第45講 古典概型與幾何概型的計(jì)算策略（原卷版）

8/9第45講古典概型與幾何概型的計(jì)算策略【高考地位】古典概型與幾何概型是高考中的常考知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于古典概型，列舉法仍是求解其概率的主要方法，而與排列、組合問題相結(jié)合的概率問題仍是命題的熱點(diǎn)；對(duì)于幾何概型除掌握其定義外，其題型的重點(diǎn)主要體現(xiàn)在兩種常見的幾何度量——長(zhǎng)度、面積，難度不會(huì)太大，但題型可能較靈活，背景更新穎．在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題.類型一古典概型的計(jì)算策略萬能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景求古典概型的概率解題模板第一步判斷試驗(yàn)是否是等可能的，其基本事件的個(gè)數(shù)是否是有限個(gè)；第二步分別計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和基本事件的總數(shù)；第三步運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算即可得出結(jié)論.例1.【2021年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（八省聯(lián)考）】在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為（）A． B． C． D．【變式演練1】端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)，則三種粽子各取到1個(gè)的概率是（）A．B．C．D．【變式演練2】【江西省五市九校協(xié)作體2021屆高三第一次聯(lián)考】為了讓居民了解垃圾分類，養(yǎng)成垃圾分類的習(xí)慣，讓綠色環(huán)保理念深入人心．某市將垃圾分為四類可回收物，餐廚垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四類由9位同學(xué)組成四個(gè)宣傳小組，其中可回收物宣傳小組有3位同學(xué)，餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣傳小組各有2位同學(xué)．現(xiàn)從這9位同學(xué)中選派5人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動(dòng)，則每個(gè)宣傳小組至少選派1人的概率為（）A． B． C． D．【變式演練3】【江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】造紙術(shù)?印刷術(shù)?指南針?火藥被稱為中國(guó)古代四大發(fā)明，這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治?經(jīng)濟(jì)?文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用；2017年5月，來自“一帶一路”沿線的20國(guó)青年評(píng)選出了“中國(guó)的新四大發(fā)明”：高鐵?掃碼支付?共享單車和網(wǎng)購(gòu)．若從這8個(gè)發(fā)明中任取兩個(gè)發(fā)明，則兩個(gè)都是新四大發(fā)明的概率為（）A． B． C． D．類型二幾何概型的計(jì)算策略萬能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景求幾何概型的概率解題模板第一步判斷試驗(yàn)是否是等可能的，其基本事件的個(gè)數(shù)是否是無限個(gè)；第二步分別計(jì)算事件A和基本事件所包含的區(qū)域長(zhǎng)度、面積或體積等；第三步運(yùn)用幾何概型的計(jì)算公式計(jì)算即可得出結(jié)論.例2在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使得成立的概率為．例3.（2021·貴州省思南中學(xué)高三月考（理））在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為，，則使得函數(shù)有極值點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．【變式演練4】把長(zhǎng)為的鐵絲隨機(jī)截成三段，則每段鐵絲長(zhǎng)度都不小于的概率是（）A．B．C．D．【變式演練5】一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為（）A．B．C．D．【變式演練6】【四川省閬中中學(xué)2020-2021學(xué)年高三9月月考】小華愛好玩飛鏢，現(xiàn)有如圖所示的由兩個(gè)邊長(zhǎng)都為的正方形和構(gòu)成的標(biāo)靶圖形，如果點(diǎn)正好是正方形的中心，而正方形可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則小華隨機(jī)向標(biāo)靶投飛鏢射中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【高考再現(xiàn)】1．（2021·全國(guó)高考真題（理））在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)高考真題（理））將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．3．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)4】設(shè)為正方形的中心，在中任取點(diǎn)，則取到的點(diǎn)共線的概率為 （）A．B．C．D．4．【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文理數(shù)4】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過份的概率為，志愿者每人每天能完成份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于，則至少需要志愿者 （）A．名 B．名 C．名 D．名5.【2020年高考山東卷5】某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有的學(xué)生喜歡足球或游泳，的學(xué)生喜歡足球，的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 （）A．B．C． D．6．【2020年高考江蘇卷4】將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后擲次，觀向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為的概率是．7.【2016高考新課標(biāo)1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是（）（A）EQ\F(1,3)（B）EQ\F(1,2)（C）EQ\F(2,3)（D）EQ\F(3,4)8.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】從區(qū)間隨機(jī)抽取個(gè)數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（A）（B）（C）（D）9.【2016年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多10.【2016高考山東理數(shù)】在上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為.11.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A.B.C.D.12.【2017課標(biāo)=2\*ROMANII，文11】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為A.B.C.D.【反饋練習(xí)】1．【江西省吉安市2021屆高三大聯(lián)考】給出一組樣本數(shù)據(jù)：1，4，，3，它們出現(xiàn)的頻率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，且樣本數(shù)據(jù)的平均值為2.5，從1，4，，3中任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為5的概率為（）A． B． C． D．2．【廣東省高州市2021屆高三上學(xué)期第一次模擬】已知正六邊形的邊長(zhǎng)為，在這個(gè)頂點(diǎn)中任意取個(gè)不同的頂點(diǎn)，得到線段，則的概率為（）A． B． C． D．3．【陜西省漢中市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬文科】五聲音階是中國(guó)古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國(guó)古樂中的五聲音階依次為：宮?商?角?徵?羽.如果從這五個(gè)音階中任取兩個(gè)音階，排成一個(gè)兩個(gè)音階的音序，則這個(gè)音序中宮和羽至少有一個(gè)的概率為（）A． B． C． D．4．【廣西普通高中2021屆高三高考精準(zhǔn)備考原創(chuàng)模擬卷（一）】某小區(qū)從熱愛跳廣場(chǎng)舞的3對(duì)夫妻中隨機(jī)抽取2人去參加社區(qū)組織的廣場(chǎng)舞比賽，則抽取的2人恰好為1對(duì)夫妻的概率為（）A． B． C． D．5．【江西省臨川二中、臨川二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020屆高三第二次模擬考試】如果從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的和能被3整除的概率為（）A． B． C． D．6．【江西省南昌二中2020屆高三（6月份）高考數(shù)學(xué)（理科）】如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上，且滿足，圓內(nèi)的弧線是以為圓心，為半徑的圓的一部分.記三邊所圍成的區(qū)域（灰色部分）為Ⅰ，右側(cè)月牙形區(qū)域（黑色部分）為Ⅱ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，記此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ的概率分別為，，則（）A． B．C． D．7．【吉林省通化市梅河口五中2020屆高三數(shù)學(xué)（文科）五?！繛榱饲蟮脵E圓的面積，把該橢圓放入一個(gè)矩形當(dāng)中，恰好與矩形相切，向矩形內(nèi)隨機(jī)投入共n個(gè)不同的點(diǎn)，其中在橢圓內(nèi)的點(diǎn)恰好有個(gè).若矩形的面積是2，則可以估計(jì)橢圓的面積為（）A． B． C． D．8．【貴州省貴陽市四校2021屆高三上學(xué)期聯(lián)合考試】在區(qū)間[-2，2]隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“，且”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．9．【安徽省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2020屆高三下學(xué)期押題卷文科】如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，則向正方形中隨機(jī)投入一個(gè)點(diǎn)，其落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．10．【2020屆重慶市高三三診數(shù)學(xué)（文）】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，F(xiàn)表示正切函數(shù)與單位圓圍成的一個(gè)封閉區(qū)域（如圖中陰影部分），那么向E中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投點(diǎn)落在F中的概率為（）A． B． C． D．11．（2021·河北高三月考）8個(gè)人排成兩排，每排4人，則甲、乙不同排的概率為（）A． B． C． D．12．（2021·云南昆明市·（文））一個(gè)學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，其中2名男生，3名女生．從這個(gè)小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為（）A． B． C． D．13．（2021·河北高三月考）十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)字1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)用6根算籌表示不含0的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，算籌不能剩余，則這個(gè)三位數(shù)能被3整除的概率為（）A． B． C． D．14．（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三（理））為了援助湖北抗擊疫情，全國(guó)各地的白衣天使走上戰(zhàn)場(chǎng)的第一線，他們分別乘坐6架我國(guó)自主生產(chǎn)的“運(yùn)20”大型運(yùn)輸機(jī)，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，同時(shí)到達(dá)武漢天河飛機(jī)場(chǎng)，每五分鐘降落一架，其中1號(hào)與6號(hào)相鄰降落的概率為（）A． B． C． D．15．（2021·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知直線將圓分為，兩部分，且部分的面積小于部分的面積，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在部分的概率為（）A． B． C． D．16．（2021·甘肅高三開學(xué)考試（理））從區(qū)間和內(nèi)分別選取一個(gè)實(shí)數(shù)，，得到一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)，稱為完成一次試驗(yàn)．若獨(dú)立重復(fù)做次試驗(yàn)，則的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．17．（2021·云南民族中學(xué)高三月考（文））七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形?一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.（清）陸以湉《冷廬雜識(shí)》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分以外的概率為（）A． B． C． D．18．（多選）（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）已知甲袋中有5個(gè)大小相同的球，4個(gè)紅球，1個(gè)黑球；乙袋中有6個(gè)大小相同的球，4個(gè)紅球，2個(gè)黑球，則（）A．從甲袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率為B．從乙袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是黑球的概率為C．從甲袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，則2個(gè)球都是紅球的概率為D．從甲、乙袋中各隨機(jī)模出1個(gè)球，則這2個(gè)球是一紅球一黑球的概率為19．（多選）（2021·湖南高三）根據(jù)中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國(guó)古代諸侯的等級(jí)自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個(gè)等級(jí)，現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級(jí)別每高一級(jí)就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確的是（）A．為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是B．為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是C．為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1D．為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是20．（2021·浙江金華·高三月考）袋中原有3個(gè)白球和2個(gè)黑球．每