《第1章勾股定理》同步練習(xí)題 北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（含解析）

第第頁《第1章勾股定理》同步練習(xí)題北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（含解析）2023-2024學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第1章勾股定理》同步練習(xí)題（附答案）

1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A．4，5，6B．1，2，C．6，8，10D．5，12，23

2．下列各組數(shù)中能作為直角三角形三邊長的是（）

A．1，，2B．3，4，5C．4，5，6D．13，14，15

3．已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠B

C．a(chǎn)2+b2＝c2D．a(chǎn)：b：c＝6：8：10

4．以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積如圖所示，則正方形A的面積為（）

A．6B．36C．64D．8

5．小明家需購買一張大圓桌面（不能折疊，不考慮木板厚度），若入戶門的高為2.1米，寬為1.1米，則盡可能大的圓桌的直徑可以是（）

A．2.45米B．2.40米C．2.35米D．2.30米

6．若直角三角形的斜邊長為，一條直角邊長為1，則另一條直角邊長為（）

A．5B．C．D．7

7．如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離（）cm．

A．14B．15C．16D．17

8．如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地AB＝2.5米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)（BC＝1.2米），感應(yīng)門自動(dòng)打開，則人頭頂離感應(yīng)器的距離AD等于（）

A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米

9．傳說，古埃及人常用“拉繩”的方法畫直角，有一根長為m的繩子，古埃及人用這根繩子拉出了一個(gè)斜邊長為n的直角三角形，那么這個(gè)直角三角形的面積用含m和n的式子可表示為（）

A．B．C．D．

10．如圖，四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形可以拼成一個(gè)大正方形，若直角三角形的較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，大正方形面積為S1，小正方形面積為S2，則（a+b）2可以表示為（）

A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2

11．在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC邊上的中線AD＝12，則△ABC的周長為．

12．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上，則∠CAB+∠CBA＝°．

13．如圖，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，當(dāng)梯子的一邊與地面所夾的銳角α為60°時(shí)，兩梯角之間的距離BC的長為2m．周日亮亮幫助媽媽整理換季衣服，先使α為60°，后又調(diào)整α為45°，則梯子頂端A離地面的高度下降了m．

14．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝4，大正方形的面積為16，則小正方形的邊長為．

15．直角三角形兩直角邊長分別為3和4，則它斜邊上的高為．

16．如圖，由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形．其中兩正方形面積分別是S1＝22，S2＝14，AC＝10，則AB＝．

17．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作．書中有一個(gè)“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？

18．古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對(duì)嗎？如果對(duì)，你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎？

19．如圖，小方格都是邊長為1的正方形．

（1）求四邊形ABCD的邊AB與BC的長；

（2）用勾股定理逆定理的知識(shí)證明：∠ABC＝90°．

20．如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線，其中AC＝12，AE＝5，BE＝13，證明：△ABC是直角三角形．

21．我們根據(jù)圖形的移、拼、補(bǔ)可以簡單直觀地推理驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式，這種方法稱之為“無字證明”，它比嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理．下面是用三塊全等的直角三角形移、拼、補(bǔ)所形成的“無字證明”圖形．

（1）此圖可以用來證明你學(xué)過的什么定理？請(qǐng)寫出定理的內(nèi)容；

（2）已知直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，圖1、圖2的面積相等，請(qǐng)你根據(jù)此圖證明（1）中的定理．

22．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BD＝3，BC＝，求AB的長．

23．如圖，四邊形DEFG中，∠DEF＝120°，∠EFG＝135°，DE＝6，EF＝5，F(xiàn)G＝，求DG的長．

24．如圖所示，在四邊形ABCD中，已知∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝20，CD＝10．求AD，BC的長．（結(jié)果保留根號(hào)）

參考答案

1．解：A、∵42+52≠62，不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、∵12+（）2＝22，能組成直角三角形，但不是正整數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、∵62+82＝102，能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

D、∵52+122≠232，不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C．

2．解：A、∵12+（）2≠22，

∴以1，2，為邊不能組成三角形，不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、∵32+42＝52，

∴以5，4，3為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

C、∵42+52≠62，

∴以4，5，6為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、∵132+142≠152，

∴以13，14，15為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B．

3．解：當(dāng)∠A：∠B：∠C＝3：4：5時(shí)，則∠C＝180°×＝75°，同理可得∠A＝45°，∠B＝60°，故選項(xiàng)A符合題意；

當(dāng)∠C＝∠A﹣∠B時(shí)，可得∠C+∠B＝∠A，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故選項(xiàng)B不符合題意；

當(dāng)a2+b2＝c2時(shí)，則△ABC時(shí)直角三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；

當(dāng)a：b：c＝6：8：10時(shí)，a2+b2＝c2，則△ABC時(shí)直角三角形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：A．

4．解：如圖，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，

∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，

∴正方形A的面積為6，

故選：A．

5．解：∵入戶門的高為2.1米，寬為1.1米，

∴入戶門對(duì)角線為：≈2.37（米），

故選：C．

6．解：由勾股定理得：另一條直角邊為：，

故選：B．

7．解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH，

過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則

AP+PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，

∵AE＝A′E，A′P＝AP，

∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，

∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，

在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，

故選：B．

8．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，

∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．

在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）

故選：B．

9．解：設(shè)這個(gè)直角三角形的兩直角邊分別為a，b，

由題意可得，，

∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，

∴這個(gè)直角三角形的面積＝ab＝．

故選：A．

10．解：如圖所示：設(shè)直角三角形的斜邊為c，

則S1＝c2＝a2+b2

S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，

∴2ab＝S1﹣S2，

∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，

故選：C．

11．解：∵AD是中線，AB＝13，BC＝10，

∴BD＝BC＝5．

∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，

∴△ABD是直角三角形，則AD⊥BC，

又∵BD＝CD，

∴AC＝AB＝13，

∴△ABC的周長＝13+13+10＝36，

故答案為：36．

12．解：由圖可知：AD＝CD＝，AC＝，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD＝45°，

∴∠BAC+∠BCA＝∠ACD＝45°，

故答案為：45．

13．解：如圖1所示：

過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

由題意可得：∠B＝∠C＝60°，

則△ABC是等邊三角形，

故BC＝AB＝AC＝2m，

則AD＝2sin60°＝m，

如圖2所示：

過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，

由題意可得：∠B＝∠C＝60°，

則△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB，

則AE＝BC＝m，

故梯子頂端離地面的高度AD下降了（﹣）m．

故答案為：（﹣）．

14．解：由題意可知：中間小正方形的邊長為a﹣b，

∵每一個(gè)直角三角形的面積為：ab＝×4＝2，

∴4×ab+（a﹣b）2＝16，

∴（a﹣b）2＝16﹣8＝8，

∴a﹣b＝2．

故答案為：2．

15．解：設(shè)斜邊長為c，高為h．

由勾股定理可得：c2＝32+42，

則c＝5，

直角三角形面積S＝×3×4＝×c×h

可得h＝，

故答案為：．

16．解：∵S1＝22，S2＝14，

∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，

∴BC＝6，

∵AC＝10，

∴AB＝8，

故答案為：8．

17．解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，

根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，

解得：x＝4.55．

答：原處還有4.55尺高的竹子．

18．解：正確．理由：

∵m表示大于1的整數(shù)，

∴a，b，c都是正整數(shù)，且c是最大邊，

∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，

∴a2+b2＝c2，

即a、b、c為勾股數(shù)．

當(dāng)m＝2時(shí)，可得一組勾股數(shù)3，4，5．

19．解：（1），，

（2）如圖，連接AC，

在Rt△ACG中，AG＝5，CG＝1，

∴AC＝，

由（1）可得AB2+BC2＝＝26＝AC2，

∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，

∴∠ABC＝90°．

20．證明：∵DE是BC的垂直平分線，

∴BE＝CE＝13，

∵AC＝12，AE＝5，

∴CE2＝AC2+AE2，

∴△AEC是直角三角形，

∴△ABC是直角三角形．

21．解：（1）勾股定理：

直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2；

（2）圖1的面積為：S1＝，

圖2的面積為S2＝，

∵圖1、圖2的面積相等，

∴＝，

∴a2+b2＝c2．

22．解：設(shè)AB＝AC＝x，

∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝90°，

∴CD＝＝1，

∴AD＝x﹣1，

在Rt△BDA中，BD2+AD2＝AB2，即32+（x﹣1）2＝x2，

解得，x＝5，即AB＝5．

23．解：延長并反向延長EF，作DA⊥AE于A，GB⊥FB于B，作