中考數(shù)學(xué)提升練習(xí)專題(十二)與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明

專題提升(十二)與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明類型之一與切線的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算或證明【經(jīng)典母題】如圖Z12－1，⊙O的切線PC交直徑AB的延長線于點(diǎn)P，C為切點(diǎn)，若∠P＝30°，⊙O的半徑為1，則PB的長為__1__．圖Z12－1經(jīng)典母題答圖【解析】如答圖，連結(jié)OC.∵PC為⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圓的切線，可得切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；(2)已知圓的切線，常作過切點(diǎn)的半徑，得到切線與半徑垂直．【中考變形】[2017·天津]已知AB是⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，∠ABT＝50°，BT交⊙O于點(diǎn)C，E是AB上一點(diǎn)，延長CE交⊙O于點(diǎn)D.(1)如圖Z12－2①，求∠T和∠CDB的大??；(2)如圖②，當(dāng)BE＝BC時(shí)，求∠CDO的大?。畧DZ12－2解：(1)如答圖①，連結(jié)AC，∵AT是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；中考變形答圖①中考變形答圖②(2)如答圖②，連結(jié)AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.【中考預(yù)測(cè)】[2017·宿遷]如圖Z12－3，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BC為⊙O的弦，OC⊥OA，OA與BC相交于點(diǎn)P.(1)求證：AP＝AB；(2)若OB＝4，AB＝3，求線段BP的長．圖Z12－3中考預(yù)測(cè)答圖解：(1)證明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；(2)如答圖，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝eq\r(32＋42)＝5，∵AP＝AB＝3，∴PO＝2.在Rt△POC中，PC＝eq\r(OC2＋OP2)＝2eq\r(5)，∵eq\f(1,2)PC·OH＝eq\f(1,2)OC·OP，∴OH＝eq\f(OP·OC,PC)＝eq\f(4\r(5),5)，∴CH＝eq\r(OC2－OH2)＝eq\f(8\r(5),5)，∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝eq\f(16\r(5),5)，∴BP＝BC－PC＝eq\f(16\r(5),5)－2eq\r(5)＝eq\f(6\r(5),5).類型之二與切線的判定有關(guān)的計(jì)算或證明【經(jīng)典母題】已知：如圖Z12－4，A是⊙O外一點(diǎn)，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)B在圓上，且AB＝BC，∠A＝30°，求證：直線AB是⊙O的切線．圖Z12－4經(jīng)典母題答圖證明：如答圖，連結(jié)OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，又∵OB為⊙O半徑，∴AB是⊙O的切線．【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法“作半徑，證垂直”或者“作垂直，證半徑”．【中考變形】1．[2016·黃石]如圖Z12－5，⊙O的直徑為AB，點(diǎn)C在圓周上(異于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．圖Z12－5中考變形1答圖解：(1)∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)證明：如答圖，連結(jié)OC，∵AC是∠DAB的平分線，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直線CD是⊙O的切線．2．[2017·南充]如圖Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長交AC的延長線點(diǎn)F.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直徑的長．圖Z12－6中考變形2答圖【解析】(1)連結(jié)OD，欲證DE是⊙O的切線，需證OD⊥DE，即需證∠ODE＝90°，而∠ACB＝90°，連結(jié)CD，根據(jù)“等邊對(duì)等角”可知∠ODE＝∠OCE＝90°，從而得證；(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解．解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OD，CD.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.又∵E為BC的中點(diǎn)，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切線；(2)設(shè)⊙O的半徑為x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直徑為6.【中考預(yù)測(cè)】如圖Z12－7，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，點(diǎn)E在AB的延長線上，∠AED＝∠ABC.(1)求證：DE與⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝eq\r(10)，求⊙O的半徑．圖Z12－7中考預(yù)測(cè)答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；(2)如答圖，連結(jié)BD，過點(diǎn)D作DH⊥BF于點(diǎn)H.∵DE與⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，∵