礦產(chǎn)資源的管理模型 《數(shù)學(xué)模型》(三版)電子姜啟源

礦產(chǎn)資源的管理模型

基于優(yōu)化商業(yè)利潤與生產(chǎn)可持續(xù)的角度來研究主要討論以下幾個模型：1、開發(fā)會枯竭資源的泛函最大值模型2、礦業(yè)的非線性模型3、有采掘成本的最優(yōu)控制模型重點確定最優(yōu)開發(fā)速度以及稅金等所建立的數(shù)學(xué)模型主要用到微分方程和泛函變分的最大值原理其建模思想和原理對其它可枯竭或可再生資源亦適用。1、開發(fā)會枯竭資源的泛函最大值模型令為t時刻的貯量，初始貯量為是已知的，表示采掘率，于是礦物貯量的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程的哥西問題:其中(1)(2)設(shè)礦石價格為是已知的，經(jīng)營者的目標(biāo)是使收益現(xiàn)值最大，設(shè)貼現(xiàn)率為，則時刻t的收益滿足其中即現(xiàn)值，解得，故值，對于上述開礦問題，其總現(xiàn)值PV為(3)我們需要確定

，以使總現(xiàn)值最大。這樣把問題轉(zhuǎn)化成了求泛函的最大值問題?？紤]哥西問題（4）（5）其中是已知的三元連續(xù)函數(shù)，稱為狀態(tài)變量，（4）、（5）為狀態(tài)方程.對于每個給定的函數(shù)，（4）、（5）的解稱為的一個響應(yīng)，這里是區(qū)間上的分段連續(xù)函數(shù)集合.其中是已知連續(xù)可微函數(shù)，最優(yōu)控制理論中的核心問題是求使最大的所謂可行控制，如果這樣的可行控制存在，則稱其為最優(yōu)控制。設(shè)，且設(shè)終點是固定的，而起點是可變的，設(shè)是最優(yōu)控制，即函數(shù)稱為最優(yōu)獲利函數(shù)。(6)（7）引入

的泛函在整個區(qū)間的最優(yōu)控制策略對劃分的各個子區(qū)間也分別是最優(yōu)的對（8）式進行計算得即由（7）可得其中是與最優(yōu)控制對應(yīng)的最優(yōu)軌線，公式（8）指出下面的最優(yōu)性原理：（8）上式兩端除以且令取極限得即考慮任意函數(shù)，定義控制

為其中是對應(yīng)于起點的最優(yōu)控制，是對

的響應(yīng)，于是用代替變點得令固定,由(11)得(10)則有(11)(12)由(11),當(dāng)時,達(dá)到它的最大值,在足夠光滑的條件下令(13)(14)故由(12)得(15)其中右端的自變量皆為,由的定義稱為哈密頓函數(shù),為伴隨變量,上述推導(dǎo)得到下面的重要結(jié)論于是有(16)

最大值原理：對于滿足邊條件的狀態(tài)方程使目標(biāo)泛函取最大值的最優(yōu)控制和相應(yīng)的最優(yōu)響應(yīng)滿足伴隨方程：(16)和(15)要確定的最優(yōu)控制和最優(yōu)響應(yīng)可由及伴隨方程和狀態(tài)方程解出。例如對于礦產(chǎn)資源管理工作線性模型(1)(2)(3)，其哈密頓函數(shù)是由伴隨方程得(17)所以，假設(shè)到時礦產(chǎn)采完，則,因此為使哈密頓函數(shù)達(dá)到最大，則得（18）式給出了為使采礦收益的現(xiàn)值最大采用的最優(yōu)采掘率。即當(dāng)?shù)V產(chǎn)價格超過時，用采掘率去開采，否則停產(chǎn)，出現(xiàn)若干生產(chǎn)時期，則滿足，其中，見圖2.1(18)0tq圖2.1元$0t2、礦業(yè)的非線性模型若價格受采掘率的影響，,則與（3）對應(yīng)的目標(biāo)泛函為以及條件哈密頓函數(shù)是設(shè),對（22）又，故得（23）設(shè)價格隨采掘率之提高而線性下降由最大值原理由伴隨方程式，所以相應(yīng)于最優(yōu)控制采掘率，價格則由（20）得由最大值原理，為使取最大值，即T由（24）解出，由于，故當(dāng)時單調(diào)上升，所以滿足（24）的T，即采完日期是唯一存在的。采掘日起T滿足（24）3、有采掘成本的最優(yōu)控制模型最大設(shè)采掘成本，且是的增函數(shù)，即采掘越快，成本越高，這時要求最優(yōu)控制，使得（25）由伴隨方程得相應(yīng)的哈密頓函數(shù)為對于任固定的，在為變量的坐標(biāo)系上（見圖），是（26）的唯一正數(shù)解，如果曲線與相交，這種正數(shù)解存在，注意這里的已固定，視為常數(shù)了。由最大值原理，，即(26)唯一的正數(shù)解是的斜率為點的橫坐標(biāo)，如果與只一個公共點，則如果多家競爭開發(fā)一種礦藏，設(shè)有家廠商組成的采礦業(yè)，第家的成本為是第家廠商的采掘率，則第家廠商的目標(biāo)泛函為（27）于是有（28）是第廠商的開采上限；又由市場平衡知（30）(28)(29)(30)中共有2n+1個未知量有2n+1個方程，可從中解得各自的最優(yōu)控制以及（29）設(shè)成本為是常數(shù)，時表示價格補貼率，時表示稅率，則目標(biāo)函數(shù)為（31）由最大值原理可以導(dǎo)出（32）最后討論有價格補貼或稅金的情形如果成本則由（32）得又由于到時刻T開采完畢，由得（33）（34）采完日期可由公式確定，如果價格則