工作范文小波分析理論

1第1章

小波分析的基本理論1.1

傅里葉變換到小波分析1.2

常用小波函數(shù)介紹◆1.3 連續(xù)小波變換1.4

離散小波變換◆1.5 矢量小波變換1.6 多分辨分析與Mallat算法◆1.7 提升小波變換◆1.8 小波包分析1小波分析屬于時(shí)頻分析的一種。傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅里葉(Fourier)變換的基礎(chǔ)上的，但是，傅里葉分析使用的是一種全局的變換，即要么完全在時(shí)域，要么完全在頻域，它無法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì)，而時(shí)頻局域性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們對(duì)傅里葉分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)展了幌盜行碌男藕歐治隼礪郟憾淌備道鏌侗浠?、时茡v治觥Gabor變換、小波變換、RandonWigner變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、線性調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅－調(diào)頻信號(hào)分析等。1其中，短時(shí)傅里葉變換和小波變換也是因傳統(tǒng)的傅里葉變

換不能夠滿足信號(hào)處理的要求而產(chǎn)生的。短時(shí)傅里葉變換

分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù)g(t)的

一個(gè)短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)(偽平穩(wěn))的，并移動(dòng)分析窗函數(shù)，使f(t)g(t－t)在不同的有限時(shí)間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)，從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。但從本質(zhì)上講，短時(shí)傅里葉

變換是一種單一分辨率的信號(hào)分析方法(因?yàn)樗褂靡粋€(gè)固定的短時(shí)窗函數(shù))，在信號(hào)分析上還存在著不可逾越的缺陷。1小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間—尺度(時(shí)間—頻率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multi-resolutionAnalysis)的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變，但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡。11.1.1

傅里葉變換傅里葉變換是眾多科學(xué)領(lǐng)域(特別是信號(hào)處理、圖像處理、量子物理等)里的重要的應(yīng)用工具之一。從實(shí)用的觀點(diǎn)看，當(dāng)人們考慮傅里葉分析的時(shí)候，通常是指(積分)傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)。1.1

傅里葉變換到小波分析1定義1.1

函數(shù)f

(t)∈L1(R)的連續(xù)傅里葉變換定義為(1.1)F(w)的傅里葉逆變換定義為(1.2)1為了計(jì)算傅里葉變換，需要用數(shù)值積分，即取f(t)在R上的離散點(diǎn)上的值來計(jì)算這個(gè)積分。在實(shí)際應(yīng)用中，我們希望在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析及其他方面的處理工作，對(duì)信號(hào)的要求是：在時(shí)域和頻域應(yīng)是離散的，且都應(yīng)是有限長的。下面給出離散傅里葉變換(Discrete

FourierTransform，DFT)的定義。1(1.4)為序列{X(k)}的離散傅里葉逆變換(IDFT)。在式(1.4)中，n相當(dāng)于對(duì)時(shí)間域的離散化，k相當(dāng)于頻率域的離散化，且它們都是以N點(diǎn)為周期的。離散傅里葉變換序列{X(k)}是以2p為周期的，且具有共軛對(duì)稱性。1若f(t)是實(shí)軸上以2p為周期的函數(shù)，即f(t)∈L2(0，2p)，則f(t)可以表示成傅里葉級(jí)數(shù)的形式，即(1.5)傅里葉變換是時(shí)域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把f(t)這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可將對(duì)原函數(shù)f(t)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)其權(quán)系數(shù)，即其傅里葉變換F(w)的研究。從傅里葉變換中可以看出，這些標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。1在進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，如果能合理運(yùn)用它的有關(guān)性質(zhì)，運(yùn)算將很方便。下面列出了傅里葉變換的一些常用性質(zhì)。12.位移性質(zhì)設(shè)F(w)為函數(shù)f(t)的傅里葉變換，則有(1.7)該性質(zhì)表明，時(shí)間函數(shù)f(t)沿t軸向左或向右位移t0的傅里葉或

。變換等于f(t)的傅里葉變換乘以因子傅里葉逆變換亦具有類似的位移性質(zhì)。14.積分性質(zhì)設(shè)F(w)為函數(shù)f(t)的傅里葉變換，如果當(dāng)t→＋∞時(shí)，，則有(1.9)15.乘積定理設(shè)F1(w)和F2(w)分別為f1(t)和f2(t)的傅里葉變換，則有和(1.10)分別為其中，f1(t)和f2(t)為t的實(shí)函數(shù)；F1(w)和F2(w)的共軛函數(shù)。16.能量積分設(shè)F(w)為函數(shù)f(t)的傅里葉變換，則有(1.11)該式又稱為巴塞瓦(Parseval)等式。1f＝x＋3.5*randn(1，length(t))；%在信號(hào)中加入白噪聲%畫出原始信號(hào)的波形圖subplot(321)；plot(f)；Ylabel(￠幅值￠)；Xlabel(￠時(shí)間￠)；title(￠原始信號(hào)￠)；y＝fft(f，1024)；

%對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換，參加DFT的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為1024p＝y(tǒng).*conj(y)/1024；

%計(jì)算功率譜密度1圖1.11從圖1.1(a)中我們看不出任何頻域的性質(zhì)，但從信號(hào)的功率譜圖(圖1.1(b))中，我們可以明顯地看出該信號(hào)是由頻率為50

Hz和300

Hz的正弦信號(hào)和頻率分布廣泛的白噪聲信號(hào)組成的，也可以明顯地看出信號(hào)的頻率特性。1雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察，但不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息，而其傅里葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說，對(duì)于傅里葉譜中的某一頻率，不能夠知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。這樣在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。11.1.2

短時(shí)傅里葉變換由于標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時(shí)域里不存在局部分析的能力，因此Dennis

Gabor于1946年引入了短時(shí)傅里葉變換(Short-time

FourierTransform)。短時(shí)傅里葉變換的基本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅里葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率。其表達(dá)式為(1.12)1其中，“*”表示復(fù)共軛；g(t)為有緊支集的函數(shù)；f(t)為被分析的信號(hào)。在這個(gè)變換中，ejwt起著頻限的作用，g(t)起著時(shí)限的作用。隨著時(shí)間t的變化，g(t)所確定的“時(shí)間窗”在t軸上移動(dòng)，使f(t)“逐漸”進(jìn)行分析。因此g(t)往往被稱為窗口函數(shù)，S(w，t)大致反映了時(shí)刻為t、頻率為w時(shí)f(t)

的“信號(hào)成分”的相對(duì)含量。這樣，信號(hào)在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在［t－d，t＋d］、［w－e

，w＋e

］這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口，d和e分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。1圖1.21由此可見，短時(shí)傅里葉(STFT)雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù)g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了，t、w只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉fSTFT實(shí)質(zhì)上是具有

單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。因此，STFT用來分析平穩(wěn)信號(hào)猶可，但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，在信號(hào)波形變化劇烈的時(shí)刻，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率(即d要小)，而波形變化比較平緩的時(shí)刻，主頻是低頻，則要求比較高的頻率分辨率(即e要小)，而短時(shí)傅里葉不能兼顧兩者。11.1.3

小波分析小波分析方法是一種窗口大小(即窗口面積)固定但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。正是這種特性，使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。信號(hào)長度越長，頻率分辨率越好1設(shè)y(t)∈L2(R)(L2(R)表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間)，其傅里葉變換為Y(w)。當(dāng)Y(w)滿足允許條件(Admissible

Condition)：(1.13)時(shí)，我們稱y(t)為一個(gè)基本小波或母小波(Mother

Wavelet)。將母函數(shù)y(t)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列。1對(duì)于任意的函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為(1.16)其逆變換為(1.17)1小波變換的時(shí)頻窗口特性與短時(shí)傅里葉的時(shí)頻窗口不

一樣。其窗口形狀為兩個(gè)矩形［b－aDy，b＋aDy］×［(±w0－DY)/a，(±w0＋DY)/a］，窗口中心為(b，±w0/a)，時(shí)窗和頻窗寬分別為aDy和DY/a。其中，b僅僅影響窗口在相平面時(shí)間軸上的位置，而a不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對(duì)不同的頻率在時(shí)域上的取樣步長是調(diào)節(jié)性的：在低頻時(shí)，小波變換的時(shí)間分辨率較低，而頻率分辨率較高；在高頻時(shí)，小波變換的時(shí)間分辨率較高，而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號(hào)變化緩慢而高頻信號(hào)變化迅速的特點(diǎn)。1這便是它優(yōu)于經(jīng)典的傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換的地方。從總體上來說，小波變換比短時(shí)傅里葉變換具有更好的時(shí)頻窗口特性。11.1.4

小波分析與傅里葉變換的比較小波分析是傅里葉分析思想方法的發(fā)展與延拓，它自產(chǎn)生以來，就一直與傅里葉分析密切相關(guān)，它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅里葉分析，二者是相輔相成的。兩者相比較主要有以下不同點(diǎn)。(1)傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t)分解到以{ejwt}為正交基的空間上去；小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t)分解到W－j(j＝1，2，…，J)和V－j所構(gòu)成的空間上去。1(2)傅里葉變換用到的基本函數(shù)只有sin(wt)、cos(wt)、exp(jwt)，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)(即小波函數(shù))則具有不唯一性，同一個(gè)工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行

分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用

到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問題(也是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問

題)，目前，往往是通過經(jīng)驗(yàn)或不斷的試驗(yàn)(對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)

照分析)來選擇小波函數(shù)。1(3)在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡單的確定性信號(hào)，傅里葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin(w1t)＋0.345sin(w2t)＋4.23cos(w3t)。但在時(shí)域中，傅里葉變換沒有局部化能力，即無法從信號(hào)f(t)的傅里葉變換F(w)中看出f(t)在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。事實(shí)上，F(xiàn)(w)dw是關(guān)于頻率為w的諧波分量的振幅，在傅里葉展開式中，它是

由f(t)的整體性態(tài)所決定的。(4)在小波分析中，尺度a的值越大相當(dāng)于傅里葉變換中w的值越小。1(5)在短時(shí)傅里葉變換中，變換系數(shù)S(w，t)主要依賴

于信號(hào)在［t－d，t＋d］片段中的情況，時(shí)間寬度是2d(因?yàn)?/p>

d是由窗函數(shù)g(t)唯一確定的，所以2d是一個(gè)定值)。在小波變換中，變換系數(shù)Wf(a，b)主要依賴于信號(hào)在［b－aDy，b＋aDy］片段中的情況，時(shí)間寬度是2aDy，該時(shí)間寬度是隨著尺度a的變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力。1(6)若用信號(hào)通過濾波器來解釋，小波變換與短時(shí)傅里葉變換不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅里葉變換來說，帶通濾波器的帶寬Df與中心頻率f無關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬Df則正比于中心頻率f，即(C為常數(shù))亦即濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱之為等Q結(jié)構(gòu)(Q為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且有

)。1與標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換相比，小波分析中所用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù)y(x)具有多樣性。但小波分析在工程應(yīng)用中的一個(gè)十分重要的問題是最優(yōu)小波基的選擇問題，這是因?yàn)橛貌煌男〔ɑ治鐾粋€(gè)問題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。目前，主要是通過用小波分析方法處理信號(hào)的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來判定小波基的好壞，并由此選定小波基。1.2

常用小波函數(shù)介紹1但在眾多小波基函數(shù)(也稱核函數(shù))的家族中，有一些小波函數(shù)被實(shí)踐證明是非常有用的。我們可以通過waveinfo函數(shù)獲得工具箱中的小波函數(shù)的主要性質(zhì)，小波函數(shù)y和尺度函數(shù)f可以通過wavefun函數(shù)計(jì)算，濾波器可以通過wfilters函數(shù)產(chǎn)生。在本節(jié)中，我們主要介紹一下MATLAB中常用到的小波函數(shù)。1在這里，我們畫出db4和db8小波的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾波器和重構(gòu)濾波器的圖形，如圖1.4所示。Daubechies小波函數(shù)提供了比Haar組更有效的分析和綜合。Daubechies系中的小波基記為dbN，N為序號(hào)，且N＝1，2，…，10。在MATLAB中，可以輸入命令waveinfo(￠db￠)獲得

Daubechies函數(shù)的一些主要性質(zhì)。11.2.3

Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函數(shù)系的主要特性體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號(hào)與圖像的重構(gòu)中，通常的用法是采用一個(gè)函數(shù)進(jìn)行分解，用另外一個(gè)小波函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。眾所周知，如果使用同一個(gè)濾波器進(jìn)行分解和重構(gòu)，對(duì)稱性和重構(gòu)的精確性將成為一對(duì)矛盾，而采用兩個(gè)函數(shù)，將有效地解決這個(gè)問題。設(shè)函數(shù)用于信號(hào)分解，而函數(shù)y用于信號(hào)重構(gòu)，則分解和重構(gòu)的關(guān)系式為(1.21)1Biorthogonal函數(shù)系通常表示成biorNr.Nd的形式：Nr＝1

Nd＝1，3，5Nr＝2Nd＝2，4，6，8Nr＝3Nd＝1，3，5，7，9Nr＝4Nd＝4Nr＝5Nd＝5Nr＝6Nd＝8其中，r表示重構(gòu)(Reconstruction)；d表示分解(Decomposition)。1在這里，我們畫出bior2.4和bior4.4小波(分別用于分解與重構(gòu))的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾波器和重構(gòu)濾波器的圖形，如圖1.5所示。在MATLAB中，可輸入命令waveinfo(￠bior￠)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。11.2.5SymletsA(symN)小波系Symlets函數(shù)系是由Daubechies提出的近似對(duì)稱的小波函數(shù)，它是對(duì)db函數(shù)的一種改進(jìn)。Symlets函數(shù)系通常表示為symN(N＝2，3，…，8)的形式。在這里，我們畫出sym4和sym8小波的尺度函數(shù)、小波函數(shù)、分解濾波器和重構(gòu)濾波器的圖形，如圖1.7所示。在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠sym￠)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。1圖1.71當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，k＝0；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，k＝1。式(1.30)可以用來構(gòu)造濾波器。它的雙尺度關(guān)系為(1.31)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，f是對(duì)稱的，x＝1/2；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，f是反對(duì)稱的，x＝0。11.2.10

其他一些實(shí)數(shù)小波簡介下面介紹幾個(gè)MATLAB工具箱中的實(shí)數(shù)小波函數(shù)。1.RbioNr.Nd小波RbioNr.Nd函數(shù)是reverse雙正交小波。在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠rbio￠)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。1f

(p)2＝1(1.35)在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠cgau￠)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。12.Cmor小波Cmor是復(fù)數(shù)形式的morlet小波，其表達(dá)式為(1.36)其中，fb是帶寬參數(shù)，fc是小波中心頻率。在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠cmor￠)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。13.Fbsp小波Fbsp是復(fù)頻域B樣條小波，表達(dá)式為(1.37)其中，m是整數(shù)型參數(shù)；fb是帶寬參數(shù)；fc是小波中心頻率。在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠fbsp￠)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。14.Shan小波Shan函數(shù)是復(fù)數(shù)形式的shannon小波。在B樣條頻率小波中，令參數(shù)m＝1，就得到了Shan小波，其表達(dá)式為(1.38)其中，fb是帶寬參數(shù)；fc是小波中心頻率。在MATLABA中，可輸入waveinfo(￠shan￠)獲得該函數(shù)的主要性質(zhì)。下面，我們將MATLAB工具箱中15個(gè)小波(或小波系)的一些主要的性質(zhì)加以對(duì)比，見表1-1。1表1-1MATLAB工具箱中15個(gè)小波(或小波系)的主要性質(zhì)1續(xù)表11.3.1

一維連續(xù)小波變換定義1.3

設(shè)y(t)∈L2(R)，其傅里葉變換為Y(w)，當(dāng)Y(w)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件)：(1.39)1.3

連續(xù)小波變換1時(shí)，我們稱y(t)為一個(gè)基本小波或母小波(MotherWavelet)。將母函數(shù)y(t)經(jīng)伸縮(Dilation)和平移(Translation)后得：(1.40)稱為一個(gè)小波序列。其中，a為伸縮因子；b為平移因子。1對(duì)于任意的函數(shù)f

(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為(1.41)其重構(gòu)公式(逆變換)為(1.42)1由于基小波y(t)生成的小波ya，b(t)在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，因此y(t)還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件(1.43)故Y(w)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件(1.39)，Y(w)在原點(diǎn)必須等于0，即1為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，除了完全重構(gòu)條件外，還要求小波y(t)的傅里葉變換滿足下面的穩(wěn)定性條件：(1.44)式中，0<A≤B<∞。從穩(wěn)定性條件可以引出一個(gè)重要的概念。1定義1.4(對(duì)偶小波)

若小波y(t)滿足穩(wěn)定性條件式(1.44)，則定義一個(gè)對(duì)偶小波(t)，其傅里葉變換(w)由下式給出(1.45)1圖1.141上式相應(yīng)的逆變換為(1.63)二進(jìn)小波不同于連續(xù)小波的離散小波，它只是對(duì)尺度參數(shù)進(jìn)行了離散化，而對(duì)時(shí)間域上的平移參量保持連續(xù)變化，因此二進(jìn)小波不破壞信號(hào)在時(shí)間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。1圖1.151雙正交小波為(1.73)二維雙正交小波變換由對(duì)應(yīng)的小波基確定，正變換的二維小波基為1(1.74)反變換的二維小波基為(1.75)11.4.6

平穩(wěn)小波變換常用的離散二進(jìn)小波變換在尺度間的正交小波基是非一致降樣取樣的，隨著尺度的增大，取樣間隔以2的指數(shù)變大，因而不能從多尺度的角度很好地匹配信號(hào)的局部特征，故該方法在信號(hào)的奇異點(diǎn)容易產(chǎn)生振蕩效應(yīng)。平穩(wěn)小波變換是在正交小波變換的基礎(chǔ)上提出的，它是一種冗余小波變換，使用冗余離散小波基，具有平移不變性，因而信號(hào)在冗余離散小波基上的表示可看成是信號(hào)在一系列離散小波基上表示的平均，小波系數(shù)和尺度系數(shù)與原始信號(hào)等長，可以很好地削弱離散二進(jìn)小波變換中的振蕩效應(yīng)。圖1.16描述了平穩(wěn)小波變換分解的基本步驟。1圖1.161圖1.16表明了平穩(wěn)小波變換與正交小波變換不同，平

穩(wěn)小波變換在每次分解時(shí)不進(jìn)行下抽樣。由于平穩(wěn)小波變換去除了下抽樣處理，包含在小波系數(shù)中的信息是冗余的，這種冗余性有利于找到尺度內(nèi)與尺度間小波系數(shù)之間的依賴關(guān)系，使建立在小波系數(shù)鄰域上的系數(shù)方差估計(jì)精度有了很大的提高。平穩(wěn)小波變換的重構(gòu)過程是：首先對(duì)變換后的小波系數(shù)分別進(jìn)行偶抽樣和奇抽樣，將偶抽樣和奇抽樣后的小波系數(shù)分別進(jìn)行重構(gòu)；然后求它們的平均值。1平穩(wěn)小波變換的分解公式為(1.76)(1.77)其中，cj，k為尺度系數(shù)(近似部分的系數(shù))；dj，k為小波系數(shù)(細(xì)節(jié)部分的系數(shù))；

、分別表示在h0、h1兩點(diǎn)間插入的2j－1個(gè)零；h0＝〈f1，0，f0，k〉，h1＝〈y1，0，y0，k〉；y為尺度函數(shù)；φ為小波函數(shù)；n＝0，1，…，N－1，N是信號(hào)長度。1平穩(wěn)小波變換的重構(gòu)公式為(1.78)分別為h0(k)、h1(k)的對(duì)偶基。11.5.1

矢量小波傳統(tǒng)意義的小波變換是以Hilbert空間中的內(nèi)積作為展開式，我們統(tǒng)稱為數(shù)量積小波變換。近年來，人們提出并研究了一種新的小波分析——矢量積小波分析。1.5

矢量小波變換1定義1.7數(shù)量積小波的尺度函數(shù)的雙尺度方程表達(dá)式為(1.79)其中，hk為V－1子空間的基函數(shù)的展開系數(shù)。1定義1.9

矢量積小波函數(shù)是數(shù)量積小波函數(shù)的推廣，是它的矩陣表現(xiàn)形式，其尺度函數(shù)的雙尺度方程可表示為(1.81)其中，f為r維矢量；h*(k)為r×r維矩陣。1時(shí)提出了多分辨分析(Multi-ResolutionAnalysis)的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變換的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅里葉變換算法在經(jīng)典傅里葉分析中的地位。Meyer1于.16986年多創(chuàng)造分性辨地構(gòu)分造析出具與有M一a定l衰la減t性算的法光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成L2(R)的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年，S.Mallat在構(gòu)造正交小波基1圖1.171在理解多分辨分析以及下一節(jié)的小波包分析時(shí)，我們必須牢牢把握一點(diǎn)：其分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近L2(R)空間的正交小波基(或正交小波包基)，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。從圖1.17可以看出，多分辨分析只對(duì)低頻空間進(jìn)

行進(jìn)一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。下面我們就看多分辨分析是如何構(gòu)造正交小波基的。1定義1.11

空間L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中滿足如下條件的一個(gè)空間序列{Vj}j∈Z：①單調(diào)性：②逼近性：③伸縮性：，對(duì)任意j∈Z。。。伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。④平移不變性：對(duì)任意k∈Z，有fj(2－j/2t)∈Vj

fj(2－j/2t－k)∈Vj。1⑤Riesz基存在性：存在f(t)∈V0，使得{f(2－j/2t－k)|k∈Z}構(gòu)成Vj的Riesz基。對(duì)于條件⑤，可以證明，存在函數(shù)f(t)∈V0，使它的整數(shù)平移系{f(2－j/2t－k)|k∈Z}構(gòu)成Vj的規(guī)范正交基，我們稱f(t)為尺度函數(shù)(Scaling

Function)。定義函數(shù)(j，k∈Z)(1.85)fj，k(t)＝2－j/2f(2－jt－k)則函數(shù)系{fj，k(t)|k∈Z}是規(guī)范正交的。設(shè)以Vj表示圖1.17分解中的低頻部分Aj，Wj表示分解中的高頻部分Dj，則Wj是Vj在Vj＋1中的正交補(bǔ)，即(1.86)1顯然(1.87)則多分辨分析的子空間V0可以用有限個(gè)子空間來逼近，即有(1.88)1空間列{Wj|j∈Z}具有以下性質(zhì)：①f(t)∈Wj②f(t)∈Wj③f(t－2jn)∈Wj(j，n∈Z)；f(2t)∈Wj＋1(j∈Z)；，當(dāng)|j|→∞時(shí)，對(duì)任意f∈L2(R)和Vj一0樣，我們希望找出一個(gè)確定的函數(shù)y(t)∈W

，使得對(duì)每個(gè)j∈Z，函數(shù)系{yj，n|n∈Z}構(gòu)成空間Wj的規(guī)范正交基。其中，yj，n(t)＝2－j/2y(2－jt－n)。1若令fj∈Vj代表分辨率為2－j的函數(shù)f∈L2(R)的逼近(即函數(shù)

f

的低頻部分或“粗糙像”)，而dj∈Wj代表逼近的誤差(即函數(shù)f

的高頻部分或“細(xì)節(jié)”部分)，則式(1.88)意味著：f0＝f1＋fd＝f2＋d2＋d1＝…＝fN＋dN＋dN－1＋…＋d2＋d1(1.89)注意到f＝f0，所以上式可簡寫為(1.90)1這表明，任何函數(shù)f∈L2(R)都可以根據(jù)分辨率為2－N時(shí)f

的低頻部分(“粗糙像”)和分辨率2－j(1≤j

≤N)下f的高頻部分(“細(xì)節(jié)”部分)完全重構(gòu)，這恰好是著名Mallat塔式重構(gòu)算法的思想。從包容關(guān)系，我們很容易得到尺度函數(shù)f(t)的一個(gè)極為有用的性質(zhì)。注意到f0，0(t)∈V0∈V－1，所以f(t)＝f0，0(t)可以用V－1子空間的基函數(shù)f－1，k(t)＝21/2f(2t－k)展開令展開系數(shù)為hk，則(1.91)這就是尺度函數(shù)的雙尺度方程。1另一方面，由于V－1＝V0

W0，故y(t)＝y(tǒng)0，0(t)∈W0∈W－1，這意味著小波基函數(shù)y(t)可以用V－1子空間的正交基f－1，k(t)＝21/2f(2t－k)展開，令展開系數(shù)為gk，即有(1.92)這就是小波函數(shù)的雙尺度方程(尺度函數(shù)的雙尺度方程和小波函數(shù)的雙尺度方程在1.5節(jié)已經(jīng)提及)。1雙尺度方程式(1.91)和式(1.92)表明，小波基yj，k(t)可由尺度函數(shù)f(t)的平移和伸縮的線性組合獲得，其構(gòu)造歸結(jié)為濾波器H(w)(h(k)的頻域表示)和G(w)(g(k)的頻域表示)的設(shè)計(jì)。由y(t)的二進(jìn)伸縮平移張成的空間1則①Wj⊥Vj，WjVj＝Vj＋1，從而，Wj⊥Wj￠，j≠j￠。②{yj，n}n∈Z是Wj中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而{yj，n}j，n∈Z是L2(R)中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，即小波正交基。1綜合以上分析，我們可以歸納出為了使fj，k(t)＝2－j/2f(2－jt－k)構(gòu)成Vj子空間的正交基，生成元f(t)(尺度函數(shù))應(yīng)該具有下列基本性質(zhì)：①尺度函數(shù)的容許條件，

。②能量歸一化條件：

。③尺度函數(shù)f(t)具有正交性，即〈f(t－l)，f(t－k)〉＝d(k－k，l∈Z。11.6.2

Mallat算法(快速小波變換FWT)Stephane

Mallat利用多分辨分析的特征構(gòu)造了快速小波變換算法，即Mallat算法。假定選擇了空間Wm和函數(shù)f，且f0n是正交的，設(shè){ymn；m，n∈Z}是相伴的正交小波基，f和y是實(shí)的。把初始序列分解到相應(yīng)于不同頻帶空間的層。由數(shù)據(jù)列C0∈L2(Z)可構(gòu)成函數(shù)f：(1.93)1或者(1.94)這個(gè)函數(shù)顯然屬于V0，對(duì)這個(gè)函數(shù)現(xiàn)在就可以用多分辨分析。需要計(jì)算相對(duì)于f

的迭代Pj

f

和對(duì)應(yīng)于在兩個(gè)迭代層次的差Qj

f。由于V0＝V1

W1的元素

f

可以被分解為它的屬于V1和W1的分支：(1.95)1與j無關(guān)，由此可得(1.113)或者C2＝HC1(1.114)類似地有D1＝GC1(1.115)此式顯然可根據(jù)需要多次迭代，在每一步都可看到(1.116)其中，Cj＝HCj－1，Dj＝GCj－1。1上述為Mallat算法的分解過程。迭代Cj是原始C0越來越低的分解形式，每次采樣點(diǎn)比它前一步減少一倍，Dj包含了Cj和Cj－1之間的信息差。Mallat算法可在有限的L步分解后停止，即把C0分解為D1，…，DL和CL。若開始C0有N個(gè)非零元，則在分解中非零元的總數(shù)(不算邊的影響)是N/2＋N/4＋…＋N/2L＋N/2L＝N。這說明，在每一步中，Mallat算法都保持非零元總數(shù)。算法的分解部分如下：假若已知Cj和Dj，則(1.117)1因而(1.118)或者(1.119)1重構(gòu)算法也是一個(gè)樹狀算法，而且與分解算法用的是同樣的濾波系數(shù)。算法的分解和重構(gòu)結(jié)構(gòu)圖如圖1.18和圖1.19所示。1圖1.181圖1.1911.7.1提升小波變換的概述傳統(tǒng)的第一代小波變換是在歐氏空間內(nèi)通過基底的平移和伸縮構(gòu)造小波基的，不適合非歐氏空間的應(yīng)用，因此小波提升方案應(yīng)運(yùn)而生，它是構(gòu)造第二代小波變換的理想方法。1.7

提升小波變換1提升的實(shí)現(xiàn)形式給出了小波完全的空間域解釋，它具有許多優(yōu)良的特性：結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)算量低、原位運(yùn)算、節(jié)省存儲(chǔ)空間、逆變化可以直接反轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)，以及可逆的整數(shù)到整數(shù)變換，便于實(shí)現(xiàn)。在高速處理、移動(dòng)手持設(shè)備、低功耗設(shè)備的應(yīng)用中具有很大的吸引力。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在許多領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。在靜態(tài)圖像處理中，提升小波已被選做JPEG2000的變換核。它提供了多精度的功能，同基于JPEG2000的標(biāo)準(zhǔn)相比，在很低的比特率時(shí)具有較好的壓縮DCT的JPEG性能，并且提供了在同一個(gè)編碼結(jié)構(gòu)內(nèi)有效的失真和無失真壓縮。1在視頻領(lǐng)域，使用提升小波方法自適應(yīng)地對(duì)任意形狀的物體進(jìn)行編碼，顯著提高了編碼效率，在靜止圖像編碼上明顯優(yōu)于MPEG4；視頻物體的主觀評(píng)價(jià)效果更好，具有比MPEG4更少的塊效應(yīng)。通過提升小波的梯形結(jié)構(gòu)，提出的漸進(jìn)性的小波逆變換合成(PIWS)算法來保證一個(gè)局域場(chǎng)景的再現(xiàn)只需要使用部分的壓縮數(shù)據(jù)，這樣減少了數(shù)據(jù)訪問量和計(jì)算開銷，實(shí)現(xiàn)了在3D環(huán)境下從壓縮數(shù)據(jù)集中實(shí)時(shí)再現(xiàn)3D。提升小波用于一維信號(hào)消噪和圖像消噪也得到了良好的效果。通過將水印加入到提升結(jié)構(gòu)正在處理的小波系數(shù)中，進(jìn)一步增強(qiáng)了安全性。1提升小波可以在原有小波的基礎(chǔ)上構(gòu)造出更有效的適用于特殊應(yīng)用的小波。它從另一個(gè)角度給小波的構(gòu)造和性質(zhì)作出了解答。同時(shí)，它也把數(shù)值分析領(lǐng)域的“細(xì)分插值”、

“均值插值”、“高階矩”、“歐拉算法”等概念和小波分析的“消失矩”、“尺度函數(shù)”、“小波函數(shù)”等概念巧妙地融為一體。11.7.2

提升法的步驟二維離散小波變換最有效的實(shí)現(xiàn)方法之一是采用Mallat算法，通過在圖像的水平和垂直方向交替采用低通和高通濾波實(shí)現(xiàn)。這種傳統(tǒng)的基于卷積的離散小波變換計(jì)算量大，計(jì)算復(fù)雜度高，對(duì)存儲(chǔ)空間的要求較高，不利于硬件實(shí)現(xiàn)。提升小波的出現(xiàn)有效地解決了這一問題。提升算法相對(duì)于Mallat算法而言，是一種更為快速有效的小波變換實(shí)現(xiàn)方法，被譽(yù)為第二代小波變換。它不依賴于傅里葉變換，繼承了第一代小波的多分辨率特征，采用原位操作，計(jì)算速度快，計(jì)算時(shí)無需額外的存儲(chǔ)開銷。1Daubechies已經(jīng)證明，任何離散小波變換或具有有限長濾波器的濾波變換都可以被分解成為一系列簡單的提升步驟，所有能夠用Mallat算法實(shí)現(xiàn)的小波，都可以用提升算法來實(shí)現(xiàn)。提升算法給出了雙正交小波簡單而有效的構(gòu)造方法，使用了基本的多項(xiàng)式插補(bǔ)來獲取信號(hào)的高頻分量，然后通過“保持原信號(hào)的均值和高階矩不變”的限制條件來獲取信號(hào)的低頻分量。提升算法的基本思想是，將現(xiàn)有的小波濾波器分解成基本的構(gòu)造模塊，分步驟完成小波變換。1提升方案把第一代小波變換過程分為以下三個(gè)步驟：分解(Split)、預(yù)測(cè)(Predict)和更新(Update)。提升算法的分解和重構(gòu)如圖1.20所示。1圖1.201(1)分解。將輸入信號(hào)si分為兩個(gè)較小的子集si－1和di－1，di－1也稱為小波子集。最簡單的分解方法是將輸入