點為（2）點關于直線對稱的點為（3）點關于直線對稱的點為性質1.軸對稱:函數圖象關于一條垂直于軸的直線對稱，則當函數圖象上任意兩個點到直線的距離相等且函數值時.我們就稱函數關于對稱.代數表示:(1).(2).即當兩個自變量之和為一個定值，函數值相等時,則函數圖像都關于直線對稱.一般地，若函數滿足，則函數的圖象關于直線對稱.特別地，偶函數(關于軸對稱)，，即當橫坐標到原點的距離相等(橫坐標互為相反數），函數值相等.性質2.中心對稱：函數上任意一點（）關于點對稱的點（）也在函數圖像上，此時我們就稱函數為關于點()對稱的中心對稱圖像，點()為對稱中心.用代數式表示：(1).，(2).一般地,若函數滿足,則函數的圖象關于點對稱.特別地，奇函數(關于原點對稱)，，即當橫坐標到原點的距離相等(橫坐標互為相反數），函數值相反.上述問題經?？梢酝ㄟ^兩個函數圖象上存在上述特征的對稱點求參數范圍而出現，其本質是一個方程根的存在性問題，我們的基本做法就是分離參數，然后求得參數的范圍.二．典例分析例1.（2023武漢四月調考）已知函數，其中.（1）證明：恒有唯一零點；（2）記（1）中的零點為，當時，證明：圖像上存在關于點對稱的兩點.

例2（廣州一模T11）．已知函數，點分別在函數的的圖像上，為坐標原點，則下列命題正確的是（

）A．若關于的方程在上無解，則B．存在關于直線對稱C．若存在關于軸對稱，則D．若存在滿足，則例3．（2023年乙卷21題）.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在，使得曲線關于直線對稱，若存在，求的值，若不存在，說明理由.（3）若在存在極值，求的取值范圍.

推廣4.不動點問題一．基本原理1.不動點:已知函數,若存在,使得，則稱為函數的不動點.不動點實際上是方程組的解的橫坐標，或兩者圖象的交點的橫坐標.2.穩(wěn)定點:已知函數,若存在，使得，則稱為函數的穩(wěn)定點.顯然,若為函數的不動點，則必為函數的穩(wěn)定點.二．典例分析例1.設函數為自然對數的底數）.若存在使成立,則的取值范圍是（）A.B. C. D.

推廣5.保值區(qū)間例1．設函數，若存在區(qū)間，使在上的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．對于函數，若存在區(qū)間，當時，的值域為，則稱為倍值函數．若是倍值函數，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．

推廣6.過點求切線一．求過點A處切線方程方法如下：設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，∵過點，∴然后解出的值，有幾個值，就有幾條切線.二．典例分析例1．（2021新高考1卷）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．例2.（2022新高考1卷）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是____________．例3．若過點可以作曲線的三條切線，則（）A． B．C． D．

推廣7.公切線問題一.基本原理切線過點，求切線的方法：(要理解過某點的含義，切線過某點，這點不一定是切點)，求法步驟：①設切點，②建立切線方程，③代入點到切線方程中，利用此時切點在切線且在曲線上，即同時滿足方程：解出切點坐標，從而寫出切線方程．二．典例分析例1．已知函數，，若總存在兩條不同的直線與函數，圖象均相切，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．

.已知函數有極值點，求參數的值或范圍,一般轉化為由可以解出變號零點，所以本質仍是一個零點問題.例1．（2023年乙卷21題）.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在，使得曲線關于直線對稱，若存在，求的值，若不存在，說明理由.（3）若在存在極值，求的取值范圍.例2．已知函數在其定義域內既有極大值也有極小值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．導數與零點專題是高考考察的重點內容，下表列舉了從18年起全國卷對這個點的考察：2022年2021年2020年2019年2018年全國一卷20題：證明零點個數全國二卷（乙卷）已知零點個數求參數20題：證明零點個數，公切線.21題：已知零點個數求參數全國三卷（甲卷）極值點偏移已知圖象交點（零點個數）求參數21題：零點分布新高考1卷證明零點個數與零點同構極值點偏移新高考2卷已知零點個數求參數如上表所示，導數與零點是高考導數大題部分的重要命題方向之一，結合近五年全國主要地方的模擬考試題來看，該專題大致可以分為四個具體的命題方向：1.判斷或證明零點個數.此題型以2019年全國一卷20題為典型例子，是一類較新的題型.重點考察學生利用函數單調性與值域，零點存在性定理準確的找到零點的存在性，突出考察學生的邏輯推理與數學運算素養(yǎng)，具有較高的綜合性.2.已知零點個數求參數范圍.此題型在16-18年連續(xù)三年均有考察，處理此類問題有兩種常見的方法：含參數討論及分離參數，重點考察學生利用函數單調性分析值域，數形結合解決問題.此題型還可衍生到對過點求切線個數，公切線個數的考察上.3.討論或者證明零點所滿足的分布特征.此題型以2020年全國三卷21題為典型例子，需要在找到零點的基礎上進一步分析出零點所滿足的分布，對學生的邏輯推理，嚴謹表達均有較高的要求.要考察變量替換與構造函數解決問題的基本方法，此類問題處理方法較多，有偏移法處理，變量代換