數(shù)學(xué)重難點突破8講之02 向量中的隱圓問題（四大題型）（原卷版）

重難點突破02向量中的隱圓問題目錄技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內(nèi)，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓坐標(biāo)法妙解題型一：數(shù)量積隱圓例1．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測）在中，.為所在平面內(nèi)的動點，且，若，則給出下面四個結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若正的邊長為4，為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例3．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內(nèi)的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是邊長為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內(nèi)一點，若，則的最小值是A． B． C． D．變式2．（2023·北京·高三專題練習(xí)）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.題型二：平方和隱圓例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．例5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知平面向量、滿足，，設(shè)，則________.例6．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標(biāo)原點），則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．變式5．（2023·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，O為坐標(biāo)原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，點，若圓C上存在點M，滿足，則點M的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________.題型三：定冪方和隱圓例7．（2023·湖南長沙·高一長沙一中?？计谀┮阎c，，直線：上存在點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是______.例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期中）已知平面單位向量，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．變式7．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_______．變式9．（2023·四川達州·高二四川省大竹中學(xué)?？计谥校┮阎?，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.變式11．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓例10．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是__________．例11．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．例12．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為__________.變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，，B在直線上，，動點M滿足，則的最小值為__________.變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.變式15．（2023·新疆·高三新疆兵團第二師華山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是、是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為______變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，則的最大值為________．變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為單位向量，則的最大值是________整套《重難點突破8講》原卷版及解析版見：重難點突破8講之01函數(shù)的綜合應(yīng)用（原卷版及解析版）重難點突破8講之02向量中的隱圓問題（四大題型）（原卷版及解析版）重難點突破8講之03原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原問題（十三大題型）（原卷版及解析版）重難點突破8講之04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（七大題型）（原卷版及解析版）重難點突破8講之05極