數(shù)學(xué)人教A版選修2-3問(wèn)題導(dǎo)學(xué)第二章2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列

.2離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題導(dǎo)學(xué)一、離散型隨機(jī)變量的分布列活動(dòng)與探究1某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨．將頻率視為概率．(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列．遷移與應(yīng)用1．將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，杯子中球的最多個(gè)數(shù)記為X，則X的分布列是__________．2．從裝有6個(gè)白球，4個(gè)黑球和2個(gè)黃球的箱中隨機(jī)地取出兩個(gè)球，規(guī)定每取出一個(gè)黑球贏2元，而每取出一個(gè)白球輸1元，取出黃球無(wú)輸贏，(1)以X表示贏得的錢數(shù)，隨機(jī)變量X可以取哪些值？求X的分布列．(2)求出贏錢的概率，即X＞0時(shí)的概率．(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：①找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；②求出取每一個(gè)值的概率P(ξ＝xi)＝pi；③列出表格．(2)求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①確定離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要搞清ξ取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識(shí)求出ξ取每一個(gè)值的概率．對(duì)于隨機(jī)變量ξ取值較多或無(wú)窮多時(shí)，應(yīng)由簡(jiǎn)單情況先導(dǎo)出一般的通式，從而簡(jiǎn)化過(guò)程．②在求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運(yùn)算量，還可驗(yàn)證分布列是否正確．二、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)活動(dòng)與探究2設(shè)ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表．求常數(shù)q．ξ－101P1－2qq2遷移與應(yīng)用1．(2013山東濟(jì)南模擬)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如下表：X1234Pp則p等于()A．eq\f(1,10)B．eq\f(2,10)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)2．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1,2,3)，則P(X≥2)＝__________．利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率，此時(shí)只需根據(jù)隨機(jī)變量的取值范圍確定隨機(jī)變量可取哪幾個(gè)值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中隨機(jī)變量取不同值時(shí)所表示的隨機(jī)事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．三、兩點(diǎn)分布活動(dòng)與探究3一個(gè)袋中有形狀、大小完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球．(1)從中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，,1，摸出紅球.))求X的分布列；(2)從中任意摸出兩個(gè)球，用“X＝0”表示兩個(gè)球全是白球，用“X＝1”表示兩個(gè)球不全是白球，求遷移與應(yīng)用1．籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球一次得分的分布列為__________．2．在購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)的隨機(jī)試驗(yàn)中，令X＝1表示中獎(jiǎng)；X＝0表示不中獎(jiǎng)．如果中獎(jiǎng)的概率為0.6，試寫出隨機(jī)變量X的分布列．兩點(diǎn)分布的幾個(gè)特點(diǎn)：(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果，且兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的．(2)兩點(diǎn)分布又稱為0－1分布，應(yīng)用十分廣泛，如彩票抽取問(wèn)題，嬰兒性別問(wèn)題，投籃是否命中問(wèn)題等．(3)由對(duì)立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．四、超幾何分布活動(dòng)與探究4某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．遷移與應(yīng)用1．箱中裝有50個(gè)零件，其中有40個(gè)是合格品，10個(gè)是次品，從箱子中任意拿出10個(gè)，其中的次品數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列．2．在8個(gè)大小相同的球中，有2個(gè)黑球，6個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)，求取出的球中白球個(gè)數(shù)X的分布列．解決此類問(wèn)題，先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布，若滿足超幾何分布，則建立超幾何分布列的組合關(guān)系式，求出隨機(jī)變量取相應(yīng)值的概率；否則直接利用概率公式和計(jì)數(shù)原理求隨機(jī)變量取相應(yīng)值的概率．在解題中不應(yīng)拘泥于某一特定的類型．答案：課前·預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1．(1)概率分布列分布列pi，i＝1,2，…，n圖象(2)①≥②1預(yù)習(xí)交流1(1)提示：①X23456789101112Peq\f(1,36)eq\f(1,18)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(5,36)eq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(1,9)eq\f(1,12)eq\f(1,18)eq\f(1,36)②P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(1,18)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,6)．(2)提示：2．P(X＝1)預(yù)習(xí)交流2提示：不服從兩點(diǎn)分布，因?yàn)閄的取值不是0或1．3．預(yù)習(xí)交流3提示：D課堂·合作探究【問(wèn)題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1思路分析：(1)先分析不進(jìn)貨包括哪些情況，再運(yùn)用互斥事件的概率加法公式求出概率；(2)分析確定出X的可能取值，再用概率加法公式求出對(duì)應(yīng)的概率．解：(1)P(“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”)＝P(“當(dāng)天商品銷售量為0件”)＋P(“當(dāng)天商品銷售量為1件”)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10)．(2)由題意知，X的可能取值為2,3．P(X＝2)＝P(“當(dāng)天商品銷售量為1件”)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(“當(dāng)天商品銷售量為0件”)＋P(“當(dāng)天商品銷售量為2件”)＋P(“當(dāng)天商品銷售量為3件”)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4)．故X的分布列為X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)遷移與應(yīng)用1．X123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)解析：依題意可知，杯子中球的最多個(gè)數(shù)X的所有可能取值為1,2,3．當(dāng)X＝1時(shí)，對(duì)應(yīng)于4個(gè)杯子中恰有三個(gè)杯子各放一球的情形；當(dāng)X＝2時(shí)，對(duì)應(yīng)于4個(gè)杯子中恰有一個(gè)杯子放兩球的情形；當(dāng)X＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)于4個(gè)杯子中恰有一個(gè)杯子放三個(gè)球的情形．P(X＝1)＝eq\f(A\o\al(3,4),43)＝eq\f(3,8)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,4)·C\o\al(1,3),43)＝eq\f(9,16)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4),43)＝eq\f(1,16)．可得X的分布列為X123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)2．解：(1)從箱中取兩個(gè)球的情形有以下6種：{2白}，{1白1黃}，{1白1黑}，{2黃}，{1黑1黃}，{2黑}．當(dāng)取到2白時(shí)，結(jié)果輸2元，隨機(jī)變量X＝－2；當(dāng)取到1白1黃時(shí)，輸1元，隨機(jī)變量X＝－1；當(dāng)取到1白1黑時(shí)，隨機(jī)變量X＝1；當(dāng)取到2黃時(shí)，X＝0；當(dāng)取到1黑1黃時(shí)，X＝2；當(dāng)取到2黑時(shí)，X＝4．則X的可能取值為－2，－1,0,1,2,4．P(X＝－2)＝＝eq\f(5,22)，P(X＝－1)＝＝eq\f(2,11)，P(X＝0)＝＝eq\f(1,66)，P(X＝1)＝＝eq\f(4,11)，P(X＝2)＝＝eq\f(4,33)，P(X＝4)＝＝eq\f(1,11)．從而得到X的分布列如下：X－2－10124Peq\f(5,22)eq\f(2,11)eq\f(1,66)eq\f(4,11)eq\f(4,33)eq\f(1,11)(2)P(X＞0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(4,11)＋eq\f(4,33)＋eq\f(1,11)＝eq\f(19,33)．∴贏錢的概率為eq\f(19,33)．活動(dòng)與探究2思路分析：求常數(shù)q，利用各隨機(jī)變量的概率和為1，列出q的方程即可求解，注意檢驗(yàn)．解：由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，eq\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1±eq\f(\r(2),2)，又當(dāng)q＝1＋eq\f(\r(2),2)時(shí)，1－2q＝－1－eq\r(2)＜0，∴q＝1＋eq\f(\r(2),2)舍去，∴q＝1－eq\f(\r(2),2)．遷移與應(yīng)用1．D解析：由eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,10)＋p＝1，解得p＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)．2．eq\f(3,7)解析：由已知得隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(k,2)eq\f(k,4)eq\f(k,8)∴eq\f(k,2)＋eq\f(k,4)＋eq\f(k,8)＝1，∴k＝eq\f(8,7)．∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(k,4)＋eq\f(k,8)＝eq\f(2,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(3,7)．活動(dòng)與探究3思路分析：兩問(wèn)中X只有兩個(gè)可能取值，且為0,1，屬于兩點(diǎn)分布，應(yīng)用概率知識(shí)求出X＝0的概率，然后根據(jù)兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)求出X＝1的概率，最后列表即可．解：(1)由題意知P(X＝0)＝eq\f(3,7)，P(X＝1)＝eq\f(4,7)．∴X的分布列如下表：X01Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)由題意知P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(6,7)．∴X的分布列如下表：X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)遷移與應(yīng)用1．X10P解析：用隨機(jī)變量X表示“每次罰球所得分值”，根據(jù)題意，X可能的取值為0,1，且取這兩個(gè)值的概率分別為0.3，0.7，因此所求的分布列是X10P2．解：購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，是否中獎(jiǎng)只有兩個(gè)結(jié)果，即中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)，因?yàn)橹歇?jiǎng)的概率為0.6，所以根據(jù)分布列的性質(zhì)，得不中獎(jiǎng)的概率為0.4，其分布列為X10P活動(dòng)與探究4思路分析：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得重量超過(guò)505克包含(505,510]，(510,515]兩個(gè)區(qū)間，由對(duì)應(yīng)小矩形的高及組距求出頻率，頻率與樣本容量的乘積即為所求；(2)分析可知Y服從超幾何分布，分布列易求．解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×××5)＝40×0.3＝12．(2)Y的可能取值為0,1,2，且Y服從參數(shù)為N＝40，M＝12，n＝2的超幾何分布，故P(Y＝0)＝＝eq\f(63,130)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(Y＝2)＝＝eq\f(11,130)．所以Y的分布列為Y012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)遷移與應(yīng)用1．解：ξ可能取的值為0,1,2，…，10．由題意知P(ξ＝m)＝eq\f(C\o\al(m,10)C\o\al(10－m,40),C\o\al(10,50))(m＝0,1,2，…，10)．∴ξ的分布列為ξ01…k…10Peq\f(C\o\al(0,10)C\o\al(10,40),C\o\al(10,50))eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(9,40),C\o\al(10,50))…eq\f(C\o\al(k,10)C\o\al(10－k,40),C\o\al(10,50))…eq\f(C\o\al(10,10)C\o\al(0,40),C\o\al(10,50))2．解：X的可能取值為1,2,3，X＝1表示取出的3個(gè)球中有1個(gè)白球2個(gè)黑球，此時(shí)的概率P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(3,28)；X＝2表示取出的3個(gè)球中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，此時(shí)的概率P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)；X＝3表示取出的3個(gè)球中有3個(gè)白球0個(gè)黑球，此時(shí)的概率P(X＝3)＝＝eq\f(5,14)，其分布列為X123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)當(dāng)堂檢測(cè)1．隨機(jī)變量X的分布列如下，則m等于()X1234PmA．B．C．D．答案：D解析：由分布列性質(zhì)得＋m＋＋＝1，∴m＝．2．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X45678910P則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”A．0.28B．0.88答案：C3．為了加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，教育部門舉辦了全國(guó)學(xué)生智能汽車競(jìng)賽．某校的智能汽車愛好小組共有15人，其中女生7人．現(xiàn)從中任意選10人參加競(jìng)賽，用X表示這10人中女生的人數(shù)，則下列概率中等于的是()A．P(X＝2)B．P