山東省煙臺(tái)市牟平區(qū)某校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期限時(shí)練習(xí)（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題

21級(jí)高三限時(shí)練習(xí)（2023）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．為純虛數(shù)3．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．八卦是中國古老文化的深?yuàn)W概念，下圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡(jiǎn)化為正八邊形ABCDEFGH，設(shè)其邊長(zhǎng)為a，中心為O，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A． B．C．和是一對(duì)相反向量 D．6．阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，若振幅是2，圖象上相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離是5，且過點(diǎn)，則和的值分別為（）A．， B．， C．， D．，7．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．38．如圖，某幾何體由兩個(gè)相同的圓錐組成，且這兩個(gè)圓錐有一個(gè)共同的底面，若該幾何體的表面積為，體積為V，則的最大值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：9．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．直線是圖象的一條對(duì)稱軸D．的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到10．已知定義在R上的奇函數(shù)，，，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．有2個(gè)零點(diǎn)C．在上為減函數(shù) D．不等式的解集是11．已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，若點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若在方向上的投影向量為，則的最小值為C．若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則D．若，則為定值1812．已知函數(shù)，則（）A．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B．的值域是C．在上單調(diào)遞增 D．在上的所有零點(diǎn)之和為三．填空題（共4小題）13．向量，，，與夾角的大為______．14．已知，若，，則______．15．已知函數(shù)，則______．16．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．如圖，萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓弧得到的．已知，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，則的最小值為______．四．解答題（共6小題）17．（10分）已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。?）若AD平分∠BAC并交BC于D，且，，求的面積．18．（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足，，，過B作于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)．（1）求c；（2）求的值．19．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值．20．（12分）如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)E在上，且．（1）若平面與相交于點(diǎn)F，求；（2）求二面角夾角余弦值．21．（12分）已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，．（1）求a的取值范圍；（2）求的最小值．22．（12分）函數(shù)，，其中．（1）若在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求a的取值范圍．（2）若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．（3）證明：，n，．（優(yōu)秀班級(jí)）設(shè)函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求證：．21級(jí)高三限時(shí)練習(xí)答案1．C．2．C．3．D．4．【解答】則．B．5．【解答】解：A項(xiàng)，由于，明顯有，故，A正確；B項(xiàng)，，B正確；C項(xiàng)，和方向相反，但長(zhǎng)度不等，因此不是一對(duì)相反向量，C錯(cuò)誤；D，∵，，∴，D正確．C．6．【解答】A解：由題意可知，，則，由，解得，所以：，由于，得，（）；因?yàn)椋裕蔬x：A．7．【解答】解：的圖象關(guān)于對(duì)稱，，由可得關(guān)于對(duì)稱，，則，所以，函數(shù)周期為4．因?yàn)?，則有，當(dāng)時(shí)，，則．故選：C．8．【解答】解：設(shè)其中一個(gè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則，則，解得，∴，，令，設(shè)，則，若，，若，，∴，∴的最大值為．故選：A．9．BC．10．【解答】解：在中，令，得，∴，故A正確；又為R上的奇函數(shù)，，，∴至少有三個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；設(shè)，，且，則，，，∴，在上是增函數(shù)，由于為奇函數(shù)，∴在上也是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；由題意，畫出的圖象如圖，等價(jià)于或，故選：AD．11．【解答】解：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，對(duì)A選項(xiàng)，∵，∴，∴，又E為中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，∵在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點(diǎn)，P在BC上，∴當(dāng)時(shí)，PQ最小，此時(shí)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，即P與E點(diǎn)重合，∵，∴，∴，故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，∵，∴的平分線與BC垂直，∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由A選項(xiàng)分析知，∴根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知，∴，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．12．【解答】解：對(duì)于A：，則，∴，即是偶函數(shù)，故的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；∵．令，則，則．由得，由得或．則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，∴，即的值域是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：，即或．∵，∴，∴或或，則在上的所有零點(diǎn)之和為，故D正確，故選：ACD．13．．14．【解答】解：設(shè)，由知，代入，即，解得或（舍去），所以，即，因?yàn)?，所以，則，解得，，則．15．【解答】解，當(dāng)時(shí)，，得，∴，∴．16．【解答】解：如圖，取BC邊的中點(diǎn)E，連接PE，PA，再取AE的中點(diǎn)F，連接PF，則，∴，根據(jù)向量數(shù)量積的極化恒等式可得：，又根據(jù)題意易得，連接CF交于點(diǎn)Q，則P與Q重合時(shí)，PF取得最小值，且PF取得最小值，∴．故答案為：．17．【解答】解：（1）因，則，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以；（2），而，有，即則，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，．18．【解答】解：（1）∵，，，∴，∴．（2）∵，，，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴．19．【解答】解：（1）．所以，①，當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，整理得，故（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；且滿足，故，解得．故．（2）由（1）得：；故，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故．20．【解答】解：（1）在正四棱柱中，連接，EF，如圖所示：平面與相交于點(diǎn)F，，則，，∵，∴，∴，；（2）建立以D為原點(diǎn)，以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，且，則，，，，，則，，，設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為，則，取，則，，∴平面ABE的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴平面的一個(gè)法向量為，∴，故二面角的余弦值為．21．【解答】解：定義域?yàn)?，，令，∴，解得：，∴?shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）由（1）知：，，是的兩根，則，，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即的最小值為．22．【解答】解：（1）由已知得，故，可知時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，故時(shí)，取最小值，又，；，．故要使在有兩個(gè)互異零點(diǎn)，需，所以，即所求a的范圍是．（2）要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，只需在上恒成立，化簡(jiǎn)得在上恒成立．令，，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即a的范圍是．（3）證明：由（2）知時(shí)，，所以，即，，取得：，所以，即，n，成立，故結(jié)論成立．23．【解答】解：（1）的定義域?yàn)镽，，對(duì)a分類討論：（?。┊?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，令，解得，①當(dāng)，即，則恒成立，在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即，令，則或，∴在和上單調(diào)遞增，令，則，∴在上單調(diào)遞減；③當(dāng)，即時(shí)，令，則或，∴在和上單調(diào)遞增，令，則，∴在上單調(diào)遞減．綜上可得：（?。┊?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，在