2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練 (九)

2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)新人教九年級(jí)上冊(cè)同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練

24.1.4圓周角

5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）

1.在。。中，同弦所對(duì)的圓周角（）

A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.都不對(duì)

思路解析：同弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)不同的度數(shù)，它們互補(bǔ).因此同弦所對(duì)的圓周角相等或

互補(bǔ).

答案：C

2.如圖24-1*4-1,在。O中，弦人口=弦。（2,則圖中相等的圓周角的對(duì)數(shù)有（）

圖24-1-4-1

A.5對(duì)B.6對(duì)C.7對(duì)D.8對(duì)

思路解析：在同圓或等圓中，判斷兩個(gè)圓周角是否相等，即看它們所對(duì)的弧是否相等，因等

角對(duì)等弧，等弧對(duì)等角.

先找同弧所對(duì)的圓.周角：弧AD所對(duì)的N1=N3；弧DC所對(duì)的N2=,/4；弧BC所對(duì)的N5=

Z6；弧AB所對(duì)的/7=/8.找等弧所對(duì)的圓周角，因?yàn)榛C=MDC,所以/1=/4,Zl=

Z2,N4=N3,N2=Z3.由上可知，相等的圓周角有8對(duì).

答案：D

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角B.兩邊都和圓相交的角是圓周角

C.圓心角是圓周角的2倍D.圓周角度數(shù)等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半

思路解析：本題考查圓周角的定義.

.答案:D

4.（2023東北師大附中月考）如圖24-14-2,已知A、B、C、D、E均在OO上，且AC為。O的

直徑，則NA+NB+NC=度.

圖24-1-4-2

思路解析：根據(jù)圓周角定義，求得弧的度數(shù)是半圓周的一半.

答案：90°

10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）

1.（山東濟(jì)南模擬）如圖24-14-3,把一個(gè)量角器放在/BAC的上面，請(qǐng)你根據(jù)量角器的讀數(shù)

判斷/BAC的度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.15°D.20°

思路解析：根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系解答

答案：C

2.(2023南京建鄴一模)如圖24-1-4-4,A、B、C是。O上的三點(diǎn),NACB=30°,則NAOB等

于()

A.75°B.60°C,45°D.30°

思路解析：根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系求得.

答案：B

3.(重慶模擬)如圖24-14-5,OB、OC是。O的半徑，A是。。上一點(diǎn)，若已知/B=20°,

ZC=30°,則NA=.

思路解析：連結(jié)AO,則AO=OB,OA=OC,所以NA=NB+NC=20°+30°=50°.

答案：50°

4.(經(jīng)典回放)在半徑為1的。O中，弦AB、AC分別是3和2,則NBAC的度數(shù)是一______.

思路解析：如圖(1)和圖(2),分兩種情況，作直徑AD,連結(jié)BD,易知ZBAD=30°,Z

CAO=45",/.ZBAC=15°或75°.

(1)(2)

答案：15°或75°

5.如圖24-146所示，設(shè)P、Q為線段BC上兩定點(diǎn)，且BP=CQ,A為BC外一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)

A運(yùn)動(dòng)到使/BAP=NCAQ時(shí)，AABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.

思路分析：利用同圓和等圓中，等弧所對(duì)的弦相等.

解：當(dāng)NBAP=/CAQ時(shí)，AABC是等腰三角形.

證明：如圖，作出△ABC的外接圓，延長(zhǎng)AP、AQ交該圓于D、E,連結(jié)DB、CE,由/

BAP=NCAQ,得弧BD=MCE.

從而于RBDE=MCED,所以BD=CE,NCBD=NBCE.又BP=CQ,

則4BPD絲aCQE,這時(shí)/D=/E,由此弧AB=MAC,故AB=AC,

即4ABC是等腰三角形.

快樂(lè)時(shí)光

某足球隊(duì)隊(duì)員添了一個(gè)小孩，所有隊(duì)友被邀請(qǐng)參加洗禮，來(lái)到教堂.突然孩子從母親手中

滑落，守門員果斷地?fù)涑?，在離地幾厘米的地方接住了孩子.大伙兒鼓掌歡呼，守門員習(xí)慣地拍

了兩下，接著熟練地大腳開(kāi)出.

30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)

1.如圖24-147,已知。O中，AB為直徑，AB=10cm,弦AC=6cm,NACB的平分線交。

O于D,求BC、AD和BD的長(zhǎng).

Ak~J~

D

圖24-1-4-7

思路分析：已知條件中若有直徑，則利用圓周角定理的推論得到直角三角形，然后利用直角

三角形的性質(zhì)解題.

解：：AB是直徑，.\ZACB=ZADB=90°.

在RtAACB中，BC=A/AB2-AC2=V102-62=8.

VCD平分NACB,.,.弧AD=MBD..*.AD=BD,

在RtAADB中,AD=BD=曰AB=5后(cm).

2.用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖24-1-4-8所表示的情形，四個(gè)工件

哪一個(gè)肯定是半圓環(huán)形？()

圖24-1-4-9

思路解析：本題考查圓周角定理的推論及圓周角定義在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用.認(rèn)真觀察圖形，

可得只有B符合定.理的推論.實(shí)際問(wèn)題應(yīng)讀懂題意，看懂圖形，并將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模

型.

A和C中的直角顯然不是圓周角，因此不正確，D中的直角只滿足圓周角的一個(gè)特征，也

不是圓周角，因而不能判斷是否為半圓形.選B.

答案:B

3.(遼寧大連模擬)如圖24-1-4-9,A、C、B是。。上三點(diǎn)，若NAOC=40°,則NABC的度

數(shù)是()

A.10°B.20°C.40°D.80°

思路解析：由“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”解答.

答案：B

4.如圖24-14-10(1),已知aABC是等邊三角形，以BC為直徑的0O交AB、AC于D、E.(l)

求證：ZXDOE是等邊三角形.(2)如圖24-1-4-10(2),若NA=60°,ABWAC,則⑴中結(jié)論是

否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4A

圖24-1410

思路分析：^ABC是等邊三角形，所以NB、NC均為60°,利用60°的圓周角定理，可

知△DOB、△￡€)(：均為等邊三角形.第二種情形類似.

(1)證明：:△ABC為等邊三角形，

AZB=ZC=60°.

VOB=OC=OE=OD,AAOBD和AOEC都為等邊三角形.

.../BOD=NEOC=60°..?.NDOE=60°.

...△DOE為等邊三角形.

(2)解:當(dāng)/A=60°,ABWAC時(shí)，(1)中的結(jié)論仍然成立.

證明：連結(jié)CD.：BC為。O的直徑，

.,.ZBDC=90"./.ZADC=90".

ZA=60°,AZACD=30°.AZDOE=2ZACD=60°.

VOD=OE,.?.△DOE為等邊三角形.

5四邊形ABCD中,AB〃DC,BC=b,AB=AC=AD=a,如圖24-1411,求BD的長(zhǎng).

思路分析：由AB=AC=AD=a可以.得至IJ點(diǎn)B、C、D在以A為圓心，以a為半徑的圓上，因

而可以作出該圓，利用圓的知識(shí)解決該題.本題考查圓的定義和圓周角定理及其推論.

解：：AB=AC=AD=a,...點(diǎn)B、C、D到A點(diǎn)距離相等.故以A為圓心，以a為半徑作。A,

并延長(zhǎng)BA交。A于E,連結(jié)DE.

,/AB〃CD,弧“BC=qADE.BC=DE=b.

「BE為。A的直徑，，NEDB=90°.

在RtAEDB中，BD=BE2-DE2=-b2,BD的長(zhǎng)為74?2-b2.

6.在足球比賽中，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，

乙已跟隨沖到B點(diǎn)，如圖24-14-12.此時(shí)，甲自己直接射門好，還是迅速將球傳給乙，讓乙

射門好？

圖24-1-4-12

思路分析：在真正的足球比賽中情況比較復(fù)雜，這里僅用數(shù)學(xué)方法從兩點(diǎn)的靜止?fàn)顟B(tài)來(lái)考慮,

如果兩個(gè)點(diǎn)到球門的距離相差不大，要確定較好的射門位置，關(guān)鍵是看這兩點(diǎn)各自對(duì)球門

MN的張角大小，當(dāng)張角較小時(shí)，則容易被對(duì)方守門員攔截.

解：考慮過(guò)M、N及A、B中任一點(diǎn)作圓，這里不妨過(guò)M、N、B作圓，則A點(diǎn)在圓外，設(shè)

MA交。O于C,則NMANCNMCN,而/MCN=NMBN,所以NMANCNMBN.因此在

B點(diǎn)射門為好.

7.如圖24-14-13所示，在小島周圍的APB內(nèi)有暗礁，在A、B兩點(diǎn)建兩座航標(biāo)燈塔，且/

APB=。，船要在兩航標(biāo)燈北側(cè)繞過(guò)暗礁區(qū)，應(yīng)怎樣航行？為什么？

思路分析：根據(jù)圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理解答.船在航行過(guò)程中，始終保持對(duì)兩燈塔

A、B的視角小于。，即可安全繞過(guò)暗礁區(qū).

解：船在航行過(guò)程中，始終保持對(duì)兩燈塔A、B的視角小于9,即可安全繞過(guò)暗礁區(qū).

(1)在弧APB外任取一點(diǎn)C,連結(jié)CA、CB,設(shè)CA交弧APB于F,連結(jié)FB.

VZAFB=Z0,ZAFB>ZC,/.ZC<9.

(2)在弧APB的弓形內(nèi)任取一點(diǎn)D,連.結(jié)AD并延長(zhǎng)交弧APB于E,連結(jié)DB、EB.VZ

E=0,ZABD>ZE,AZADB>0.

由(1)(2)知，在航標(biāo)燈A、B所在直線北側(cè)，在圓弧弧APB外任一點(diǎn)對(duì)A、B.的視角都

小于0;在圓弧弧APB上任一點(diǎn)對(duì)A、B的視角都等于0;在圓弧弧APB內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)A、B

的視角都大于6.為此只有當(dāng)對(duì)兩燈塔的視角小于6的點(diǎn)才是安全點(diǎn).

8.(湖北恩施自治州課改區(qū)模擬)在探討圓周角與圓心角的大小關(guān)系時(shí)，小亮首先考慮了一種

特殊情況(圓心在圓周角的一邊上)如圖24-1414(1)所示：

圖24-1-4-14

ZAOC是aABO的外角,，/人€?2=/人80+/8人0.

又：OA=OB,，ZOAB=ZOBA,.*.ZAOC=2ZABO,

即NABC」ZAOC.

2

如果/ABC的兩邊都不經(jīng)過(guò)圓心，如圖24-1-4-14(2)(3),那么結(jié)論會(huì)怎樣?請(qǐng)你說(shuō)明理由.

思路分析：本題設(shè)計(jì)很巧妙，實(shí)際上是圓周角定理的證明，可分三種情況討論：(1)圓心在

圓周角的一邊上(是已給的情況)；(2.)圓心在圓周角內(nèi)部；(3)圓心在圓周角外部.

解：如果/ABC的兩邊都不經(jīng)過(guò)圓心，

結(jié)論NABC=，ZAOC仍然成立.

2

(1)對(duì)圖(2)的情況，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交圓O.于點(diǎn)D,

由題圖(1)知:NABD=，ZAOD,

2

ZCBD=-ZCOD.

2

.?.ZABD+ZCBD=-ZAOD+-ZCOD,

22

即/ABC」NAOC.

2

(2)對(duì)圖(3)的情況仿圖(2)的情況可證.

9.(經(jīng)典回放)如圖24-1Y-15所示，已知AB為。0的直徑，AC為弦，OD〃BC,交AC于D,

BC=4cm.

⑴求證：AC1OD；

⑵求OD的長(zhǎng)；

(3)若NA=30°,求。。的直徑.

圖24-1-4-15

思路分析：根據(jù)圓周角定理的推論以及三角形中位線定理計(jì)算.

(1)證明:TAB是。O的直徑，；.NC=90°.

V0D/7BC,AZADO=ZC=90°..,.AC±OD.

(2)解:：OD〃BC,又是AB的中點(diǎn)，...0D是AABC的中位線.

0D=—BC=—X4=2(cm).

22

(3)解:：NA=30°，在RtZ\ABC中，ZA=30°,

BC=-AB.

2

AB=2BC=8(cm)，即。O的直徑是8cm.

10.(經(jīng)典回放)如圖24-1416所示，AB是。O的直徑，C、D、E都是。O上的點(diǎn)，則N1+

Z2=.

思路解析：N1所對(duì)的弧是弧AE,N2所對(duì)的弧是弧BE,而弧AE+弧BE=MAB是半圓,

因此連結(jié)AD,NADB的度數(shù)是90°,所以/ADB=/1+N2.本題也可以連結(jié)EO,得到圓

心角NEOA和NEOB,而NEOA+NEOB=180°,所以Nl+N2=90°,這是圓周角定理的

直接應(yīng)用.

答案：90°

圖24-1416圖24-1-4-17

11.(經(jīng)典回放)如圖24-1-4-17所示，AB為00的直徑，P、Q、R、S為圓上相異四點(diǎn)，下列

敘述正確的是()

A.NAPB為銳角B./AQB為直角

C.NARB為鈍角D.NASBCNARB

思路解析：AB為直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，所以/APB、NAQB、NARB、Z

ASB都是直角.由于,四個(gè)角都是直角，所以NASB=NARB=90°.

答案：B

附送

考試必備心理素質(zhì)

一、強(qiáng)化信心

1、經(jīng)常微笑：經(jīng)常有意識(shí)地讓自己發(fā)自內(nèi)心地對(duì)別人、對(duì)自己

微笑。

2、挺胸、抬頭走路：挺胸抬頭、步伐有力、速度稍快地走路。

3、積極自我暗示：要做自己的心理支持者，不嚇唬自己，多肯

定自己。

4、不要攀比：高考的成功就是考出自己的水平。無(wú)論考前考中，

都