2022新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納47二項(xiàng)式定理（學(xué)生版）

專題47二項(xiàng)式定理--2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型一、關(guān)鍵能力1.了解“楊輝三角”的特征，掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.2．掌握二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．二、教學(xué)建議（1）考查二項(xiàng)式定理；（2）考查通項(xiàng)公式的應(yīng)用；（3）考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).（4）熱點(diǎn)是通項(xiàng)公式的應(yīng)用，利用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)或特定的項(xiàng)的系數(shù)，或已知某項(xiàng)，求指數(shù)n，求參數(shù)的值等.三、必備知識(shí)1.二項(xiàng)式定理，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)()叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即展開(kāi)式的第項(xiàng)；.2．二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零；字母按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從，，一直到，.3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，，，.(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；由對(duì)稱性知：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即，二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即，4.注意:(1)．分清是第項(xiàng)，而不是第項(xiàng).(2)．在通項(xiàng)公式中，含有、、、、、這六個(gè)參數(shù)，只有、、、是獨(dú)立的，在未知、的情況下，用通項(xiàng)公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程（組）求出、,然后代入通項(xiàng)公式求解.(3)．求二項(xiàng)展開(kāi)式中的一些特殊項(xiàng)，如系數(shù)最大項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)等，通常都是先利用通項(xiàng)公式由題意列方程，求出，再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)則需先求,計(jì)算時(shí)要注意和的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系.(4).在中，就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，它與，的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指化簡(jiǎn)后字母外的數(shù)．5.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用（1）求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式；（3）證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題；（4）近似計(jì)算.當(dāng)充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：①；②；（5）證明不等式.四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一.二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題例1-1.（2020·全國(guó)高考真題（理））的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．例1-2.（2020·天津高考真題）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是_________．例1-3.（2020·浙江省高考真題）設(shè)，則a5=________；a1+a2+a3=________．例1-4.（2017·山東高考真題（理））已知的展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)是54，則n=_____________.例2-1.將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－4))3展開(kāi)后，常數(shù)項(xiàng)是________.例2-2.(1＋2x－3x2)5展開(kāi)式中x5的系數(shù)為_(kāi)_______．例2-3.(x2＋x＋y)5的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20C.30 D.60例2-4.(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展開(kāi)式中x的系數(shù)是()A.－4 B.－3C.3 D.4例2-5.(2019·馬鞍山模擬)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展開(kāi)式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為()A．3B．5C．6D．7考點(diǎn)二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及各項(xiàng)系數(shù)和例3-1.（2021·浙江·高三期中）若多項(xiàng)式，則_______．例3-2.（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高三期中）如果，則______.例3-3.（2021·廣東·廣州市協(xié)和中學(xué)高二期中）已知，則________________.例3-4.（2021·浙江麗水·高三期中）若，則________，________．例3-5.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.考點(diǎn)三、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例4-1.設(shè)，且，若能被13整除，則（）A．0 B．1C．11 D．12例4-2.（2019·湖北高二期末（理））的計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位的近似值為（）A.106 B.107 C.108 D.109例4-3.1－90Ceq\o\al(1,10)＋902Ceq\o\al(2,10)－903Ceq\o\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq\o\al(k,10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10)除以88的余數(shù)為_(kāi)_______.例4-4.（多選題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：D．由“，，”猜想例4-5.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)是大于的正整數(shù)且時(shí)，求證：．鞏固訓(xùn)練單選題1.（2017·全國(guó)高考真題（理））(+)(2-)5的展開(kāi)式中33的系數(shù)為（）A.-80 B.-40 C.40 D.802.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為()A．－240 B．－60C．60 D．2403.二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展開(kāi)式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為()A．3 B．5C．6 D．74.若在(x＋1)4(ax－1)的展開(kāi)式中，x4項(xiàng)的系數(shù)為15，則a的值為()A．－4 B.eq\f(5,2)C．4 D.eq\f(7,2)5．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32∶1，則x2的系數(shù)為()A．50B．70C．90D．1206．設(shè)a，b，m為整數(shù)(m>0)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為a≡b(modm)．若a＝Ceq\o\al(0,20)＋Ceq\o\al(1,20)·2＋Ceq\o\al(2,20)·22＋…＋Ceq\o\al(20,20)·220，a≡b(mod10)，則b的值可以是()A．2018B．2019C．2020D．20217．已知(xcosθ＋1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,4)))4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)相等，且θ∈(0，π)，則θ等于()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)多選題8．二項(xiàng)式(2x－1)7的展開(kāi)式的各項(xiàng)中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng)C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)9．對(duì)于二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，以下判斷正確的有()A．存在n∈N*，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)B．對(duì)任意n∈N*，展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)C．對(duì)任意n∈N*，展開(kāi)式中沒(méi)有x的一次項(xiàng)D．存在n∈N*，展開(kāi)式中有x的一次項(xiàng)10.已知(a＋b)n的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值可以為()A．7 B．8C．9 D．1011.若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，則實(shí)數(shù)m的值為()A．1 B．－1C．－3 D．312．（2020·江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)高二期中）設(shè)，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．中最大的是 D．當(dāng)時(shí)，除以2000的余數(shù)是1三.填空題13．（2021·全國(guó)）（數(shù)學(xué)文化）楊輝三角在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第13個(gè)數(shù)是______．（用數(shù)字作答）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……14．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x)))(2x＋1)5(a≠0)，若其展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為81，則a＝_______，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______．15．若n是正整數(shù)，則7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余數(shù)是.16.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是________．17.設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*，已知aeq\o\al(2,3)＝2a2a4.(1)則n的值為_(kāi)_______；(2)設(shè)(1＋eq\r(3))n＝a＋beq\r(3)，其中a，b∈N*，則a2－3b2的值為_(kāi)_______．四.解答題18.在(2x－3y)10的展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)