工程碩士研究生隨機(jī)過(guò)程復(fù)習(xí)題

3!3!工程碩士隨機(jī)過(guò)程復(fù)習(xí)題1設(shè)有隨機(jī)過(guò)程X(t)=Acos(o-1),其中o<t<8，?為常數(shù)，A是服從［1,2］上的均勻分布，確定t分別為％和%?時(shí)，求隨機(jī)變量X⑴的概率密度.(12分)解(1)當(dāng)r=—時(shí)X(t)=Accos=-Aoo□FA□FA(X)=[01<x<2其它所以,X(t)的概率密度為:-2<y<-1其它(2)當(dāng)t(2)當(dāng)t=—時(shí)4oX(t)=Accos冗4o[0—<y[0—<y<2其它f-(y)=f22y)*J2=2AA22設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=e-At，t〉0，其中A是在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量X⑴的一維概率密度函數(shù)f(x;1)和一維分布函數(shù)F(x;1)。解(1)當(dāng)t=1時(shí)X(t)=e-At=e-AI11<x<2f(X)=[0其它所以,X(t)的分布函數(shù)為:1,x>1/eF(x;1)=<2+Inx,1/e2<x<1/eX0x<1/e2

3設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Asin(w-1)+Bcos(w-1),其中o<t<s,w為常數(shù),A和B互不相關(guān),EA=EB=0,DA=DB=52,求x(t)均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù).(12分)解：e[X(t)]=e(gsin(w-1)+耳cos(w-1))=Eg-sin(w-1)+E耳-cos(w-1)=0由于g和耳互不相關(guān)，E=Eg-En=0。又Eg2=E耳2=52因此R(t,t+T)=EX(t)X(t+T)=Eg2cosw?tcosw-(t+t)+En2sin(w?t)sinw?(t+t)=52coswt令N(t)，-g<t<g是參數(shù)為九的泊松過(guò)程，計(jì)算EN(t)N(t+s)。(10分)EN(t)N(t+s)=E[N(t)—N(0)][N(t+s)—N(t)+N(t)]=E[N(t)-N(0)][N(t+s)-N(t)]+EN2(t)]=九2st+Xt+(九t)2=九t(九s+1+九t)5已知強(qiáng)度為九的泊松分布的概率是p{X=k}=-,k=0,1,2,???,。k!寫(xiě)出強(qiáng)度為X的泊松過(guò)程{N(t),t>0}需滿足的三個(gè)條件；假設(shè)110報(bào)警電話在(0,t]內(nèi)接到電話的呼叫數(shù)N(t)是具有強(qiáng)度(每分鐘)為1的泊松過(guò)程，求2分鐘內(nèi)接到3次呼叫的概率?！暗诙昼妰?nèi)收到第三次呼叫”的概率解：(1)泊松過(guò)程應(yīng)滿足的三個(gè)條件：它是獨(dú)立增量過(guò)程；對(duì)任意的t>t>0，增量N(t)—N(t)~兀(X(t—t))；000N(0)=0。(2)X=1，t=2，k=3，(Xt)k?e—(Xt)23?e—243e2k!P{X=3}=P[N(2)—N(0)=3]===-3e2k!3)tP(N(1占N(0)kN-(2)N>(4)3)k00九2=e-x(1+九+)-e-x(-1九2+九22)6某商場(chǎng)為調(diào)查顧客到來(lái)的客源情況，考察了男女顧客來(lái)商場(chǎng)的人數(shù)。假設(shè)男女顧客來(lái)商場(chǎng)的人數(shù)分別獨(dú)立地服從每分鐘2人與每分鐘3人的泊松過(guò)程。試求到某時(shí)刻t時(shí)到達(dá)商場(chǎng)的總?cè)藬?shù)的分布；在已知t時(shí)刻以前有50人到達(dá)的條件下，試求其中恰有30位婦女的概率。解：設(shè)N(t),N(t),N(t)分別為(0,t)時(shí)段內(nèi)到達(dá)商場(chǎng)的男顧客數(shù)、女顧客數(shù)及總?cè)藬?shù)。12(1)由已知，N(t)為強(qiáng)度X=2的泊松過(guò)程，N(t)為強(qiáng)度X=3的泊松過(guò)程；1122故，N(t)為強(qiáng)度X=X+X=5的泊松過(guò)程；于是,12P(P(N(t)=(51)ke-51k!

k=0,1,2,2)2)P(N(t)=30N(t)=50)2

P(N(t)=30,N(t)=50)2P(N(t)=50)P(N(t)=30)P(N(t)=20)

(31)30e-31/30!x(21)20e-21/20!(5t)50e-5t/50!(31)30e-3t/30!x(21)20e-21/20!32=C30(—)30(—)20(5t)50e-5t/50!50557已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程x7已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程x(t),-g<t<g的譜密度為S(①)=X,求X(t)的相關(guān)函數(shù)和EX2(EX2(t).(12分).解:?2+3?2+321S(x)===—x?4+3?2+2(?2+2)(?2+1)?2+1?2+2R(T)=匚R(T)=匚X-1(SX(①))=e_L丨—EX2(t)=R(0)=e_tX點(diǎn)e"2'T8設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=AC0S(w0-t+O)，其中…t<8，w0為常數(shù)，:和①是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，匚服從［1,2］上的均勻分布,①服從［0,2“］上的均勻分布?試求⑴x(t)均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。(2)討論X(t)的數(shù)學(xué)期望的各態(tài)歷經(jīng)性.(16分)解：(1)因?yàn)镋A=-1,E①=—22兀EX(t)=EAcos(w-1+①)=00Rx(t,t+T)=Ex(t)x(t+T)=EAcos(wt+①)Acos(w(t+t)+①)00=EA2*Ecos(wt+①)cos(w(t+t)+①)00281=E(—(cosw((2t+t)+2①)+cos(wt)12200lx(t)：：=limlx(t)：：=limfAcos(wt+①)dt2T0—TTT8A=limsin(wt+①)TT82Tw0TT80A(2)=lim[sin(wT+①)—sin(w(-T)+①)](2)TT82Tw00TT80=0=Ex(t)所以,x(t)具有數(shù)學(xué)期望的各態(tài)歷經(jīng)性10已知均值為零的實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t),—8<t<8的相關(guān)函數(shù)R(T)=e—Pt，Y(t)滿足X隨機(jī)微分方程Y'(t)+aY(t)=X(t)，其中a,p,為常數(shù)。求(1)判斷輸出過(guò)程Y⑴是否為平穩(wěn)過(guò)程，若是，求Y⑴的均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和譜密度(2)求X(t)和丫(t)的互譜密度.(1)對(duì)Y，(t)+aY(t)=X(t)兩邊作拉普拉斯變換有sY(s)+aY(s)=X(s)X(jO)S(O)=\h(jo)|2S(o)=YXa2+o21o2+p21a2+o2R(t)=g-1(S(o))=綏(丄e-^YYa2-p22p12ae-aLI)2)S(o)=H(jo)S(o)=YX11設(shè)有白噪聲電壓X(t),其自相關(guān)函數(shù)，將它加到如下圖的RC電路中，求:輸出的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)輸出的平均功率；輸出的譜密度求輸入與輸出的互譜密度dY(t)解：由題意(1)RC+Y(t)=X(t)dt對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換得RCSY(s)+Y(s)=X(s)轉(zhuǎn)移函數(shù)為H(s)=1單位頻率響應(yīng)為h(jo)=jrr其中，aRCm(t)=mYX(t)J+8h(t)dt=0—8工程碩士隨機(jī)過(guò)程復(fù)習(xí)題1設(shè)有隨機(jī)過(guò)程X(t)=Acos(t),其中0<t5,o為常數(shù)，A是服從［1,2］上的均勻分布，確定t分別為％和巧?時(shí)，求隨機(jī)變量x(t)的概率密度.(12分)兀兀解(1)當(dāng)t=時(shí)X(t)=Acoso=-Aoo1<x<2其它-2<y<-1其它所以,-2<y<-1其它f(y)=f(-y)=〔0-AA[0(2)當(dāng)t=(2)當(dāng)t=—時(shí)4oX(t)=Acoso冗4o2呂|o其它<2呂|o其它<y<0,其他⑵fx(x；1)="1/x,1/e2<x<1/ef-(y)=f(\‘2y)72=—TAA22設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=e-At，t>0，其中A是在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量X(1)的一維概率密度函數(shù)f(x;1)和一維分布函數(shù)F(x;1)。解⑴當(dāng)t=1時(shí)x(t)=e-At=e-A1<x<2其它所以,X(t)的分布函數(shù)為:1,x>1/eF(x;1)=<2+Inx,1/e2<x<1/eX0x<1/e222ii二0i二0N又S(W)=0X2對(duì)S(w)進(jìn)行傅立葉變換有ry(t)=aN4e_N又S(W)=0X2對(duì)S(w)進(jìn)行傅立葉變換有ry(t)=aN4e_a4互譜密度為S(W)二H(jW)S(W)二XYX1Noajw+1212設(shè)x,n>0是具有三個(gè)狀態(tài)的齊次馬氏鏈，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為n「1/21/20-P=1/21/20001試證此鏈不是遍歷的13設(shè)x,n>0是具有三個(gè)狀態(tài)0，1，2的齊次馬氏鏈,步轉(zhuǎn)移概率矩陣為1/43/401/41/21/401/43/4初始分布為p(0)=iP{X0i}=1/3,i=0,1,2，求(1)P{x=0,X=1,X=2}12解：1)(3)P02(4)(4)判斷此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性，若是遍歷的，求其平穩(wěn)分布P(X0,X=1,X1=2}=p(0)pp011244162)因「1/43/40_「1/43/40一「1/49/163/16—1/41/21/41/41/21/4=3/161/25/1601/43/401/43/41/165/165/8P2=135103——(—■+一'+)31616168P{X=2}=ZP(X=i,X=2)=Zp(0)p(2)202ii2

P(4)=Zp(2)p(2)——020kk2256因?yàn)榇嬖趍=2,使得Pm>0(i,j—o,i,2)，所以此鏈具有遍歷性i,j411兀42n—(411兀42n—(兀，兀，