2014級高數(shù)下ch6 6方向?qū)?shù)與梯度

第六節(jié)

方向?qū)?shù)與梯度一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義三、梯度的概念四、物理意義(1,1)(5,1)(5,3)(1,3)實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向（即梯度負(fù)方向）爬行．一、問題的提出一、問題的提出回顧函數(shù)u

f

(

x,

y,

z)

在點(diǎn)P(

x,

y,

z)

處關(guān)于x,y,z

的偏導(dǎo)數(shù)定義：xx

f

f

(x

f

(x,

y,

z)

lim

x

0

lim

x

0

xx,

y,

z)

f

(x,

y,

z)

xyy

f

f

(

x,

y

y,

z)

f

(

x,

y,

z)f

(

x,

y,

z)

lim

y

0

lim

y

0

x

yzz

z

0

z

0

f

f

(

x,

y,

z

z

)

f

(

x,

y,

z

)f

(

x,

y,

z

)

lim

lim

x

zfx

,fy

,fz

分別是沿x

軸,y

軸及z

軸正向的變化率.討論函數(shù)

u

f

(

x,

y,

z)

在一點(diǎn)

P沿任意方向的變化率問題就是方向?qū)?shù)問題．

lP(x,

y,

z)二、方向?qū)?shù)定義

0

l

l

0lim

f

lim

f

(

x

x,

y

y,

z

z)

f

(

x,

y,

z)記

作

f

x

x

0

x

x

0

xQ(x

x,

y

y,z

z)

f

lim

x

f

lim

f

(

x

x,

y,

z

)

f

(

x,

y,

z

)

為沿

x

軸正向的變化率則稱

f

為函數(shù)在點(diǎn)

P

處沿方向

l

的方向?qū)?shù)

(變化率)若函數(shù)f

(x,y,z

)在點(diǎn)P

(x,y,z

)處有定義,

且沿方向

l(方向角為

,

,

),存在下列極限:(任取)P(x,

y,

z)定理:

若函數(shù)

f

(

x,

y,

z)

在點(diǎn)

P(

x,

y,

z)

處可微,

l

0

f

f

cos

f

cos

f

cos

l

x

y

z

f

f

x

f

y

f

z

o

(

)

x

y

z

則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l

的方向?qū)?shù)存在,且有

o

(

)證明:

由函數(shù)

f

(x,

y,

z)

在點(diǎn)

P

可微

,

得lQ故

x

y

z

f

lim

f

f

cos

f

cos

f

cos

24為

,

)

的方向?qū)?shù)可定義為對于二元函數(shù)f

(x,y),在點(diǎn)P(x,y)處沿方向l

(方向角

0

f

lim

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

lx

y

l若f

(

x,

y)可微,則

f

f

(

x,

y)

cos

f

(

x,

y)

cos

Plxyo2特別:

?

當(dāng)

l

與

x

軸同向

0

,

時,

有2當(dāng)

l與

x軸反向

,

時,

有

f

f

l

x

f

f

l

xl(如作業(yè)P23一1)例

1:

求函數(shù)z

xe2

y

在點(diǎn)P(1,0)處沿從點(diǎn)P(1,0)到點(diǎn)Q(2,

1)的方向的方向?qū)?shù).解1122),,

與

l

同方向的單位向量為

l

o

PQo

(

l

這里方向即為PQ

(1,

1),(1,0)

e2

y

1;

x

(1,0)

z(1,0)(1,0)

2

xe2

y

2,

y

z三、梯度方向?qū)?shù)公式

l

x

f

f

cos

f

cos

f

cos

令向量l

0

(cos

,

cos

,

cos

)

y

z

f

f

f

G

x

,

y

,

z

這說明模

:

f

的方向?qū)?shù)的最大值當(dāng)l

0

與G

方向一致時,方向?qū)?shù)(變化率)取最大值：G

:

lmax

f

G方向：f

的方向?qū)?shù)取得最大值的方向.(其中函數(shù)f

可微)1.

定義向量

G

稱為函數(shù)

f

(P)

在點(diǎn)

P

處的梯度

(gradient),

記作

grad

f

,

或

f即

f

f

f

x

,

y

,

z

f

f

f

x

i

y

j

z

kgrad

f同樣可定義二元函數(shù)在點(diǎn)P(x,y)處的梯度

x

i

y

j

x

y

grad

f

f

f

f

,

f

方向：f

的方向?qū)?shù)取得最大值的方向模

:

f

的方向?qū)?shù)的最大值說明:①

f②可微函數(shù)在某點(diǎn)處沿著梯度的方向具有最大增長率,最大增長率等于梯度的模.說明:

③

函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.l設(shè)

e

(cos

,cos

)是方向

l

上的單位向量，x

y

lx

y

f

f

cos

f

cos

(

f

,

f

)

(cos

,cos

)l

grad

f

(

x,

y)

e

l其中

為

grad

f

(

x,

y)

與

e

的夾角.2

l當(dāng)

0

時

f

有最大值.

當(dāng)

時

f

=0(變化最慢）(即沿著與梯度相垂直的方向)

l當(dāng)

時呢

實(shí)例：書P96

習(xí)題5el

|

grad

f

(

x,

y)

|

cos

Pr

j

f

(

x,

y)例2：設(shè)z

f

(x,y)

xe2

y(1)求f

在點(diǎn)P（1，0）處沿從P到Q（2，

1）方向的變化率。（2）f

在點(diǎn)P（1，0）處沿什么方向具有最大的增長率，最大增長率是多少？(即方向?qū)?shù)見例1)1

12

2

1

1

1

2

2

2(1,0)(1,0)(1,0)2

y2

yPQ,

)

f

(e

,

2xe,

)=

.

l解：（1）PQ

(1,

1),

PQo

(

f

PQo

)

PQo

(1,

2)

((2)沿點(diǎn)P的梯度方向

（f

1，0）

(1,

2)具有最大增長率

（f

1，0）＝

52.

梯度的基本運(yùn)算公式(2)

grad

(C

u)

C

grad

u(4)

grad

(

uv

)

u

grad

v

v

grad

uv2u

v

grad

u

u

grad

v(5)

grad( )

v即

書P96

習(xí)題7即

作業(yè)P23

二2四、物理意義函數(shù)(物理量的分布)場可微函數(shù)

f

(P)(勢函數(shù))數(shù)量場(數(shù)性函數(shù))如:溫度場等向量場(矢性函數(shù))(參見書P94)注意:任意一個向量場不一定是梯度場.x

2

y

2

z

2思考:已知場u(

x,y,

z

)

a

2

b

2

,則u沿場的梯度c

2方向的方向?qū)?shù)是(

2

x

)2a2gradu

(

2

y

)2

(

2z

)2b2

c2如:力場,速度場等梯度場grad

f

(P

)(有勢場) (向量場)應(yīng)用實(shí)例2

2x2

y2

例3：設(shè)一座山峰高度可由函數(shù)z

100

表示,若從點(diǎn)P(2,4,90)處往上爬山,問沿哪個方向可最快到達(dá)山頂?若從點(diǎn)P

(2,4,90)處下山,問沿哪個方向可最快到達(dá)山底?概念要點(diǎn)方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）梯度的概念（注意梯度是一個向量）方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系梯度的方向就是函數(shù)f

(x,y)在這點(diǎn)增長最快的方向.內(nèi)容小結(jié)2.

方向?qū)?shù)三元函數(shù)沿方向l

(方向角為

,

,

)的方向?qū)?shù)為

f

f

cos

f

cos

f

cos

l

x

y二元函數(shù) 在點(diǎn),

)的方向?qū)?shù)為

f

f

cos

f

cos

l

x

y

z沿方向l

(方向角為(其中函數(shù)f

可微)在點(diǎn)梯度三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為grad

f

f

,

f

,

f

二元函數(shù)

x

y

z

在點(diǎn) 處的梯度為grad

f

(

f

x

(x,

y)

,

f

y

(x,

y))方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在

l4.

關(guān)系可微

f

grad

f

l

0梯度在方向l

上的投影.連續(xù)x2討論函數(shù)z

f

(

x,

y)

y2

在(0,0)思考題

x

x

0

x

(

0,0)

x點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？思考題解答

z

lim

f

(

x,0)

f

(0,0)

lim

|

x

|.

x

0

y

(0,0)同理：

z

y

lim

|

y

|

y

0故兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在.

沿任意方向l

{

x,

y,

z}的方向?qū)?shù),

(0,0)

z

lim

f

(

x,

y)

f

(0,0)

l

02

2

1

lim(

x)

(

y)(

x)2

(

y)2

0故沿任意方向的方向?qū)?shù)均存在且相等.x2

y2

z2課后思考1:

設(shè)

u(

x,

y,

z)

a2

b2

c2(a,b,c

0)問

常數(shù)a,b,c滿足什么關(guān)系才能使在點(diǎn)P(x,y,z)(x2

y2

z2

0)處沿OP方向的方向?qū)?shù)最大?(09年B卷三2)附注：(1)

僅由函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)，未必可推出函數(shù)在例如：f

(x,y)

(xy)3

,(

0,0)t

0fx(0,0)

0

,

fy(0,0)

0,則l

o

(a,

b)

但1(t

2ab)3tlimt

0

f

lim

f

(ta,

tb)

f

(0,

0)

l

t

.此例同時也說明函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)也未必能推出函數(shù)在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在.0

0t

0t

0

t

cos

,

y0

t

cos

)

f

(

x0

,

y0

)

lim

f

lim

f

(

x0

f

l(

x

，y

)

l

PP

=(

x,

y)

(t

cos

,

t

cos

)

l

o

(cos

,

cos

)

(參考)

該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)存在.1(

0,0

)

f

l

在點(diǎn)(0,

0)

處沿任一方向l

0, (

el

(a,

b), |

el

|

1)的方向?qū)?shù)都存在,(2)函數(shù)在一點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在，

042x

2

y2

0x

2

y2

0x

yx

y2也未必在該點(diǎn)處連續(xù).例如：f

(x,y)

b

2

,

a

0

a,

a

0

0但f

(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù).(即不可微)可微方向?qū)?shù)存在 偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)一、填空題:1

函數(shù)z

x

2

y

2

在點(diǎn)(1,2)處沿從點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)(2,2

3)的方向的方向?qū)?shù)為.2

設(shè)

f

(

x,

y,

z)

x

2

2

y

2

3z

2