八年級上冊數(shù)學-等邊三角形

第17講等邊三角形【板塊一】等邊三角形的性質方法技巧(1)運用等邊三角形角的數(shù)量特征和邊的相等關系解題．(2)共頂點的兩個等邊三角形(也稱手拉手圖形)組成的圖中，必定有全等三角形．題型利一與等邊三角形有關的角度的計算．【例1】如圖，AABC是等邊三角形，CD⊥BC,CD=BC,求∠DAC和∠ADB的度數(shù).題型二共頂點的等邊三角形(手拉手圖形)【例2】如圖，點D是等邊△ABC的邊AB上一點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC,連接AE.(1)求證：△DBC/△EAC； (2)求證：AE//BC.【例3】如圖，AABC和^CDE都是等邊三角形，點E在BC上，AE的延長線交BD于點F.(1)求證：AE=BD；(2)求∠AFB的度數(shù)；(3)求證：CF平分∠AFD；(4)直接寫出EF,DF,CF之間的數(shù)量關系.題型三平面直角坐標系中的等邊三角形【例4】如圖，，點A(—2,0),B(2,0),C(6,0),

半軸上一點，且∠ODB=30°,延長DB至E，使BE=

%軸正半軸上一動點(點P在點C的右邊)，點M在EP

EMA=60°,AM交BE于點N.D為y軸正

BD,點P為

上，且∠(1)求證：BE=BC；(2)求證：∠ANB=∠EPC；(3)當點P運動時，求BP—BN的值.針對練習11.如圖，等邊AABC中，點D,E分別在

上，把^BDE沿直線DE翻折，使點B落在邊AB,BC

點B’處，DB'，EB'分別交AC于點F,G,若∠ADF=80°,求∠EGC的度數(shù).A2.如圖，△ABD和^ACE都是等邊三角形，(1)求證：BE=CD；(2)求∠AMD的度數(shù).DC于BE交于點M..如圖1,等邊△ABC中，點D是AB上一 點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC,向下作等邊△DCF,連接AE,BF.(1)求證：AB=AE+BF；(2)當點D在BA延長線上時，如圖2,若AE=10,BF=4,求AC的長.圖1B圖2.已知點D,E分別是等邊4ABC的邊BC,AB上的點，∠ADE=60°.(1)如圖1,當點D是BC的中點時，求證：AE=3BE；(2)如圖2,當點M在AC上，滿足∠ADM=60°,求證：BE=CM；(3)如圖3,過C作CF//AB交ED延長線于點方，探究線段BE,CF,CD之間的數(shù)量關系，并給出證明.BD圖1BE圖35.在平面直角坐標系中，已知點A在y軸的正半軸上，點B在第二象限，AO=a,AB=b,BO與X軸正方向的夾角150°,且a2-b2+a-b=0.⑴判斷△ABO的形狀；⑵如圖1，若BC⊥BO，BC=BO，點D為CO的中點，AC、BD交于點E，求證AE=BE+CE；C圖1⑶如圖2,若點E為y軸的正半軸上一動點，以BE為邊作等邊ABEG，延長GA交X軸于點P，AP與AO之間有何數(shù)量關系?試證明你的結論.圖2&△ABC為等邊三角形，BC交y軸于點D，A（a，0），B（b，0），且a，b滿足a+32+5=0.⑴如圖1，求點A，B的坐標及CD的長；圖1(2)如圖2,P是AB的延長線上一點，點E是CP右側一點，CP=PE，且∠CPE=60°，連接EB，求證:直線EB必過點D關于％軸對稱的對稱點；E(3)如圖3，若點M在CA的延長線上，點N在AB的延長線上，且∠CMD=∠DNA，求AN-AM的值.【板塊二】60°角的用法?方法技巧?合理利用60°角構造等邊三角形得到相等線段，再進行推理.題型一過60°角一邊上一點作平行線構造等邊三角形.方法技巧:過60°角一邊上一點，作平行線構造等邊三角形，轉化邊與角.【例5】如圖，XABC是等邊三角形，點D是AC的中點，點E,F分別在BC,AB的延長線上，∠EDF=120°.(1)求證:DE=DF；(2)若AB=5，求CE-BF的值.A題型二在60°角的兩邊上截取兩條相等線段構造等邊三角形方法技巧:在60°角的邊上截取兩條相等線段后構成等邊三角形，然后產(chǎn)生新的全等三角形，從而找到解決問題的突破口.【例6】如圖，△ABC為等邊三角形，∠ADB=60°.(1)如圖1,當∠DAB=90°時，直接寫出DA,DC,DB之間的數(shù)量關系；圖1(2)如圖2，當∠DAB≠90°時，①中的關系式是否成立?說明理由.圖1題型三利用60°角的一邊上的點向另一邊做垂線構造30°,60°,90°的直角三角形方法技巧:利用30角所對的直角邊等于斜邊的一半，作高. ―【例7】如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=2，BC=√3+1，求^ABC的面積.題型四利用60°角延長構造等邊三角形方法技巧；向外延長60”角的一邊，在外部構造等邊三角形.【例8】已知點D，點E分別等邊^(qū)ABC邊BC，AC上的點，CD=AE，AD與BE交于點F.(1)如圖1,求∠A比的度數(shù);A圖1(2)點G邊AC中點，∠BFG=120°，如圖2,求證:AF=2FG.針對練習2.如圖，在等邊^(qū)ABC中，AC=9,點O在AC上，且AO=3,點P是AB上一動點，連接OP,心，OP長為半徑畫弧交BC于點D，連接PD，如果PO=PD，求AP的長.以O為圓.如圖.在等邊^(qū)ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且ODIlAB，OEIlAC.(1)試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；(2)線段BD，DE，EC三者有什么關系?請說明理由..點D為BC上任一點，∠ADE=60°，邊ED與∠ACB外角的平分線交于點E，求證:AD=DE；.已知4ABC是邊長為5的等邊三角形.(1)如圖1,若點P是BC上一點，過點C,點P分別作AB,AC的平行線，兩線相交于點。，連接BQ,AP的延長線交BQ于點D試問:線段AD，BD，CD之間是否存在某種確定的數(shù)量關系?若存在，請寫出它們之間數(shù)量關系并證明你的結論；若不存在,說明理由；圖1(2)如圖2，若點P是BC延長線上一點，連接AP，連接CE交AP于點F求CE-CP的值.以AP為邊作等邊△APE(點E、點A在直線BC同側)，圖2.如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，以BC為邊在△ABC的同側作等邊△DBC，BD，AC相交于點E，連結AD.AC(1)如圖1，若A——=2,求證：△ABC=△ADCAB圖1— ..AC.AB.(2)如圖2,若AC=3，求AB的值.ABAD圖2.如圖，△ABC為等邊三角形，延長BC到D,延長BA到E,AE=BD，連接CE、DE.⑴求證：EC=ED；圖1⑵如圖2,EO⊥CD于點O，點N在EO上，△DNM為等邊三角形，CM交EO于F，若FO=1，求FM-FN的值.圖1［板塊三）30°角的用法方法技巧構造30°角的直角三角形,算邊長與面積.題型一已知30°角連線巧得隱直角.【例9】如圖，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°,AB的垂直平分線交AB于點D,交BC于點E，試探究BE與CE之間的數(shù)量關系.題型二利用30°作高構造直角三角形.【例10】如圖，CD是^ABC的中線，CD⊥CB，∠ACD=30°，求證:AC=2BC.D題型三已知30°和90°角補形構造直角三角形【例11】如圖，四邊形ABCD中，∠C=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，若AB=2，CD=8，求AD的長.題型四利用底角為15°的等腰三角形構造30°角的直角三角形【例12】如圖，∠AOC=15°，OC平分∠AOB，點P為OC上一點，PD/IIOA交OB于點D，PE⊥OA于點E，若OD=4Cm,求PE的長.題型五利用150°構造30°角的直角三角形【例13］如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為BC上一點，以AD為腰作等腰△ADE,且AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，連接CE，若BD=2，CD=5，求4DCE的面積.AEBDC題型六30°直角三角形斜邊上的高方法技巧：30°角的直角三角形斜邊上的高中，有3個30°的直角三角形，選取最小的和最大的兩個直角三角形進行計算.【例14】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CDIAB，垂足為點D,∠A=30°,AD=6,求BC的長.針對練習3.某市在“舊城改造”中計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境,已知這種草皮每平方米的售價為Q元，求購買這種草皮至少需要多少元？BAC.在△ABC中，∠B=30°，AB=AC=8，P為BC