1.4.2充要條件+-【高效備課精講精研】高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第一章集合與邏輯用語(yǔ)1.4.2充要條件溫故知新則

p是q的充分條件q是p的必要條件則p

是q

的不充分條件q是p

的不必要條件問(wèn)題:

ΔABC中，若ΔABC為直角三角形，則a2+b2=c2;ΔABC中，若a2+b2=c2，則ΔABC為直角三角形；注意：將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”，稱(chēng)這個(gè)命題為原命題的逆命題.p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件我們說(shuō)p是q充分必要條件真命題真命題p既是q的充分條件，也是q的必要條件問(wèn)題：你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？定義：“四邊形的兩組對(duì)邊分別平行”①“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”③“四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”②“四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”④“四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分”根據(jù)充要條件可以對(duì)某些概念從不同角度給出相互等價(jià)的定義追問(wèn)：你能給出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定義嗎？

四邊形是平行四邊形問(wèn)題:

若兩個(gè)三角形全等，則兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等;

若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則兩個(gè)三角形全等;注意：將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”，稱(chēng)這個(gè)命題為原命題的逆命題.p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件我們說(shuō)p是q充分不必要條件真命題假命題p是q的充分條件，不是q的必要條件條件p結(jié)論qp能否推qq能否推pp與q的關(guān)系x=1x3=1p是q的________________條件x>2x2>4p是q的________________條件ab=0a=0p是q的________________條件|a|>|b|a>bp是q的_________________條件充分必要(充要)充分不必要必要不充分既不充分也不必要①若p?q,且q?p,則稱(chēng)p是q的充要條件(或q是p的充要條件),記作p?q.必要不充分探究例:(1)(多選)下列選項(xiàng)中,p是q的充要條件的為()A.p:x>0,y<0,q:xy<0

B.p:a>b,q:a+c>b+cC.p:x>5,q:x>10

D.p:a>b>0,q:

>

(2)設(shè)A,B,U是三個(gè)集合,且A?U,B?U,則“x∈(?UA)∩(?UB)”是“x∈?U(A

∪B)”的

()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件BDC充要條件的判斷解析(1)對(duì)于A(yíng)選項(xiàng),p?q,但q?/p,故p不是q的充要條件;對(duì)于B選項(xiàng),p?q,

且q?p,即p?q,故p是q的充要條件;對(duì)于C選項(xiàng),p?/q,但q?p,故p不是q的充

要條件;對(duì)于D選項(xiàng),p?q,且q?p,故p是q的充要條件.故選BD.(2)∵(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B),∴“x∈(?UA)∩(?UB)”是“x∈?U(A∪B)”的充要條件,故選C.充要條件的判斷思維突破從命題角度判斷p是q的充要條件的原理及方法(1)原理:判斷p是q的充要條件主要是判斷p?q及q?p這兩個(gè)命題是否成立.(2)方法:①若p?q成立,則p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;②若q?p成立,則p是q的必要條件,同時(shí)q是p的充分條件;③若二者都成立,則p與q互為充要條件.充要條件的判斷跟蹤訓(xùn)練已知a,b是實(shí)數(shù),則“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的

條件;“|ab|=ab”是“ab>0”的

條件.解析因?yàn)閍>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,充分性成立;因?yàn)閍b>0,所以a與b同號(hào),

又a+b>0,所以a>0且b>0,必要性成立.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的

充要條件.當(dāng)ab=0時(shí),“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,而當(dāng)ab>0時(shí),有|ab|=ab,所

以“|ab|=ab”是“ab>0”的必要不充分條件.充要必要不充分充要條件的判斷充要條件的證明已知：的半徑為，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d.求證：d=r是直線(xiàn)l與相切的充要條件.已知：的半徑為，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d.求證：d=r是直線(xiàn)l與相切的充要條件.證明：設(shè)p：d=r，q:直線(xiàn)l與圓O相切（1）充分性（）：如圖，作于點(diǎn)P,則.若，則點(diǎn)在圓O上.在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P),連接OQ.在中充要條件的證明OQ>OP=r.所以，除去點(diǎn)P外直線(xiàn)l上的點(diǎn)都在圓O的外部，即直線(xiàn)l與圓O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.所以直線(xiàn)l與圓O相切.(2)必要性（）：若直線(xiàn)l與圓O相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P,則.因此，由（1）（2）可得，是直線(xiàn)與圓O相切的充要條件.充要條件的證明充要條件的探求例:求ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件.分析:首先討論二次項(xiàng)的系數(shù)a是否為零,在a≠0時(shí),利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解.解:由于二次項(xiàng)系數(shù)是字母,因此,首先要對(duì)方程ax2+2x+1=0判定是一元一次方程還是一元二次方程.(1)當(dāng)a=0時(shí),為一元一次方程,其根為x=-,符合要求;(2)當(dāng)a≠0時(shí),為一元二次方程,它有實(shí)根的充要條件是判別式Δ≥0即4-4a≥0從而a≤1;充要條件的探求反思感悟求充要條件的方法求一個(gè)問(wèn)題的充要條件,就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,使得轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)命題所對(duì)應(yīng)的解集是兩個(gè)相同的集合,這就要求轉(zhuǎn)化時(shí)思維要縝密.提醒p是q的充要條件意味著“p成立則q成立;p不成立則q不成立”.3．“x2－x－6≤0”的一個(gè)充分不必要條件可以是(

)A．－2≤x≤3 B．x≤3C．x≥－2D．0≤x≤31．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2．設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件BAD課堂練習(xí)已知p:－2≤x≤10，q:1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】∵p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，