數(shù)學(xué)微專題27之5-函數(shù)視角下數(shù)列的單調(diào)性與最值

函數(shù)視角下數(shù)列的單調(diào)性與最值銅梁中學(xué)張洋摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和考點，由于數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時，要善于利用函數(shù)的知識、函數(shù)的觀點、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題。為此，本文將剖析如何利用函數(shù)來解決高考及模擬題中數(shù)列單調(diào)性及最值方面的問題。關(guān)鍵詞：數(shù)列函數(shù)單調(diào)性最值例1：（2018年全國II）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.求數(shù)列的通項公式；求，并求的最小值.第一問，數(shù)列的通項公式；第二問，數(shù)列的前項和.要求的最小值：方法一：我們可以借助一個二次函數(shù)函數(shù)，很明顯這個函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，那么可以得到最小值，從而的最小值為.方法二：由于數(shù)列的通項公式，可以借助函數(shù).在，；在，，所以數(shù)列的前4項均為負(fù)數(shù)，故而的最小值為.變式：（1）如果一個數(shù)列的前項和為，那么求取得最小值時序號是多少？很顯然，，或.（2）在（1）的前提下，求取得最小值時序號是多少？可以借助函數(shù)，求導(dǎo).在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而.故而取得最小值時序號是例2：已知單調(diào)遞增數(shù)列的通項公式求的取值范圍.這一個題我們很容易想到這樣題目：設(shè)在上是的一個增函數(shù)，且求的取值范圍.只需要，可以求得的范圍是.對于數(shù)列就有一點問題，因為數(shù)列在直角坐標(biāo)系所對應(yīng)的點是不連續(xù)的，限制條件應(yīng)該為，即，求得的范圍是.變式：（1）設(shè)函數(shù)若數(shù)列是遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.由題意即可，可得的取值范圍.（2）已知數(shù)列中，.對任意的，都有成立，求的取值范圍.由題意，可借助函數(shù)，在，單調(diào)遞減，再結(jié)合數(shù)列的離散性特點，可得限制條件，得到的范圍為.總結(jié)：我們在利用函數(shù)與數(shù)列共性來解題時，還要注意數(shù)列的特殊性（離散性），它的圖像是一系列孤立的點，而不像我們研究過的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的曲線，因此在解題中應(yīng)該充分利用這一特殊性.在研究數(shù)列單調(diào)性時，只要這些點每個比它的前一個點高（即），則圖象呈上升趨勢；反之，呈下降趨勢.微專題全套27講見：數(shù)學(xué)微專題27之1-高考熱點之證明數(shù)列不等式數(shù)學(xué)微專題27之2-高考數(shù)學(xué)微專題立體幾何中關(guān)于折疊的所有問題數(shù)學(xué)微專題27之3-關(guān)于三角函數(shù)最大值問題數(shù)學(xué)微專題27之4-函數(shù)放縮公式集錦數(shù)學(xué)微專題27之5-函數(shù)視角下數(shù)列的單調(diào)性與最值數(shù)學(xué)微專題27之6-衡水中學(xué)內(nèi)部數(shù)學(xué)錯題集數(shù)學(xué)微專題27之7-極化恒等式在向量問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)微專題27之8-解析策略-解析幾何中的數(shù)與形數(shù)學(xué)微專題27之9-精準(zhǔn)培優(yōu)專練圓錐曲線離心率數(shù)學(xué)微專題27之10-解析幾何中斜率之積為定值的問題探究數(shù)學(xué)微專題27之11-立體幾何求角的三角函數(shù)值（非空間向量）數(shù)學(xué)微專題27之12-平面解析幾何：易錯點與二級結(jié)論數(shù)學(xué)微專題27之13-求數(shù)列通項公式的11種方法數(shù)學(xué)微專題27之14-三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)數(shù)學(xué)微專題27之15-數(shù)列求和的8種常用方法(最全)數(shù)學(xué)微專題27之16-數(shù)學(xué)手冊數(shù)學(xué)微專題27之17-雙變量的“任意性”與“存在性”五種題型的解題方法數(shù)學(xué)微專題27之18-同構(gòu)思想在指對型函數(shù)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)微專題27之19-外接球的幾種求法數(shù)學(xué)微專題27之20-阿波羅尼斯圓專題經(jīng)典講解數(shù)學(xué)微專題27之21-二輪復(fù)習(xí)專題求圓錐曲線的離心率數(shù)學(xué)微專題27之22-高考立幾小題壓軸核心模型數(shù)學(xué)微專題27之23-立體幾何空間角的黃金解題技巧數(shù)學(xué)微專題2