2023-2024學年北師大版必修第一冊 第一章　4-2　一元二次不等式及其解法　4-3　一元二次不等式的應用 課件（42張）

激趣誘思某摩托車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)摩托車投入成本1萬元/輛,出廠價為1.2萬元/輛,年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適當增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價相應提高的比例為0.75x,同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.為使本年度的年利潤比上一年有所增加,那么投入成本增加的比例x應規(guī)定的范圍是多少?知識點撥一、一元二次不等式的概念1.定義:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x為未知數(shù),a,b,c均為常數(shù),且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.2.使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集.名師點析

1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知數(shù),并且這個未知數(shù)是唯一的,但這并不是說不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,則把其他字母看成常數(shù).2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知數(shù)的最高次數(shù)必須是2,且最高次項的系數(shù)不為0.微練習下面哪些不等式是一元二次不等式:(1)x2>0;(2)-x-x2≤5;(3)x3+5x-6>0;(4)3x2-x+y<0;(5)ax2+bx+c>0.解(1)是;(2)是;(3)不是,因為x的最高次數(shù)為三次;(4)不是,它含有兩個未知數(shù);(5)不是,因為a=0時,不符合一元二次不等式的定義二、一元二次不等式的解法一元二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關(guān)系如下表:名師點析

一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如圖.微拓展解一元二次不等式的口訣:先看開口再看根,函數(shù)圖象是根本;橫軸上方y(tǒng)為正,根間根外想謹慎.微練習(1)(2021甘肅寧縣第二中學高二期末)不等式2+x-x2<0的解集為(

)A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)求不等式-x2+2x-3>0的解集.(1)解析不等式可變形為x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞).故選A.答案A(2)解不等式可化為x2-2x+3<0.因為Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0無實數(shù)根.畫出二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象(如圖).觀察圖象得原不等式的解集為?.課堂篇探究學習探究一一元二次不等式的求解例1解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.分析先求出對應一元二次方程的解,再結(jié)合對應的二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集.解(1)因為方程2x2-3x-2=0的判別式Δ=9+4×2×2=25>0,所以該方程的解

因為不等式對應的函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,(2)不等式可化為3x2-6x+2<0.因為3x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,所以該方程的解是因為不等式對應的函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集(4)因為x2-2x+2=0的判別式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0無實數(shù)解.又因為函數(shù)y=x2-2x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.反思感悟

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標準.通過對不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正.(2)判別式.對不等式的左側(cè)進行因式分解,若不能分解,則計算對應方程的判別式.(3)求實根.求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程無實根.(4)畫圖象.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的一元二次函數(shù)的圖象.(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.變式訓練

1解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.解(1)不等式可化為4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且對應的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.(2)由題意知不等式對應方程的兩個根是3和7,且對應的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)不等式-3x2+5x-4<0可化為3x2-5x+4>0,由于判別式Δ=25-48=-23<0,函數(shù)y=3x2-5x+4的圖象開口向上,所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化為3x2-4x+1≤0.因為方程3x2-4x+1=0的兩探究二已知不等式的解集求參數(shù)值例2求實數(shù)a,b的值,使得關(guān)于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分別為:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).分析根據(jù)解一元二次不等式的方法,逆向分析與思考,得出不等式對應方程解的情況,利用根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.解(1)由題意知a>0,且-1和2是關(guān)于x的方程ax2+bx+a2-1=0的兩個根,所以有

反思感悟

1.一元二次不等式的解集的端點就是對應的一元二次方程的根,要充分利用這個關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項系數(shù)有直接的關(guān)系,對于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),當a>0時,其解集是{x|x<x1,或x>x2},當a<0時,其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓練

2已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),求關(guān)于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解∵關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),∴1,2是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩個根.將其代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0.探究三含參數(shù)的一元二次不等式的解法例3解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.分析先對二次項的系數(shù)進行討論,再按不等式的解法求解.解①當a=0時,原不等式即為-x+1<0,解得x>1.反思感悟

解含參數(shù)的一元二次不等式與解不含參數(shù)的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分類討論思想的運用.(1)若二次項系數(shù)含有參數(shù),需對二次項系數(shù)等于0與不等于0進行討論,對于不等于0的情況再按大于0或小于0進行討論.(2)若不等式對應的一元二次方程根的情況不確定,需對其判別式Δ進行討論.(3)若求出的根中含有參數(shù),則應對兩根的大小關(guān)系進行討論.變式訓練

3解關(guān)于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).解由于x2+3ax-4a2<0可化為(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的兩個根分別是a和-4a.當a=-4a,即a=0時,不等式的解集為?;當a>-4a,即a>0時,解不等式為-4a<x<a;當a<-4a,即a<0時,解不等式為a<x<-4a.綜上所述,當a=0時,不等式的解集為?;當a>0時,不等式的解集為{x|-4a<x<a};當a<0時,不等式的解集為{x|a<x<-4a}.探究四一元二次不等式的實際應用例4行駛中的汽車,在剎車時由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫作剎車距離.在某種路面上,某種型號汽車的剎車距離s(單位:m)與汽車的車速v(單位:km/h)滿足下列關(guān)系:(1)求n的值;(2)要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少?分析(1)根據(jù)兩個剎車距離的范圍建立不等式組,并結(jié)合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范圍,從而得到行駛的最大速度.反思感悟

用一元二次不等式解決實際問題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關(guān)系.(2)建立相應的不等關(guān)系,把實際問題抽象為數(shù)學中的一元二次不等式問題.(3)解一元二次不等式,得到實際問題的解.延伸探究本例中,條件不變,若該型號的汽車在某一限速為80km/h的路段發(fā)生了交通事故,交警進行現(xiàn)場勘查,測得該車的剎車距離超過了25.65m,試問該車是否超速行駛?素養(yǎng)形成分式不等式與簡單高次不等式的解法一、分式不等式的解法若f(x)與g(x)是關(guān)于x的多項式,則不等式

>0(或<0)稱為分式不等式.解分式不等式總的指導原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式(組)求解.其基本的情況列表如下:典例1(1)(2020陜西咸陽高一期末)不等式

<0的解集是(

)A.(-2,2) B.(-2,2]C.(-2,0) D.(0,2)(2)不等式

≤0的解集是(

)A.(-∞,-1)∪(-1,2]B.[-1,2]C.(-∞,-1)∪[2,+∞)D.(-1,2]答案(1)A

(2)D要點筆記

如果分式不等式是大于等于零或小于等于零時,變形為整式不等式時要注意分母不為0.二、簡單高次不等式的解法不等式中未知數(shù)的最高次數(shù)高于2,這樣的不等式稱為高次不等式.解決這一類不等式的基本方法是:在解y<0(或>0)時,將多項式分解成若干個不可約因式的積,根據(jù)實數(shù)運算法則,把它等價轉(zhuǎn)化為兩個或多個不等式(組)(由各因式的符號所有可能的組合決定).于是原不等式的解集就是各不等式解集的并集.但這一方法在因式較多時比較煩瑣.此時通常采用下面的方法:(1)將不等式化為標準形式:一端為0,另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正)或二次不可分解因式的積.(2)求出各因式的實數(shù)根,并在數(shù)軸上依次標出.(3)自最右端上方起,用曲線自右至左依次由各根穿過數(shù)軸,遇到奇次重根要一次穿過,遇到偶次重根要穿而不過.(4)記數(shù)軸上方為正,下方為負,根據(jù)不等式的符號寫出解集.這種方法叫穿根法.典例2解不等式:x3+2x2-x-2>0.解原不等式可化為(x+1)(x-1)(x+2)>0.將方程(x+1)(x-1)(x+2)=0的各個根-2,-1,1標在數(shù)軸上,并用穿根法依次通過每一個根.如圖:所以,原不等式的解集為{x|-2<x<-1或x>1}.注意

(1)對于數(shù)軸穿根法求解高次不等式,分解因式后