第45講 古典概型與幾何概型的計算策略（原卷版）

8/9第45講古典概型與幾何概型的計算策略【高考地位】古典概型與幾何概型是高考中的?？贾R點，對于古典概型，列舉法仍是求解其概率的主要方法，而與排列、組合問題相結(jié)合的概率問題仍是命題的熱點；對于幾何概型除掌握其定義外，其題型的重點主要體現(xiàn)在兩種常見的幾何度量——長度、面積，難度不會太大，但題型可能較靈活，背景更新穎．在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題.類型一古典概型的計算策略萬能模板內(nèi)容使用場景求古典概型的概率解題模板第一步判斷試驗是否是等可能的，其基本事件的個數(shù)是否是有限個；第二步分別計算事件A包含的基本事件的個數(shù)和基本事件的總數(shù)；第三步運用古典概型的計算公式計算即可得出結(jié)論.例1.【2021年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（八省聯(lián)考）】在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號后，再把卡片隨機分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號卡片的概率為（）A． B． C． D．【變式演練1】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是（）A．B．C．D．【變式演練2】【江西省五市九校協(xié)作體2021屆高三第一次聯(lián)考】為了讓居民了解垃圾分類，養(yǎng)成垃圾分類的習(xí)慣，讓綠色環(huán)保理念深入人心．某市將垃圾分為四類可回收物，餐廚垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四類由9位同學(xué)組成四個宣傳小組，其中可回收物宣傳小組有3位同學(xué)，餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣傳小組各有2位同學(xué)．現(xiàn)從這9位同學(xué)中選派5人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動，則每個宣傳小組至少選派1人的概率為（）A． B． C． D．【變式演練3】【江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】造紙術(shù)?印刷術(shù)?指南針?火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，這四種發(fā)明對中國古代的政治?經(jīng)濟?文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用；2017年5月，來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了“中國的新四大發(fā)明”：高鐵?掃碼支付?共享單車和網(wǎng)購．若從這8個發(fā)明中任取兩個發(fā)明，則兩個都是新四大發(fā)明的概率為（）A． B． C． D．類型二幾何概型的計算策略萬能模板內(nèi)容使用場景求幾何概型的概率解題模板第一步判斷試驗是否是等可能的，其基本事件的個數(shù)是否是無限個；第二步分別計算事件A和基本事件所包含的區(qū)域長度、面積或體積等；第三步運用幾何概型的計算公式計算即可得出結(jié)論.例2在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為．例3.（2021·貴州省思南中學(xué)高三月考（理））在區(qū)間內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為，，則使得函數(shù)有極值點的概率為（）A． B． C． D．【變式演練4】把長為的鐵絲隨機截成三段，則每段鐵絲長度都不小于的概率是（）A．B．C．D．【變式演練5】一只小蜜蜂在一個棱長為4的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為（）A．B．C．D．【變式演練6】【四川省閬中中學(xué)2020-2021學(xué)年高三9月月考】小華愛好玩飛鏢，現(xiàn)有如圖所示的由兩個邊長都為的正方形和構(gòu)成的標(biāo)靶圖形，如果點正好是正方形的中心，而正方形可以繞點旋轉(zhuǎn)，則小華隨機向標(biāo)靶投飛鏢射中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【高考再現(xiàn)】1．（2021·全國高考真題（理））在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（）A． B． C． D．2．（2021·全國高考真題（理））將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．3．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)4】設(shè)為正方形的中心，在中任取點，則取到的點共線的概率為 （）A．B．C．D．4．【2020年高考全國Ⅱ卷文理數(shù)4】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過份的概率為，志愿者每人每天能完成份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于，則至少需要志愿者 （）A．名 B．名 C．名 D．名5.【2020年高考山東卷5】某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有的學(xué)生喜歡足球或游泳，的學(xué)生喜歡足球，的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 （）A．B．C． D．6．【2020年高考江蘇卷4】將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后擲次，觀向上的點數(shù)，則點數(shù)和為的概率是．7.【2016高考新課標(biāo)1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是（）（A）EQ\F(1,3)（B）EQ\F(1,2)（C）EQ\F(2,3)（D）EQ\F(3,4)8.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】從區(qū)間隨機抽取個數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成n個數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（A）（B）（C）（D）9.【2016年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多10.【2016高考山東理數(shù)】在上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為.11.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A.B.C.D.12.【2017課標(biāo)=2\*ROMANII，文11】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為A.B.C.D.【反饋練習(xí)】1．【江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考】給出一組樣本數(shù)據(jù)：1，4，，3，它們出現(xiàn)的頻率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，且樣本數(shù)據(jù)的平均值為2.5，從1，4，，3中任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為5的概率為（）A． B． C． D．2．【廣東省高州市2021屆高三上學(xué)期第一次模擬】已知正六邊形的邊長為，在這個頂點中任意取個不同的頂點，得到線段，則的概率為（）A． B． C． D．3．【陜西省漢中市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬文科】五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮?商?角?徵?羽.如果從這五個音階中任取兩個音階，排成一個兩個音階的音序，則這個音序中宮和羽至少有一個的概率為（）A． B． C． D．4．【廣西普通高中2021屆高三高考精準(zhǔn)備考原創(chuàng)模擬卷（一）】某小區(qū)從熱愛跳廣場舞的3對夫妻中隨機抽取2人去參加社區(qū)組織的廣場舞比賽，則抽取的2人恰好為1對夫妻的概率為（）A． B． C． D．5．【江西省臨川二中、臨川二中實驗學(xué)校2020屆高三第二次模擬考試】如果從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的和能被3整除的概率為（）A． B． C． D．6．【江西省南昌二中2020屆高三（6月份）高考數(shù)學(xué)（理科）】如圖，點在以為直徑的圓上，且滿足，圓內(nèi)的弧線是以為圓心，為半徑的圓的一部分.記三邊所圍成的區(qū)域（灰色部分）為Ⅰ，右側(cè)月牙形區(qū)域（黑色部分）為Ⅱ.在整個圖形中隨機取一點，記此點取自Ⅰ，Ⅱ的概率分別為，，則（）A． B．C． D．7．【吉林省通化市梅河口五中2020屆高三數(shù)學(xué)（文科）五?！繛榱饲蟮脵E圓的面積，把該橢圓放入一個矩形當(dāng)中，恰好與矩形相切，向矩形內(nèi)隨機投入共n個不同的點，其中在橢圓內(nèi)的點恰好有個.若矩形的面積是2，則可以估計橢圓的面積為（）A． B． C． D．8．【貴州省貴陽市四校2021屆高三上學(xué)期聯(lián)合考試】在區(qū)間[-2，2]隨機取一個數(shù)，則事件“，且”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．9．【安徽省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2020屆高三下學(xué)期押題卷文科】如圖，在邊長為2的正方形內(nèi)有一個邊長為1的正三角形，則向正方形中隨機投入一個點，其落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．10．【2020屆重慶市高三三診數(shù)學(xué)（文）】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，F(xiàn)表示正切函數(shù)與單位圓圍成的一個封閉區(qū)域（如圖中陰影部分），那么向E中隨機投一點，則所投點落在F中的概率為（）A． B． C． D．11．（2021·河北高三月考）8個人排成兩排，每排4人，則甲、乙不同排的概率為（）A． B． C． D．12．（2021·云南昆明市·（文））一個學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，其中2名男生，3名女生．從這個小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為（）A． B． C． D．13．（2021·河北高三月考）十進(jìn)制的算籌計數(shù)法是中國數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)字1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)用6根算籌表示不含0的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，算籌不能剩余，則這個三位數(shù)能被3整除的概率為（）A． B． C． D．14．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三（理））為了援助湖北抗擊疫情，全國各地的白衣天使走上戰(zhàn)場的第一線，他們分別乘坐6架我國自主生產(chǎn)的“運20”大型運輸機，編號分別為1，2，3，4，5，6，同時到達(dá)武漢天河飛機場，每五分鐘降落一架，其中1號與6號相鄰降落的概率為（）A． B． C． D．15．（2021·武功縣普集高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知直線將圓分為，兩部分，且部分的面積小于部分的面積，若在圓內(nèi)任取一點，則該點落在部分的概率為（）A． B． C． D．16．（2021·甘肅高三開學(xué)考試（理））從區(qū)間和內(nèi)分別選取一個實數(shù)，，得到一個實數(shù)對，稱為完成一次試驗．若獨立重復(fù)做次試驗，則的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．17．（2021·云南民族中學(xué)高三月考（文））七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形?一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.（清）陸以湉《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分以外的概率為（）A． B． C． D．18．（多選）（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）已知甲袋中有5個大小相同的球，4個紅球，1個黑球；乙袋中有6個大小相同的球，4個紅球，2個黑球，則（）A．從甲袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為B．從乙袋中隨機摸出一個球是黑球的概率為C．從甲袋中隨機摸出2個球，則2個球都是紅球的概率為D．從甲、乙袋中各隨機模出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率為19．（多選）（2021·湖南高三）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確的是（）A．為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是B．為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是C．為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1D．為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是20．（2021·浙江金華·高三月考）袋中原有3個白球和2個黑球．每