2022-2023學年山東省九年級下冊數(shù)學期末模擬練習卷（一）含答案

2022-2023學年山東省九年級下冊數(shù)學期末模擬練習卷（一）

一、選一選（本大題共15小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，

把正確答案序號填涂在答題紙相應(yīng)的的位置）

1.方程（x-2/=x-2的解是

A..n=2,X2=3B.xi=2,X2=lC.x=2D.x=3

【答案】A

【解析】

【分析】利用因式分解法求解即可.

【詳解】（x-2）2=x-2,

移項得：（x-2）yx-2尸0,

提公因式得：（x-2）（x-2-D=0,

解得：X]=2,々=3.故選A.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適的方法求解

即可.

2.下列四個點中，在反比例函數(shù)丫=一色的圖象上的是【】

x

A.（3,-2）B.（3,2）C.（2,3）D.（-2,-3）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)點在曲線上點的坐標滿足方程的關(guān)系，將各點坐標代入驗算，滿足y=-9的點

X

即為所求

【詳解】點（3,-2）滿足y=-9,符合題意，

X

點（3,2）沒有滿足y=-9,沒有符合題意，

X

點（2,3）沒有滿足y=-9,沒有符合題意，

X

點（-2,-3）沒有滿足y=-9,沒有符合題意

X

第1頁/總24頁

故選A.

3.如圖，點Q、E分別為A/BC的邊48、/C上的中點，則四邊形8C￡D的面積與zUDE的面

積的比為

A.2:1B.3:1C.4:1D.1:1

【答案】B

【解析】

【分析】由DE〃BC,得△ADEs/XABC且相似比為1：2,從而得面積比為1：4,則可推出

△ADE與四邊形DBCE的面積之比.

【詳解】：點D、E分別為△AI3C的邊A3、AC上的中點，

APE為AABC的中位線,

:.DE〃BC,

.,.△APE-AABC,

s

，9~S~4

3

-4-Tl-

s1-

四邊形BCED的面積與△ADE的面積的比為3：1.

故選8.

【點睛】本題考查了三角形的中位線定理和相似三角形的性質(zhì).（D相似三角形周長的比等于

相似比.（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方.（3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線

的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

4.下列計算錯誤的個數(shù)是（）

①sin60°-sin30°=sin30°②siM450+cos245°=l

③（tan60°）2=—<3）tan30o=—

3sin30"

第2頁/總24頁

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)角三角函數(shù)值，可得答案.

【詳解】A.sin60°-sin300=--v^sin30°,故A錯誤；

22

B.sin245°+cos2450=l,故B正確；

C.(tan60°)2=3,故C錯誤;

D.tan30°=--------,故D錯誤；

cos30°

故選C.

【點睛】此題考查了角的三角函數(shù)值，熟記這些角的三角函數(shù)值是解此題的關(guān)鍵.

5.弧長為3兀的弧所對的圓心角為120°,則弧所在的圓的半徑為

9r3

A.—B.3A/2C.3D.一

2~2

【答案】A

【解析】

【分析】利用弧長公式1=黑，已知弧長為3n,弧所對的圓心角為120。，則可以求出弧所

在圓的半徑.

【詳解】已知弧長為3n,弧所對的圓心角為120。，根據(jù)弧長公式1=胃￡可得：2=3”,

180Io()

,9

則r=—,

2

故答案為A.

【點睛】本題考查了弧長公式的運用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式：1=需.

180

6.若二次函數(shù)的對稱軸是x=-3,則關(guān)于x的方程/+加、=7的解是()

A.xi=0,也=6B.XI=1,X2=7C.XI=1,XI=-7D.x\=-1,X2

=7

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)y=x2-mx的對稱軸是x=-3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7,

第3頁/總24頁

求出X的值即可.

【詳解】?.?二次函數(shù)y=x2-mx的對稱軸是x=-3,

----=-3,解得m=-6,

2

.,.關(guān)于x的方程/+01*=7可化為x—6x-7=0,即（x+1）（x-7）=0,解得X|=-l,x2=7.

故選D.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的對

稱軸.

7.對于二次函數(shù)y=4（"1）（x-3）下列說確的是（）

A.圖象開口向下

B.與x軸交點坐標是（1,0）和（-3,0）

C.xVO時，y隨x的增大而減小

D.圖象的對稱軸是直線x=-1

【答案】C

【解析】

【分析】先把解析式化為頂點式的二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】y=4（x+l）（x—3）

A.：a=4>0,圖象開口向上，故本選項錯誤，

B.與x軸交點坐標是（-1,0）和（3,0），故本選項錯誤，

C.當x<0時，y隨x的增大而減小，故本選項正確，

D.圖象的對稱軸是直線x=l,故本選項錯誤，

故選C.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是理解并靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì).

8.如圖，AB是OO的直徑，CD是的弦，連結(jié)AC、BC、BD、AD,若CD平分NACB,

ZCBA=30°,BC=3j^,則AD的長為（）

第4頁/總24頁

A.3^3B.6C.4mD.3

【答案】B

【解析】

【分析】由直徑所對的圓周角為直角可得NACB=/ADB=90。，再利用角的三角函數(shù)值求出AB

的值，再根據(jù)等弧所對的弦相等勾股定理可得出結(jié)果.

【詳解】.“8是00的直徑，AZACB=ZADB=90°,VZCBA=?,O0,

i-cos30°「

8C=3j6,JAB=3a=6也，VCD平分NACB,/.NBCD=NACD,AAD=BD,

?*-AD=ylAB2-BD2=^AB--AD1，2AD2=72,...AD=6.故選B.

【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，在同圓或等圓中，相等的圓周

角所對的弧相等，解題的關(guān)鍵是得出AP=BP.

9.肥城市劉臺“桃花節(jié)”觀賞人數(shù)逐年增加，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，2015年約為20萬人次，預(yù)計到

2017年約為28.8萬人次，設(shè)觀賞人數(shù)年均增長率為x,則下列方程中正確的是

A.20(l+2x)=28.8B.28.8(1+x)2=20

C.20(1+x)2=28.8P.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)增長率的計算公式：增長前的數(shù)量X(l+增長率)聯(lián)次三增長后數(shù)量，從而得出答案.

【詳解】根據(jù)題意可得方程為：20(1+x)2=28.8,

故選C.

【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.解決這個問題的關(guān)鍵就是明

確基本的計算公式.

10.二次函數(shù)嚴加+bx+c(a,h,c為常數(shù)且在0)的圖象如圖所示，則函數(shù)產(chǎn)ax+b與反比

例函數(shù)y=—的圖象可能是

X

第5頁/總24頁

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ox2+6x+c的圖象，可以判斷〃、從C的正負情況，從而可以判斷函

數(shù)y=?x+b與反比例函數(shù)夕=2的圖象分別在哪幾個象限，從而可以解答本題.

x

【詳解】解：由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知，a>0,b<0,c<0,

則函數(shù)y=ax+6的圖象、三、四象限，

c

反比例函數(shù)歹=一的圖象在二四象限，

X

故選C.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確它們

各自圖象的特點，利用數(shù)形的思想解答問題.

11.關(guān)于X的一元二次方程2爐-后+，(：051=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角a等于

2

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】D

【解析】

【分析】利用根的判別式△=(),然后再利用角的三角函數(shù)的值得出答案.

【詳解】V2x2-42x+-cosa=0有兩個相等的實數(shù)根.

2

.,.△=b2-4ac=2-4COStt=0,

/.cosa=-,

2，

二a=60。.故選D.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟記根的判

別式及三角函數(shù)值.

第6頁/總24頁

12.如圖，A48c與A4DE都是等腰直角三角形，且它們的底分別是8c=5,OE=3,則A48C

與A4QE的面積比為（）

B.25：9C.5：3D,575：3百

【答案】B

【解析】

【分析】先證A48CSA4QE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：48c與A4DE都是等腰直角三角形

?.AABC^MDE<

2

Q

?°NBCBC

S(iADE~DE

又BC=5,DE=3,

.Sy⑸二25

故選：B.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，牢記相似三角形的面

積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在A/BC中，CA=CB,乙4c3=90。，以的中點。為圓心，作圓心角為90。的扇形

?！陸?，點C恰在EF上，設(shè)N8D尸=a（0o<a<90。），當a由小到大變化時，圖中陰影部分的面

積（）

第7頁/總24頁

B

E

A.由小到大B.由大到小C.沒有變D.先由小到

大，后由大到小

【答案】C

【解析】

【分析】作0ML4c于/，DN1BC于N,構(gòu)造正方形。MCM利用正方形和等腰直角三角形

的性質(zhì)，通過證明△ZM/G絲把△￡>“可補到△OVG的位置，得到四邊形。GC"的面積

=正方形。MCW的面積，于是得到陰影部分的面積=扇形的面積-正方形DA/CN的面積，即為

定值.

【詳解】解：作QM_L4c于M,DN1BC于N,連接。C,如圖，

,/CA=CB,ZACB=90°,

：.ZJ=Z5=45°,

DM=-AD=—AB,DN=—BD=-AB,

2424

：.DM=DN,

第8頁/總24頁

.?.四邊形。MCN是正方形，

NMDN=90°,

：.NMDG=90°-NGDN,

,：NE。尸=90。，

NNDH=9Q。-NGDN,

：.NMDG=NNDH,

在△OWG和△￡WH中，

"MDG=ZNDH

<ZDMG=ZDNH,

DM=DH

：./XDMG^ADNHIAAS）,

二四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，

:正方形DMCN的面積=OM=」/182,

8

，四邊形。GC”的面積

8

??百皿lclgk工口?）兀，

?扇形FDE的面積=-9-0-7-r-C--Z--2=---?A--B--，

36016

???陰影部分的面積=扇形面積-四邊形OGC”的面積="二義變（定值），

16

故選C.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，輪船從B處以每小時60海里的速度沿南偏東20。方向勻速航行，在B處觀測燈塔A

位于南偏東50。方向上，輪船航行40分鐘到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東10。方向上，

則C處與燈塔A的距離是（）

第9頁/總24頁

,莘海里c40y5

A.20海里B.40海里D.—匚海

3

里

【答案】D

【解析】

【詳解】解：如圖，作AMJ_BC于M.

40

由題意得，ZDBC=20°,ZDBA=50°,BC=60x一=40海里，ZNCA=10°,

60

則NABC=NABD?NCBD=5()o?20o=30。，

VBD//CN,

.\ZBCN=ZDBC=20°,

工ZACB=ZACN+ZBCN=100+20°=30°,

/.ZACB=ZABC=30°,

**?AB=AC,

VAM±BC于M,

，CM=/BC=20海里，在直角AACM中，

VZAMC=90°,ZACM=30°,

CM_20r

/.AC=cosZ.ACM百=/03(海里).故選D.

；3

考點：解直角三角形的應(yīng)用■方向角問題.

15.已知二次函數(shù)產(chǎn)af+bx+c（存0）的圖象如圖所示，并且關(guān)于x的一元二次方程aN+bx+c—

第10頁/總24頁

加=0有兩個沒有相等的實數(shù)根，下列結(jié)論：①爐-4ac<0；?abc>0；③a~Z?c>0；?m>-2,

其中，正確的個數(shù)有

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【詳解】解：如圖所示：圖象與x軸有兩個交點，則b2-4ac>0,故①錯誤；

?圖象開口向上，...a>0,,對稱軸在y軸右側(cè)，...a,b異號，，b<0,；圖象與y軸交于x

軸下方，.".c<0,abc>0,故②正確；

當x=-l時，a-b+c>0,故③選項正確：

,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點坐標縱坐標為：-2,關(guān)于x的一元二次方程ax?+bx+c-m=0

有兩個沒有相等的實數(shù)根，則m>-2,故④正確.

故選C.

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

二、填空題(請將答案直接填寫在答題紙相應(yīng)位置)

16.方程：(2x+l)(x-1)=8(9-x)-1的根的情況是______.

【答案】有兩個沒有相等的實數(shù)根

【解析】

【詳解】試題分析：整理得：2X2-X-1=72-8X-1，即2/+7x—72=0,

A(x+8)(2x-9)=0,解得：芭=一8,x,=-9.故答案為-8或9三.

22

考點：解一元二次方程-因式分解法.

17.如圖，在塔力8前得平地上選擇一點C,測出塔頂?shù)难鼋菫?0。，從。點向塔底8走100米

到達。點，測出塔頂?shù)难鼋菫?5。，則塔/8的高為.

第11頁/總24頁

【答案】(50百+50冰

【解析】

【詳解】設(shè)AB=xm,則BD=x,因為CD=100,則BC=(100+x)m,在Rt\ABC中，

tan30°=—-—=—，解得x=50ji+50

100+x3

【方法點睛】這是一道三角函數(shù)的綜合題，類似于河南中考第19題，在兩個直角三角形中

利用三角函數(shù)解決問題，是題型，需要認真掌握.

18.設(shè)/(一2,芹)、5(1,次)、C(2,g)是拋物線y=-(x+l)2+A上的三點，則"、為、”的大

小關(guān)系為.

【答案】必>%>%

【解析】

【分析】本題要比較必，%,%的大小，由于必，外，%是拋物線上三個點的縱坐標，所

以可以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答：先求出拋物線的對稱軸，再由對稱性得A點關(guān)于對稱軸

的對稱點A'的坐標，再根據(jù)拋物線開口向下，在對稱軸右邊，>隨x的增大而減小，便可得出必，

y2,%的大小關(guān)系.

【詳解】解：???拋物線夕=-(x+iy+%,

「力(-2,%)，

.-.4點關(guān)于x=-1的對稱點4(0,必)，

a=-\<0,

??.在x=—i的右邊y隨x的增大而減小,

第12頁/總24頁

A'(0,yt),5(1,y2),C(2,J>3),0<l<2,

必>%>%，

故答案選：為.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，對稱釉的求法，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì):

a〉o時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大；。<0時,

在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小.

19.如圖（°）,有一張矩形紙片/BCD,其中NZ>6cm,以“。為直徑的半圓，正好與對邊BC

相切，將矩形紙片/5CZ）沿OE折疊，使點”落在5c上，如圖（6）.則半圓還露在外面的部

分（陰影部分）的面積為.

（9⑸

【答案】3%———cm2

I4）

【解析】

【詳解】解：如圖，作。于"，連接。K,

AOD

???以4。為直徑的半圓，正好與對邊8C相切，???/￡>=2CD.

，根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，A'D=2CD.

ZC=90°,

JZDA'C=30°.

，Z()DH=30°.

：.NDOH=600.

：.ZDOK=\20°.

120x^x32

，扇形ODK的面枳為=3^r(cm2).

360

第13頁/總24頁

?：N0DH=N0KH=3G。,0D=3cm,

*'-OH=—cm,DH=^^-cm?DK=3A/3CITI-

22

△ODK的面積為gx3百xg=2^（cn?）.

...半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是：3萬一空］cm，

（9⑸

故答案為：37r------cm2.

I4J

20.“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見

木？”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形/3CZ）,東邊城墻43長9里，南邊城墻

長7里，東門點E、南門點尸分別是48,的中點，EGA.AB,FHVAD,EG=15里，HGA

點，則戶77=_里.

【答案】1.05

【解析】

【詳解】VEG1AB.FH±AD,HGA點，

；.FA〃EG,EA〃FH,

/.ZHFA=ZAEG=90°,NFHA=/EAG,

EGEA

**?AGEA00△AFH,?*-.......-------.

AFFH

,.?AB=9里，DA=7里，EG=15里，

e154.5

，F(xiàn)A=3.5里，EA=4.5里，A—=—,

3.5FH

解得FH=1.05里.故答案為1.05.

三、解答題（請在答題紙相應(yīng)位置寫出必要的步驟）

21.HABC,點。是Z8的中點，過點。任作一條直線。尸，交3C的延長線于尸點，交AC于E

第14頁/總24頁

點；求證：AE*CF=BF，EC.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】過C做CM〃AB,交DF于點M,己知條件得出△CMEs/\ADE,Z\FMCs/\FDB然

后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】證明：過C做CM〃AB,交DF于點M,

VCM/7AB

.".△CME^AADE,AFMC^AFDB

.CE_CMCMCF

,,瓦―布'~BD~^F

又：AD=BD

.CECF

"~AE~~BF

:.AE?CF=CE,BF

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì).

22.如圖所示，直線h的方程為y=-x+l,直線L的方程為y=x+5,且兩直線相交于點P,過

點P的雙曲線夕=±與直線h的另一交點為Q(3,a).

(1)求雙曲線的解析式;

第15頁/總24頁

(2)根據(jù)圖象直接寫出沒有等式A>-x+l的解集；

x

(3)若12與x軸的交點為M,求△PQM的面積.

【答案】(1)y=-9;(2)-2<x<0或x>3;(3)15.

X

【解析】

【分析】(1)洌//和/2的聯(lián)立方程組得出點P的坐標，然后把坐標代入y=X即可求解；(2)先

X

利用y=-x+l確定Q(3,-2),然后寫出反比例函數(shù)圖象在函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范

圍即可；

(3)先求出M(-5,0)和h與X軸的交點N的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式，利用

+

$APQM=SARMNSAQMN進行計算.

V=一x+1x=—2

■u解得：\_

Iy=x+5〔歹=3

把尸（-2,3）代入y=8中得：k=-2x3=-6

X

X

（2）-2?0或x>3

—6

(3)?.?0(3,〃)在雙曲線上，；.。=丁=一2,易求得M(-5,0).

設(shè)/i與x軸的交點為N,可求得ML0).

|wx（3+2）=|x6x5=15

SAP（2.W=S"MN+SXQMN=

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與函數(shù)的交點坐標，把兩個

函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.也

考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

23.某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據(jù)市場：在一段時間內(nèi)，單價是40

元時，量是600件，而單價每漲1元，就會少售出10件玩具.

(1)若設(shè)該種品牌玩具的單價為x元(x>40),請將利潤w表示成單價x的函數(shù)；

(2)在(1)問條件下，若商場獲得了10000元利潤，求該玩具單價x應(yīng)定為多少元？

(3)若想獲得利潤，應(yīng)將價格定為多少，并求出此時的利潤.

【答案】(1)片-1(^+1300*-30000;(2)玩具單價為50元或80元時，可獲得10000元利潤，

第16頁/總24頁

（3）價格定為65元時，可獲得利潤12250元.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)量與單價之間的變化關(guān)系就可以直接求出w與x之間的關(guān)系式;（2）列出-

10x2+1300x-30000=10000的方程，求解即可;（3）把片-1。爐+1300丫-30000化為頂點式,求出

利潤即可.

【詳解】（1）W=-10x2+1300X-30000；

（2）依題意-10x2+1300x-30000=10000

解之得：xi=50,X2=80

答：玩具單價為50元或80元時，可獲得10000元利潤；

（3）Vw=-10x2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250,

.,.當x=65,w取得值，

...價格定為65元時,可獲得利潤12250元.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意正確

列出二次函數(shù)的解析式.

24.如圖，直角&ACB,乙4c8=90。，ZJ=60°,以XC為直徑做0。,點G為A8的中點，連接

CG交。。為E點；

（1）求證：點E為CG的中點；

（2）過E點做。為垂足，延長。E交C5于點尸，求證：OE是OO的切線；

（3）在（2）的條件下，若CF=2,求8c的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）12.

【解析】

【分析】（1）連接OE,利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到AG=CG,則4ACG為等邊三角形，

再判斷AOCE是等邊三角形得到NAGC=/0EC=60°,所以O(shè)E〃AB,銳角利用0為AC中點得到E

為CG的中點；（2）利用（1）中OE〃AG得到OELED,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（3）

作GM〃FD交BC于M,如圖，先證明CM=2CF,MC=MG,再利用△MGB為30°角的直角三角形得到

BM=2MG=2CM=4CF,然后利用BC=6CF進行計算即可.

第17頁/總24頁

【詳解】證明：(1)連接在為m△48。斜邊的中點.

又：//=60°

.?.△/華為等邊三角形田N/G小60°.

又,：CO=OE.*.△0/是等邊三角形.

N4GRN儂小60°.上OE//AB

為然中點,

:.E為CG的中點.

(2)由⑴,￡為CG的中點，又為九中點，...儂〃/1G

"EDLAG,：.OELED,；"￡是。。的切線

3做GM〃FD,為CG的中點，

2

.D也是。。的切線.

FE=FC=LMG，:.MC=MG.

2

:△JO為30°角的直角三角形

CM=MG=-MB:.BO6CF

2

.?.除6X2=12.

【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓

的切線垂直于切點的半徑.判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線

的垂線”.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).

25.己知矩形｛8C。的一條邊/。=8,將矩形N8CD折疊，使得頂點8落在C。邊上的P點處,

(1)如圖1,已知折痕與邊8C交于點。，連接NP、OP、0A.若△0C尸與△尸D4的面積比為

1：4,求邊CD的長.

(2)如圖2,在(1)的條件下，擦去折痕/O、線段OP,連接8P.動點以在線段/P上(點

M與點P、4沒有重合)，動點N在線段的延長線上，且8N=PW,連接&W交尸8于點尸,

第18頁/總24頁

作尸于點E.試問當動點也、N在移動的過程中，線段￡尸的長度是否發(fā)生變化？若變

化，說明變化規(guī)律.若沒有變，求出線段小的長度.

【答案】（1）10；（2）2垂.

【解析】

【分析】（1）先證出NC=ND=90。，再根據(jù)Nl+N3=90。，Zl+Z2=90°,得出N2=N3,即可證

出△OCPs根據(jù)△OC尸與的面積比為I：4,得出CP=/M>4,設(shè)。P=X,則

CO8-x,由勾股定理得小=（8-x）2+42,求出x,根據(jù)43=2。尸即可求出邊力3的長；

（2）作M%N,交PB于點Q,求出A/P=M°,BN=QM,得出根據(jù)A/E_LPQ,得

出E0=；PQ,根據(jù)NQM尸=NBNF,證出尸0名/k%尸8,得出再求出E尸=gpB,

由（1）中的結(jié)論求出尸8=而不=4石，代入瓦;力尸8即可得出線段EF的長度沒有變

【詳解】（1）如圖1,：四邊形ZBCD是矩形，

圖1

：.ZC=ZD=90a,

；.N1+N3=9O°,

:由折疊可得//PO=/8=9()。,

/.Zl+Z2=90°,

/.Z2=Z3,

又,：ZD=/C,

第19頁/總24頁

：.AOCPs/\PDA；

?.?△。伊與4尸￡%的面積比為1：4,

.OP_CP_[T_i

"PA~DA~y4~2'

/.CP=j-AD=4

設(shè)OP=x,則CO8-x,

在RfZXPCO中，ZC=90°,由勾股定理得x2=(8-x)2+42,

解得：x=5,

：.AB=AP=2OP=Wf

???邊CO的長為10；

(2)作交PB于點Q,如圖2,

圖2

?:AP=AB,MQ〃AN,

：./APB=NABP=/MQP.

:?MP=MQ,

?:BN=PM,

:.BN=QM.

?:MP=MQ,ME1.PQ,

：.EQ=PE.

?:MQ〃AN,

JNQMF=/BNF,

：./\MFQ學/\NFB.

:?QF=FB,

：.EF=EQ+QF=y(PQ+QB)=:PB,

由(1)中的結(jié)論可得：PC=4,BC=8,ZC=90°,

第20頁/總24頁

,,PB=Jg-+4-=4A/5,

:.EF=』PB=24,

...在(1)的條件下，當點M、N在移動過程中，線段E尸的長度沒有變，它的長度為2，？.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三

角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形.

26.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+6x+c的圖象與x軸交于/、8兩點，8點

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)連接尸O,PC,并將△P0C沿y軸對折，得到四邊形尸。尸C.