2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題附答案解析

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，在四邊形ABCO中，AD//BC,E為CD的中點，連接AE、BE,延長AE交BC

的延長線于點F.

（1）△ZME和△CFE全等嗎？說明理由；

（2）若AB=BC+4O,說明BE_L"；

（3）在（2）的條件下，若EF=6,CE=5,ZD=90°,你能否求出E到A8的距離？

如果能請直接寫出結(jié)果.

證明：（1）△D4E絲△CFE理由如下：

,CAD//BC（已知），

...NAZ）C=NECF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）,

是CD的中點（已知），

：.DE=EC（中點的定義）.

?在△4￡>￡■與△FCE中，

2ADC=乙ECF

DE=EC

.^AED=4CEF

：./\ADE^/\FCE（ASA）;

(2)由(1)知△4OE空△FCE,

：.AE=EF,AD=CF,

'：AB=BC+AD,

：.AB=BC+CF,

AB=BF

即AB=BF,在△ABE與△FBE中，lAE=EF,

.BE=BE

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:./\ABEmLFBE(SSS),

:.NAEB=NFEB=90°,

：.BElAEi

(3)在(2)的條件下有△ABE絲△FB￡,

NABE=NFBE,

到BF的距離等于E到AB的距離，

'：CELBF,CE=5,

...點E到AB的距離為5.

2.某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動，愛思考的小實同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時

發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形如圖1、圖2、圖3中，AF,BE

是aABC的中線，AFLBE于點P,像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.

【特例探究】

(1)如圖1,當/以8=45°,48=6魚時，AC=6百，BC=6加；

如圖2,當sinNRW=J,AB=4時，AC=2V13,BC=2近；

【歸納證明】

(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想AB?、B&AC2三者之間的關(guān)系，用等式表示

出來，并利用圖3證明你的結(jié)論.

【拓展證明】

(3)如圖4,在△4BC中，AB=4%，BC=2瓜D、E、尸分別是邊AB、AC、BC的

中點，連結(jié)QE并延長至G,使得GE=OE,連結(jié)8G,當BGLAC于點”時，求GF的

長.

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c

(1)解：如圖1,,：AFLBE,

：.ZAPB=ZAPE=NBPF=9Q°,

；NH8=45°,AB=6五,

.,.AP=P8=6,

圖1

如圖1,連接EF,

'：AF,BE是△ABC的中線，

是△ABC的中位線，

：.EF//AB.且EF=%B,

.PEPF1

?,PB~PA~2

：.PE=PF=3,

由勾股定理得：AE=BF=>JAP2+PE2=V62+3Z=3瓜

：.AC=BC=2AE=6y[5,

1

如圖2,VsinZB45=2，AB=4,AFI.BE,

：.ZPAB=30°,

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-1

：.BP=^AB=2,AP=2V5,

"：AF,BE是△ABC的中線，

；.PE=^PB=l,PF=&AP=a,

由勾股定理得：AE=y/PE2+AP2=J12+(2V3)2=V13,

BF=VPF2+PB2=J(遮/+22=77,

：.AC=2AE=24V3,BC=2BF=2小,

故答案為：6V5,6V5,2g,2V7；

(2)解：猜想：AB2,BC1,AC2三者之間的關(guān)系是：AC1+BC2=5AB2,

證明：如圖3,設(shè)PF=m,PE=〃則AP=2〃?，PB=2n,

在Rt/XAPB中，(2機)2+(2〃)2=4解①，

在RtZ\APE中，(2〃?)2+〃2=(―)2②，

BC

在Rt^BPF中，〃？+(2〃)2=(―)2③，

222

由①得："?2+“2=華_,由②+③得：5(nj2+n2)=—>

：.AC2+BC2=5AB2；

(3)解：如圖4,連接CG,EF,過點F作/W〃8G交CG于點N,FG與AC交于點。,

圖4

■:FN//BG,BG±AC,

：.FNLAC,

?.?尸是3c的中點，

是CG的中點，

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；￡）、E分別是AB、AC的中點，

：.DE=FC,DE//FC,

,:ED=EG,

：.EG=FC,EG//FC,

四邊形EFCG是平行四邊形，

是FG的中點，

...△