高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課件新人教版選修1

1.1.2

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.了解空間向量的夾角的概念及表示方法.2.掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算與運(yùn)算律.3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.4.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長(zhǎng)度等問(wèn)題.5.通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí),提升學(xué)生直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知微拓展1.當(dāng)<a,b>=0時(shí),a與b共線(xiàn)同向;當(dāng)<a,b>=π時(shí),a與b共線(xiàn)反向;反之,若a∥b,則<a,b>=0或π.2.<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>,<-a,-b>=<a,b>.2.空間向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則

|a||b|cos<a,b>

叫做a,b的數(shù)量積,記作a·b.即a·b=

|a||b|cos<a,b>

.特別地,零向量與任意向量的數(shù)量積為

0

.

(2)性質(zhì):①a⊥b?

a·b=0

;

②a·a=|a||a|cos<a,a>=

|a|2

.

(3)運(yùn)算律:①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;②a·b=b·a(交換律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).答案:A3.空間向量的投影(1)向量在向量上的投影向量如圖,在空間,向量a向向量b投影,由于它們是自由向量,因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi),進(jìn)而利用平面上向量的投影,得到與向量b共線(xiàn)的向量c,c=___________________,向量c稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量.

(2)向量在直線(xiàn)上的投影向量如圖,類(lèi)似于向量a向向量b投影,可以將向量a向直線(xiàn)l投影.微訓(xùn)練2已知e1,e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,則向量e1在向量e2上的投影向量為

.

課堂·重難突破一

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算典例剖析1.如圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都為1,E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),計(jì)算:規(guī)律總結(jié)求空間向量數(shù)量積的方法

(1)定義法:若向量的模和夾角已知或可求,可直接套用定義求解.

(2)分解法:

①將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式;

②利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;

③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.學(xué)以致用1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,計(jì)算:二

利用數(shù)量積證明空間中的垂直關(guān)系典例剖析2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面B1AC.規(guī)律總結(jié)利用向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂直,先將線(xiàn)線(xiàn)垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0,再根據(jù)已知條件,通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算,得到所求向量的數(shù)量積為0即可.學(xué)以致用2.正四面體OABC的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)G是△OBC的重心,點(diǎn)M是線(xiàn)段AG的中點(diǎn).三

利用數(shù)量積求向量的夾角與投影向量典例剖析

規(guī)律總結(jié)求兩個(gè)非零向量夾角的兩種途徑

(1)轉(zhuǎn)化求角:把空間向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對(duì)應(yīng)角,利用解三角形的知識(shí)求解.

(2)利用向量的數(shù)量積求夾角的余弦值,方法步驟如下:學(xué)以致用3.如圖,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求:四

利用數(shù)量積求線(xiàn)段的長(zhǎng)度典例剖析

規(guī)律總結(jié)用向量求線(xiàn)段長(zhǎng)度的方法

(1)將要求的線(xiàn)段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為某一向量的模.

(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量.

(3)利用

,通過(guò)計(jì)算求出向量的模,進(jìn)而得到所要求的線(xiàn)段長(zhǎng)度.學(xué)以致用4.如圖,在空間四邊形OABC中,OA,OB,OC兩兩成60°角,且OA=OB=OC=2,E為OA的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),求點(diǎn)E,F之間的距離.

隨堂訓(xùn)練1.(多選題)對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.若a·b=0,則a=0或b=0B.若λa=0,則λ=0或a=0C.若a2=b2,則a=b或a=-bD.若a·b=a·c,則b=c答案:ACD答案:B3.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱的棱長(zhǎng)都等于1,且彼此的夾角都是60°,則此平行六面體的對(duì)角線(xiàn)AC1的長(zhǎng)為(

)答案:D5.已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1