數(shù)學(xué)微專題27之20-阿波羅尼斯圓專題經(jīng)典講解

阿波羅尼斯圓專題知識點(diǎn)回顧：軌跡為圓的幾何條件：一、一動點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離不變，此動點(diǎn)的軌跡為圓；二、定角對定長，也叫“隱形圓”注意：1、定長表示線段的長度和位置不變；2、定角為90°，角的頂點(diǎn)的軌跡為圓，定角不為90°，角的頂點(diǎn)的軌跡為一段圓?。话⑹蠄A定義：已知平面兩個定點(diǎn)A、B到一動點(diǎn)P的比值為一定值k（k≠1），那么這個動點(diǎn)P的軌跡是一個圓。注意：1、此圓與直線AB交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，點(diǎn)E以定比內(nèi)分線段AB,點(diǎn)F以定比外分線段AB;2、k=1,此動點(diǎn)在定線段的垂直平分線上。圖文：,且解題思路：1、連接動點(diǎn)至圓心，即連接OP，再連接其中一個定點(diǎn)于圓心，即連接OB,為了確定另一個定點(diǎn)也在直線OB上;2、計(jì)算OB和OP的長度，確定比值=K;3、在OB上取一點(diǎn)，A，使==K,得三角形相似即△POA∽△BOP；4、根據(jù)△POA∽△BOP，可得PA=K·PB,可將PB和PA進(jìn)行轉(zhuǎn)換。阿氏圓總結(jié)：遇到型的最值問題，要將系數(shù)為K的線段轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段，即要考慮。求可轉(zhuǎn)化為PA+PC.圖1圖2圖3關(guān)鍵在于確定點(diǎn)C的位置，當(dāng)點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)共線時，PA+PC.最小，即PA+k·PB值最小。（提示：=（PA+PB）,所以也可以將PA轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段。）相關(guān)例題：例1、如圖，點(diǎn)A、B在圓O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且0D=4，動點(diǎn)P在圓O上，則2PC+PD的最小值為。解題思路：連接OP,圓上一動點(diǎn)P，OA上有一定點(diǎn)C，由阿氏圓可得，直線OA上肯定存在另一定點(diǎn)E，使得為定值。因?yàn)轭}目中出現(xiàn)了2PC，所以=將2PC轉(zhuǎn)化為PE.由△POC∽△EOP可得=，OE=12.求2PC+PD的最小值，即求PE+PD最小值，當(dāng)P、E。D三點(diǎn)共線時，PE+PD最小值為ED=。證明：此題套用“阿氏圓”模型。還用到兩點(diǎn)之間線段最短。變式：1、如何求PC+PD的最小值？提示：可提取，即PC+PD=（2PC+PD）。2、如何求PC+PD的最小值？解題思路：關(guān)鍵將PD進(jìn)行轉(zhuǎn)化，定點(diǎn)E肯定在直線OD上，=,即PD=PE.由△POD∽△BOP。可得=OE=9,當(dāng)C、P。E三點(diǎn)共線時，PC+PE最小值為EC=。例2、已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點(diǎn)，求的最小值為求的最小值為解題思路：（1）連接PC，將BP轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段，點(diǎn)P為圓上的動點(diǎn)，B是定點(diǎn)，那么直線CB上肯定存在另外一定點(diǎn)D,使得為定值，由△PCD∽△BCP可確定點(diǎn)D的位置，即CD=1,即BP=PD.求的最小值，即求AP+PD的最小值。當(dāng)A、P。D三點(diǎn)共線時，AP+PD最小值為AD=。（2）連接PC，將AP轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段，點(diǎn)P為圓上的動點(diǎn)，A是定點(diǎn)，那么直線CA上肯定存在另外一定點(diǎn)E,使得為定值，由△PCE∽△ACP可確定點(diǎn)E的位置，即CE=,即AP=PE.求的最小值,即求EP+PB的最小值。當(dāng)E、P。B三點(diǎn)共線時，EP+PB最小值為EB=。例3、如圖，四邊形ABCD為邊長為4的正方形，⊙B的半徑為2，P是⊙B上一動點(diǎn)，則PD+PC的最小值為5；PD+4PC的最小值為．解題思路：連接PB，點(diǎn)P為圓上的動點(diǎn)，若將點(diǎn)C看作定點(diǎn)，則另外一個定點(diǎn)E在BC上。PD+PC最小值為DE=5(其中BE=)連接PB，點(diǎn)P為圓上的動點(diǎn)，若將點(diǎn)D看作定點(diǎn)，則另外一個定點(diǎn)在BD上，PD+4PC==,所以PD+4PC最小值為4EC=(其中BE=)例4、如圖，AB為⊙O的直徑，AB=2，點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的同側(cè)，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3,點(diǎn)P是⊙O上的一動點(diǎn)，則PD+PC的最小值為解題思路：連接PO,點(diǎn)P為圓上的動點(diǎn),將PD轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段,點(diǎn)D是定點(diǎn)，則OD上肯定存在另外一定點(diǎn)E。則PD+PC的最小值為CE=(其中OE=.)例5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4,0),B(4，4)，點(diǎn)在半徑為2的圓O上運(yùn)動，則的最小值為5

解題思路：取OE得中點(diǎn)D，由阿氏圓可得：,所以最小值為(用兩點(diǎn)坐標(biāo)公式可求的BD長)BD=5用了兩次阿氏圓：

例6、正方形ABCD的邊長為4，AE=DF,AN=1，求的最小值？

提示：,由阿氏圓可得：,,所以,最小值為(過點(diǎn)D’作AB的垂線，運(yùn)動勾股定理可求得的長)其中，數(shù)學(xué)微專題27之1-阿波羅尼斯圓專題經(jīng)典講解數(shù)學(xué)微專題27之1-微專題全套27講見：數(shù)學(xué)微專題27之1-高考熱點(diǎn)之證明數(shù)列不等式數(shù)學(xué)微專題27之2-高考數(shù)學(xué)微專題立體幾何中關(guān)于折疊的所有問題數(shù)學(xué)微專題27之3-關(guān)于三角函數(shù)最大值問題數(shù)學(xué)微專題27之4-函數(shù)放縮公式集錦數(shù)學(xué)微專題27之5-函數(shù)視角下數(shù)列的單調(diào)性與最值數(shù)學(xué)微專題27之6-衡水中學(xué)內(nèi)部數(shù)學(xué)錯題集數(shù)學(xué)微專題27之7-極化恒等式在向量問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)微專題27之8-解析策略-解析幾何中的數(shù)與形數(shù)學(xué)微專題27之9-精準(zhǔn)培優(yōu)專練圓錐曲線離心率數(shù)學(xué)微專題27之10-解析幾何中斜率之積為定值的問題探究數(shù)學(xué)微專題27之11-立體幾何求角的三角函數(shù)值（非空間向量）數(shù)學(xué)微專題27之12-平面解析幾何：易錯點(diǎn)與二級結(jié)論數(shù)學(xué)微專題27之13-求數(shù)列通項(xiàng)公式的11種方法數(shù)學(xué)微專題27之14-三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)數(shù)學(xué)微專題27之15-數(shù)列求和的8種常用方法(最全)數(shù)學(xué)微專題27之16-數(shù)學(xué)手冊數(shù)學(xué)微專題27之17-雙變量的“任意性”與“存在性”五種題型的解題方法數(shù)學(xué)微專題27之18-同構(gòu)思想在指對型函數(shù)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)微專題27之19-外接球的幾種求法數(shù)學(xué)微專題27之20-阿波羅尼斯圓專題經(jīng)典講解數(shù)學(xué)微專題27之21-二輪復(fù)習(xí)專題