福建省泉州市原州區(qū)彭堡中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

福建省泉州市原州區(qū)彭堡中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列運(yùn)算正確的是()A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x)′B.(cosx·sinx)′＝(sinx)′·cosx＋(cosx)′·cosxC．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2)′(x2)′D．[(3＋x2)(2－x3)]′＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)參考答案：B2.設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，M，N分別是兩圓：(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值、最大值分別為A．2，6

B．4，8

C．6，8

D．8，12參考答案：B3.設(shè)橢圓(a＞b＞0)的離心率為e＝，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)

A．必在圓x2＋y2＝2內(nèi)

B．必在圓x2＋y2＝2上C．必在圓x2＋y2＝2外

D．以上三種情形都有可能參考答案：A4.如圖，是某籃球運(yùn)動(dòng)員在一個(gè)賽季的30場比賽中的得分的莖葉圖，則得分的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A.3和3

B.23和3

C.3和23

D.23和23參考答案：B5.若點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.命題“∈R，－x＋1≥0”的否定是（

）

A．∈R，lnx＋x＋1＜0

B．∈R，－x＋1＜0

C．∈R，－x＋1＞0

D．∈R，－x＋1≥0參考答案：B略7.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=ex+x﹣2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g（x）=lnx+x﹣2的零點(diǎn)為b，則下列不等式成立的是(

)A．f（1）＜f（a）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1） C．f（a）＜f（1）＜f（b） D．f（b）＜f（1）＜f（a）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】首先判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再由定義知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，從而可判斷0＜a＜1＜b；從而再利用單調(diào)性判斷大小關(guān)系．【解答】解：易知函數(shù)f（x）=ex+x﹣2在R上是增函數(shù)，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函數(shù)；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，，則A.有最小值3 B.有最小值6 C.有最大值6 D.有最大值9參考答案：B【分析】由題意利用等比數(shù)列的性質(zhì)與基本不等式，求得結(jié)論．【詳解】解：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與基本不等式的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．9.圓C1：x2+（y﹣1）2=1和圓C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0的位置關(guān)系為（）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．內(nèi)含參考答案：A【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，根據(jù)兩圓的圓心距，大于半徑之差，而小于半徑之和，可得兩個(gè)圓關(guān)系．【解答】解：圓C1：x2+（y﹣1）2=1，表示以C1（0，1）為圓心，半徑等于1的圓．圓C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，表示以C2（3，4）為圓心，半徑等于5的圓．∴兩圓的圓心距d==3∵5﹣1＜3＜5+1，故兩個(gè)圓相交．故選：A．10.如圖，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓C上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P作圓O：x2+y2=b2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，則+的值為（）A．1 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由橢圓的離心率結(jié)合隱含條件求得，設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則可得切線PA、PB的方程，即可得到A，B是xP?x+yP?y=b2和圓x2+y2=b2的交點(diǎn)，求出點(diǎn)M（，0），N（0，），從而得到==（）?=，答案可求．【解答】解：，∴，得．設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則切線PA、PB的方程分別為xA?x+yA?y=b2，xB?x+yB?y=b2．由于點(diǎn)P是切線PA、PB的交點(diǎn)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足切線PA的方程，也滿足切線PB的方程．∴A，B是xP?x+yP?y=b2和圓x2+y2=b2的交點(diǎn)，故點(diǎn)M（，0），N（0，）．又，∴==（）?==．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知AB=BC，將△ABE沿邊BE折起，折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn)，則翻折后的幾何體中有如下描述：①AB與DE所成角的正切值是；②AB∥CE③VB﹣ACE體積是a3；④平面ABC⊥平面ADC．其中正確的有．（填寫你認(rèn)為正確的序號(hào)）參考答案：①③④【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】作出直觀圖，逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷．【解答】解：作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示：∵AB=a，BE=a，∴AE=．∴AD=．∴AC=．在△ABC中，cos∠ABC===．∴sin∠ABC==．∴tan∠ABC==．∵BC∥DE，∴∠ABC是異面直線AB，DE所成的角，故①正確．連結(jié)BD，CE，則CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD?平面ABD，AD?平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB?平面ABD，∴CE⊥AB．故②錯(cuò)誤．三棱錐B﹣ACE的體積V===，故③正確．∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．故答案為①③④．12.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球表面永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是

．

參考答案：13.函數(shù)圖像上的點(diǎn)到直線的最小距離為______．參考答案：【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合幾何關(guān)系，尋找與直線平行的直線與相切，切點(diǎn)到直線的距離即為所求.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象，只需尋找與直線平行的直線與相切，切點(diǎn)到直線的距離就是函數(shù)圖像上的點(diǎn)到直線的最小距離，由題，，令，則到直線的距離最小，最小距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，只需尋找與直線平行的直線與相切，且點(diǎn)即為所求點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求解.14.若直線ax－by＋1=0（a>0，b>0）經(jīng)過圓的圓心，則的最小值為____________.參考答案：3+略15.函數(shù)f（x）=﹣x2+4（0≤x≤2）的圖象與坐標(biāo)軸圍成的平面區(qū)域記為M，滿足不等式組的平面區(qū)域記為N，已知向區(qū)域M內(nèi)任意地投擲一個(gè)點(diǎn)，落入?yún)^(qū)域N的概率為，則a的值為_________．參考答案：1略16.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果M為

參考答案：2317.用更相減損術(shù)求38與23的最大公約數(shù)為

參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）設(shè)函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)為，，線段AB的中點(diǎn)為，記直線AB的斜率為k，證明：．參考答案：（1）；（2）見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由條件，進(jìn)而得到最大值，由存在性的思想可得，解不等式得出a的范圍(2)求出和k，把證明轉(zhuǎn)化證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)在上是增函數(shù)即可得出結(jié)論【詳解】(1)∵，其定義域?yàn)?，∴，∵，，∴，所以?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；從而當(dāng)時(shí)，取得最大值，由題意得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)∵，∴，又．不妨設(shè)，要證明，即證明，只需證明，

即證明，構(gòu)造函數(shù)，

則，所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又，所以，從而成立．【點(diǎn)睛】(1)首先是針對(duì)能成立和恒成立題干的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化求最值問題；導(dǎo)數(shù)中的證明中含有兩個(gè)變量的式子對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化證明，將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化成一個(gè)變量是解答這類題目的關(guān)鍵，然后利用函數(shù)最值思想去解決問題。19.如圖，已知橢圓=1（a＞b＞0），F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B、（1）若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；（2）若=2，?=，求橢圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；綜合題．【分析】（1）根據(jù)∠F1AB=90°推斷出△AOF2為等腰直角三角形，進(jìn)而可知OA=OF2，求得b和c的關(guān)系，進(jìn)而可求得a和c的關(guān)系，即橢圓的離心率．（2）根據(jù)題意可推斷出A，和兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出B的坐標(biāo)，利用已知條件中向量的關(guān)系，求得x和y關(guān)于c的表達(dá)式，代入橢圓方程求得a和c的關(guān)系，利用?=求得a和c的關(guān)系，最后聯(lián)立求得a和b，則橢圓方程可得．【解答】解：（1）若∠F1AB=90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA=OF2，即b=C、所以a=c，e==．（2）由題知A（0，b），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中，c=，設(shè)B（x，y）．由=2?（c，﹣b）=2（x﹣c，y），解得x=，y=﹣，即B（，﹣）．將B點(diǎn)坐標(biāo)代入=1，得+=1，即+=1，解得a2=3c2．①又由?=（﹣c，﹣b）?（，﹣）=?b2﹣c2=1，即有a2﹣2c2=1．②由①，②解得c2=1，a2=3，從而有b2=2．所以橢圓方程為+=1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用和橢圓的簡單性質(zhì)，向量的基本性質(zhì)．注意挖掘題意中隱含的條件，充分利用．20.（本小題滿分12分）設(shè)遞增等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，是和的等比中項(xiàng)．(l)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和參考答案：（1）在遞增等差數(shù)列中，設(shè)公差為，解得

------6分

-------------------9分（2），

-------12分21.設(shè)。（1）求的值；（2）歸納{}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明

參考答案：解：（1）…4

（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以歸納出………..6分

證明：①當(dāng)n=1時(shí),與已知相符，歸納出的公式成立?！?

②假設(shè)當(dāng)n=k()時(shí)，公式成立，即那么,

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立?！?1分

由①②知，時(shí)，有成立。………….12分

22.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足．（1）計(jì)算a1，a2，a3的值，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明不等式：．參考答案：【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）代值計(jì)算，并猜想結(jié)論，（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)，去證明不等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立即可【解答】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，得a1=1；，得a2=2